高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直导学案

8.6.3 平面与平面垂直

学习目标

1. 理解二面角、二面角的平面角的概念。
2. 理解两个平面垂直的定义。
3. 理解平面与平面垂直的判定定理。
4. 能运用定理证明一些平面与平面垂直的问题。
5. 理解平面与平面垂直的性质定理，并能够证明
6. 能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题。

基础梳理

1. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。棱为AB，面分别为，的二面角记作二面角-AB-。
2. 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。平面角是直角的二面角叫做直二面角。二面角的平面角的取值范围是。
3. 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 平面和垂直，记作。
4. 判定两个平面互相垂直的定理：

定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。这个定理说明，可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直。

5. 平面与平面垂直的性质定理：定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直。

随堂训练

1、如图所示，四边形中，，，.将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列结论正确的是（   ）

A.平面平面 B.平面平面

C.平面平面 D.平面平面

2、已知四棱锥的底面是正方形,侧棱长均相等, 是线段上的点(不含端点),设与所成的角为,与平面所成的角为,二面角的平面角为,则(   )

A.  B.  C.  D.

3、在一个45°的二面角的一个面内有一条直线与二面角的棱成45°，则此直线与二面角的另一个面所成的角为（　  　）

A．30°   B．45° C．60°    D．90°

4、如图所示,在四边形中, ,将沿折起至位置,使平面平面,构成三棱锥,则在三棱锥中,下列结论正确的是(   )

A.平面平面
B.平面平面
C.平面平面
D.平面平面

5、如图,已知正四面体 (所有棱长均相等的三棱锥), 分别为,,上的点, , ,分别记二面角,,的平面角为,,,则(   )
 

A.  B.  C.  D.

6、如图所示，在四棱锥中，底面，且底面为菱形，M是上的一个动点，若要使得平面 平面,则应补充的一个条件可以是（   ）

A. B. C. D.M是棱的中点

7、下列命题中错误的是(   )

A.如果平面平面,那么平面内一定存在直线平行于平面
B.如果平面不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面
C.如果平面平面,平面平面,,那么平面
D.如果平面平面,那么平面内所有直线都垂直于平面

8、四面体中，，底面为等腰直角三角形，为中点，请从以下平面中选出两个相互垂直的平面　   　．（只填序号，只填一组即可）

①平面；②平面；③平面；④平面；⑤平面。

9、将正方形沿对角线折成直二面角，则与所成的角等于__________

10、将正方形沿对角线折成直二面角，

①与平面所成角的大小为；②是等边三角形；

③与所成的角为；④；⑤二面角为

则上面结论正确的为________

11、如图,在四棱锥中, ,且.

(1)证明:平面平面;

(2)若,,且四棱锥的体积为,求该四棱锥的侧面积.

12、如图，在四棱锥中，平面，， ，，，，为侧棱上一点.

（1）若，求证：平面；

（2）求证：平面平面；

（3）在侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．

答案

随堂训练

1答案及解析：

答案：D

解析：∵在四边形ABCD中，，，，，∴.

又平面平面，

且平面平面，

故平面，则.

又，， 平面，平面，故平面.

又平面，∴平面平面.

2答案及解析：

答案：D

解析：设为正方形的中心, 为中点,过作的平行线,交于,过作垂直于连接则垂直于底面垂直于 因此从而

因为,

所以

即,选D.

3答案及解析：

答案：A

4答案及解析：

答案：D

解析：过点作垂直于点,因为平面平面,所以平面,即.易知,又,所以平面,所以.又,所以平面,从而平面平面.

5答案及解析：

答案：B

解析：设为三角形中心,则到距离最小, 到距离最大, 到距离居中,而高相等,因此所以选B

6答案及解析：

答案：B

解析：因为四边形是棱形，，

又平面，，

又平面平面，

要使平面平面，只需或，故选B.

7答案及解析：

答案：D

解析：

如果平面平面,那么只有内垂直于交线的直线才垂直于,故D项错.

8答案及解析：

答案：②⑤（①⑤或①②）

9答案及解析：

答案：

10答案及解析：

答案：②③④

11答案及解析：

答案：(1) ,

∴,,

∵,∴,

∵,,,

平面,平面,

∴平面,

又∵平面,

∴平面平面.
(2)由(1)得平面,

∴,∴四边形为矩形,

设,

∵,∴有,

作于.,

∵,,∴平面,

∴为四棱柱的高,∴,

∴,∴,

,

,

 ,,,

∴为等边三角形,∴,

∴四棱锥的侧面积为.

12答案及解析：

答案：（1）设， 连结.

由已知，，,得

.

由,得.

在 中，由，得.

因为平面，平面，

所以平面.

（2）因为平面，平面 ，

所以.

由已知得，， ，

所以.

所以.

又，所以平面.

因为平面，

所以平面平面.

（3）在平面内作于点，

由，，，

得平面.

因为平面，所以.

又，所以平面.

由，，，

得.