中考数学专题复习全攻略：第四节 二次函数的图象与性质 含解析答案

第四节  二次函数的图象与性质

知识点一：二次函数的概念及解析式      

1.一次函数的定义

形如y＝ax2＋bx＋c (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.

例：如果函数y=(a－1)x2是二次函数，那么a的取值范围是a≠0.

2.解析式

（1）三种解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）; ③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.

（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.

变式练习：如图，对称轴为直线x＝2的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为(－1，0)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)直接写出B，C两点的坐标；

(3)求过O，B，C三点的圆的

面积．(结果用含π的代数式表示)

解：(1)由A(－1，0)，对称轴为x＝2，可得解得∴抛物线解析式为y＝x2－4x－5

(2)由A点坐标为(－1，0)，且对称轴方程为x＝2，可知AB＝6，∴OB＝5，∴B点坐标为(5，0)，∵y＝x2－4x－5，

∴C点坐标为(0，－5)

(3)如图，连接BC，则△OBC是直角三角形，

∴过O，B，C三点的圆的直径是线段BC的长度，在Rt△OBC中，OB＝OC＝5，∴BC＝5，

∴圆的半径为，

∴圆的面积为π()2＝π

知识点二 ：二次函数的图象与性质

变式练习2：当0≤x≤5时，抛物线y=x2+2x+7的最小值为7  .

变式练习2：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法错误的是(　　)

A. 函数有最小值

B. 对称轴是直线x＝

C. 当x＜时，y随x的增大而减小

D. 当－1＜x＜2时，y＞0

【解析】A.由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，正确，故本选项不

符合题意；B.由图象可知，对称轴为x＝，正确，故本选项不符合题意；C.因为a＞0，所以，当x＜时，y随x的增大而减小，正确，故本选项不符合题意；D.由图象可知，当－1＜x＜2时，y＜0，错误，故本选项符合题意．

2.系数a、b、c的关系

注意

某些特殊形式代数式的符号：

①      a±b+c即为x=±1时，y

的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值.

③      2a+b的符号，需判断对称

某些特殊形式代数式的符号：

②      a±b+c即为x=±1时，y

的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值.

④      2a+b的符号，需判断对称

③      a±b+c即为x=±1时，y

的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值.

⑤      2a+b的符号，需判断对称

轴-b/2a与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-b/2a＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小.

3．已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是( D )

A．当a＝1时，函数图象过点(－1，1)

B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点

C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小

D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大

知识点三 ：二次函数的平移

平移与解析式的关系

变式练习1：将抛物线y=x2沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是y=（x－2）2．

变式练习2：如果将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是( C )

A．y＝(x－1)2＋2  B．y＝(x＋1)2＋2

C．y＝x2＋1  D．y＝x2＋3

变式练习3：已知二次函数y＝x2－4x＋a，下列说法错误的是(　　)

A. 当x＜1时，y随x的增大而减小

B. 若图象与x轴有交点，则a≤4

C. 当a＝3时，不等式x2－4x＋a＞0的解集是1＜x＜3

D. 若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(1，

   －2)，则a＝－3

　【解析】C∵y＝x2－4x＋a，∴对称轴x＝2，画二次函数的草图如解图，A.当x＜1时，y随x的增大而减小，所以A选项正确；B.∵b2－4ac＝16－4a≥0，即a≤4时，二次函数和x轴有交点，所以B选项正确；C.当a＝3时，不等式x2－4x＋a＞0的解集是x＜1或x＞3，所以C选项错误；D.y＝x2－4x＋a配方后是y＝(x－2)2＋a－4，向上平移1个单位，再向左平移3个单位后，函数解析式是y＝(x＋1)2＋a－3，把(1，－2)代入函数解析式，易求a＝－3，所以D选项正确，故选C.

知识点四 ：二次函数与一元二次方程以及不等式

1.二次函数与一元二次方程

二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.

当Δ＝b2－4ac＞0，两个不相等的实数根；

当Δ＝b2－4ac＝0，两个相等的实数根；

当Δ＝b2－4ac＜0，无实根

2.二次函数与不等式

抛物线y= ax2＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.

变式练习：已经二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为（1,0），则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两个实数根为2,1.

变式练习1：已知抛物线y＝x2＋x＋c与x轴没有交点．

(1)求c的取值范围；

(2)试确定直线y＝cx＋1经过的象限，并说明理由．

解：(1)∵抛物线y＝x2＋x＋c与x轴没有交点，

∴方程x2＋x＋c＝0无解，

即b2－4ac＝1－2c＜0，解得c＞；

(2)直线y＝cx＋1经过一、二、三象限，理由如下：

∵c＞＞0，则一次函数y＝cx＋1中c＞0，b＝1＞0，

∴直线y＝cx＋1经过一、二、三象限．

知识点五 ：　二次函数综合题

变式练习1：已知二次函数y＝x2－2mx＋m2－1.

(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0，0)时，求二次函数的解析式；

(2)如图，当m＝2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；

(3)在(2)的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC＋PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．

解：(1) 把点O(0，0)代入解析式y＝x2－2mx＋m2－1，

得0＝m2－1，解得m＝±1，

∴二次函数解析式为y＝x2＋2x或y＝x2－2x；

(2)当m＝2时，y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，

∴点D的坐标为(2，－1)，

当x＝0时，y＝3，

∴点C的坐标为(0，3)

(3)存在．

如解图，连接CD，交x轴于点P，则点P为所求．

设直线CD的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将点C(0，3)、D(2，

－1)代入，得

，解得，

∴直线CD的解析式为y＝－2x＋3.

当y＝0时，－2x＋3＝0，x＝，

∴P点的坐标为(，0)．

变式练习2：如图，抛物线y＝x2－x－9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC.

(1)求AB和OC的长；

(2)点E从点A出发，沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合)，过点E作直线l平行BC，交AC于点D.设AE的长为m，△ADE的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

(3)在(2)的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积(结果保留π)．

第2题图

解：(1)令y＝0，则有x2－x－9＝0，

解得x1＝－3，x2＝6，

∴点A的坐标为(－3，0)，点B的坐标为(6，0)，

∴AB＝9，

∵抛物线与y轴的交点坐标是(0，－9)，

∴OC＝9；

(2)设△ADE的边AE上的高为h，

∵直线l∥BC，

∴△ADE∽△ACB，

∴＝，即＝，

∴h＝m，

∴S＝m2(0＜m＜9)；

(3)∵＝－＝m－m2

                      ＝－(m－)2＋(0＜m＜9)，

∴当m＝时，△CDE的面积最大，最大面积是，

∴BE＝AB－AE＝，

∴＝××9＝，

∵BC＝＝＝3，

∴点E到BC的距离为2×÷3＝，

∴以点E为圆心，与BC相切的圆的面积为π×()2＝π.

变式练习3：如图，抛物线y＝－x2＋x＋1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(3，0)．

(1)求直线AB的函数关系式；

(2)动点P在线段OC上从原点O出发以每秒一个单位的速度向点C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；

(3)设在(2)的条件下(不考虑点P与点O、点C重合的情况)，连接CM、BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否为菱形？请说明理由．

第3题图

解：(1)设直线AB的函数关系式为y＝ax＋b(a≠0)，

对于抛物线y＝－x2＋x＋1，

令x＝0，得y＝1，即有A(0，1)，

将点A的坐标代入直线AB的函数关系式，得b＝1，

令x＝3，得y＝，即有B(3，)，

将点B的坐标代入直线AB的函数关系式，得a＝，

∴直线AB的函数关系式为y＝x＋1；

(2)显然OP＝t，即P(t，0)，

将x＝t代入抛物线解析式可得y＝－t2＋t＋1，

即N(t，－t2＋t＋1)，

将x＝t代入直线AB的函数关系式可得y＝t＋1，

即M(t，t＋1)，

∴s＝MN＝－t2＋t＋1－(t＋1)，

∴s＝－t2＋t(0≤t≤3)；

 (3)显然NM∥BC，

∴要使得四边形BCMN为平行四边形，只要MN＝BC，

即s＝－t2＋t＝，

解得t＝1或t＝2.

①当t＝1时，M(1，)，

∴MP＝，CP＝OC－OP＝2.

在Rt△MPC中，CM＝＝＝BC，

∴四边形BCMN为菱形；

②当t＝2时，M(2，2)，

∴MP＝2，CP＝1.

在Rt△MPC中，CM＝＝≠BC.

∴四边形BCMN不是菱形．

综上，当t＝1或t＝2时，四边形BCMN为平行四边形；当t＝1

时，平行四边形BCMN为菱形．