【配套新教材】2023届高考数学二轮复习解答题专练（4）数列B卷

（4）数列

B卷

1.已知数列的前5项分别为1,,,,,数列满足.
(1)求的前n项和.
(2)求数列的前n项和.

2.已知数列满足，.

（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和.

3.已知等差数列的各项均为正数，其前n项和为，且满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，且，求数列的前n项和.

4.已知数列满足，.

（1）求，；

（2）设，求证：数列是等比数列，并求其通项公式；

（3）已知，求证：.

5.7月份，有一新款服装投入某市场.7月1日该款服装仅售出3件，以后每天售出的该款服装都比前一天多3件，当日销售量达到最大（只有1天）后，每天售出的该款服装都比前一天少2件，且7月31日当天刚好售出3件.

（1）求7月几日该款服装销售最多，最多售出几件.

（2）按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行.求该款服装在社会上流行几天.

6.已知是各项均为正数的数列，其前n项和为，且为与的等差中项.

（1）求证：数列为等差数列；

（2）设，求的前100项和.

7.已知数列的前n项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和.

8.已知数列的前n项和为.

（1）若，，证明：；

（2）在（1）的条件下，若，数列的前n项和为，求证.

9.设数列的前n项和为，数列的前n项和为.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.

10.已知在等差数列中，，，是各项都为正数的等比数列，，.求：

（1）数列，的通项公式；

（2）数列的前n项和.

答案以及解析

1.答案：(1)由,,,,…,得.
所以.
所以.
(2)记.
则

.
设,①
则.②
,得,
所以.
所以.

2.答案：（1）数列满足，，

当时，，

，，

.

，

数列是首项为3，公比为3的等比数列，

，.

（2），

，

又，

两式相减，得

，

.

3.答案：（1）方法一  设等差数列的公差为d，且，

则，

，

.

方法二  设等差数列的公差为d.

是等差数列，且，，

又，.

，，

，

.

（2），且，

，.

当时， .

当时，，满足上式，，

，

.

4.答案：（1）由数列的递推关系，易知

，.

（2）.

，

数列的各项均不为0，

，

即数列是首项为，公比为的等比数列，

.

（3）由（2）知.

.

5.答案：（1）设7月n日售出的服装件数为，最多售出件.

由题意知，解得，

7月13日该款服装销售最多，最多售出39件.
（2）设是数列的前n项和，

由（1）及题意知，

.
，

当时，由，得，
当，日销售量连续下降，由，得，
该服装在社会上流行11天（从7月12日到7月22日）.

6.答案：（1）由题意知，即.①

当时，由①式可得，

当时，，

代入①式得，

整理得，

是首项为1，公差为1的等差数列.

（2）由（1）可得，

的各项都为正数，，

，

又满足，

，

，

，

的前100项和.

7.答案：（1），①

，②

由②-①，可得，即.

又，.

故数列是首项为2，公比为2的等比数列，因此.

（2）由（1）可得，.

设，其前n项和为，

则，①

，②

由①-②，得，

.

设，其前n项和为，

则.

故.

8.答案：（1）见解析

（2）见解析

解析：（1）因为，，

所以，，

所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，

所以，

，

当时，，，

当时，满足上式，

所以，所以成立.

（2）由（1）知，

，

所以，

则，

所以，

所以成立.

9.答案：（1）数列的前n项和为，
时，.
时，，不满足上式.

数列的前n项和为.
时，，可得，
整理得.
时，，解得.
数列是等比数列，且首项与公比都为2.
.
（2），当时，；当时，.
时，；
时，.
.
.
整理得.
当时也满足上式，.

10.答案：（1）由，得，即，

所以等差数列的公差，则数列的通项公式为.

设等比数列的公比为，

所以，

由，得，即，

所以等比数列的公比，

所以数列的通项公式为.

（2），

则，①

，②

①-②，得，

故.