【配套新教材】2023届高考数学二轮复习解答题专练（6）空间向量与立体几何B卷

这是一份【配套新教材】2023届高考数学二轮复习解答题专练（6）空间向量与立体几何B卷，共18页。试卷主要包含了在三棱锥中,, 为棱上一点,且等内容，欢迎下载使用。
（6）空间向量与立体几何B卷1.如图，在正三棱柱中，各棱长均为4，M，N分别是BC，的中点.（1）求证：平面；（2）求直线AB与平面所成角的余弦值.2.如图,在四棱锥中,,,,平面平面.(1)证明:;(2)求直线与平面所成角的正弦值.3.如图,在直三棱柱中,分别是和的中点,是棱上一点.(I)求证:;(Ⅱ)若,三棱锥的体积为1,求与平面所成角的正弦值.4.如图,四棱锥的底面为矩形,平面平面,是边长为2的等边三角形,,点E为的中点,点M为上一点(与点不重合).(1)证明:.(2)当为何值时,直线与平面所成的角最大?5.在三棱锥中,, 为棱上一点,且.(I)证明:;(Ⅱ)若平面平面,求直线与平面所成角的余弦值.6.如图，在四棱柱中，平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，，PD和AN交于点E.(1)求证：平面平面PDG；(2)求直线PD与平面AMN所成角的正弦值.7.如图，在三棱柱中，，D为AC的中点，E为的中点.(1)求证：平面平面；(2)若F为的中点，求直线BF与平面所成角的正弦值.8.如图，在直三棱柱中，，，，，D是AB的中点.（1）求证：；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积.9.如图，四棱锥的底面是正方形，底面ABCD，E，F，H分别是BC，PC，PD的中点，.（I）求证：平面平面PBA；（II）求四棱锥被平面EFH分成的两部分的体积比.10.如图，在三棱柱中，四边形ABCD是菱形，，P，Q分别为AD，BE的中点，且平面平面ABCD.(1)求证：；(2)求直线PQ与平面BDF所成角的正弦值.


 
答案以及解析1.答案：（1）见解析（2）解析：（1）因为，且M为BC的中点，所以.在正三棱柱中，平面平面ABC，平面ABC，且平面平面，所以平面.因为平面，所以.因为M，N分别为BC，的中点，所以.又因为，，所以，所以，，所以，所以.又因为平面，平面，，所以平面.（2）设，连接AO.由（1）可知平面，所以为AB与平面所成的角.连接AN，由题可知，所以为等腰三角形，作于E，则E为AB的中点，所以，所以.在中，，所以，所以直线AB与平面所成角的余弦值为.2.答案：(1)见解析(2)解析：(1)因为平面平面,平面平面,所以平面.因为平面,所以.又,所以平面.因为平面,所以.(2)如图,取的中点E,连接,因为,所以,所以四边形为平行四边形,所以,故直线与平面所成的角即直线与平面所成的角.过P作的垂线交于点M,过M作的垂线交于点N,连接,因为平面平面,平面平面,所以平面,因为平面,所以.又,所以平面,所以平面平面.过M作的垂线交于点H,则平面.易知,,所以,所以.又,所以点E到平面的距离d为点M到平面的距离的2倍,所以.在中,,设直线与平面所成的角为θ,则,所以直线与平面所成角的正弦值为.3.答案：(I)见解析(Ⅱ)解析：(I)证明:如图,连接,在直三棱柱中,平面平面,所以.因为,所以,所以.因为,所以,即.又,所以平面.又平面,所以.(Ⅱ)因为.又,所以平面.又平面,所以.连接,因为,所以.又平面,所以,解得.以为坐标原点,所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系,则,所以,设平面的法向量为,则取,则,即,设与平面所成角为θ,则,所以与平面所成角的正弦值为.4.答案：(1)见解析(2)30°解析：(1)证明：如图,连接,交于点F因为四边形为矩形,,点E为的中点, 所以,,所以,则.因为,所以,所以,则.因为是边长为2的等边三角形,点E为的中点,所以.因为平面平面,平面平面,所以平面.又平面,所以.因为,所以平面.因为平面,所以.(2)取的中点H,连接,则.以E为坐标原点,所在的直线分别为x轴、 y轴、z轴建立如图的空间直角坐标系,由已知条件可知,,.设,则.设平面的一个法向量为,则即令,则,所以.设直线与平面所成的角为θ，则,当且仅当,即时,等号成立.所以直线与平面所成的角的最大值为30°,此时.5.答案：(I)见解析(Ⅱ)解析：(I)证明:在中,,由余弦定理得,所以.在中,,由正弦定理得即,解得.又,所以,所以,所以,即为直角三角形,则由勾股定理得.过点D作于点E,则,所以,即,所以.连接,在中,,则由余弦定理得,所以,则,所以,即.又,所以平面.又平面,所以.(Ⅱ)若平面平面,由(I)可知.因为平面,所以平面,连接,则即为直线与平面所成角.在中,,由勾股定理得,所以.在中,由勾股定理得,则,所以,所以直线与平面所成角的余弦值为.6.答案：(1)证明过程见解析.(2)正弦值为.解析：(1)平面ABCD，平面ABCD，.，，，.又平面PDC.平面EAC，平面平面PDC.(2)解法一：由(1)知，，平面ABCD，平面ABCD，，又平面PAC.又平面PAC，又平面AMN，平面平面PAC.易知平面平面，过点P作于点H，则平面AMN，连接EH，则为直线PD与平面AMN所成的角.在中，P，则.设，易知F为PC的中点，，连接PM，则，，在中，，得，，故直线PD与平面AMN所成角的正弦值为.解法二：由(1)知，，又，所以.连接PM，则.因为平面ABCD，故以C为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，.设平面AMN的法向量为，则，即，则，取，则，所以.设直线PD与平面AMN所成的角为，则，故直线PD与平面AMN所成角的正弦值为.7.答案：(1)证明过程见解析.(2)正弦值为.解析：(1)由题意可得四边形是菱形，连接，所以.因为D为AC的中点，E为的中点，所以，所以.连接，因为，所以，且，又，所以，所以.又，所以平面，因为平面，所以.因为，所以平面BDE，因为平面，所以平面平面.(2)解法一：由(1)知平面平面，设，连接BM，则平面平面，过点D作于点N，则平面ABC.连接DF，因为D，F分别是AC，的中点，所以，所以点F到平面的距离与点D到平面的距离相等，为DN.设直线BF与平面所成的角为，则.因为，所以，所以.由(1)易知，所以,所以.易知，所以，即直线BF与平面所成角的正弦值为.解法二：由(1)知BD，AC，两两垂直，故以D为坐标原点，直线DB，DC，，分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以.设平面的法向量为，则得取，得.设直线BF与平面所成的角为，则，所以直线BF与平面所成角的正弦值为.8.答案：（1）见解析（2）见解析（3）三棱锥的体积为4解析：（1），.平面ABC，平面ABC，.又，平面.平面，.（2）如图，设与的交点为E，连接DE.，为正方形，是的中点.又是AB的中点，.平面，平面，平面.（3）平面，D为AB的中点，点D到平面的距离等于，.三棱锥的体积为4.9.答案：（I）见解析（Ⅱ）解析：（I）证明：因为F，H分别是PC，PD的中点，所以.又因为四棱锥的底面是正方形，所以，即.又平面PBA，平面ABC，故平面PBA.同理可证平面PBA.因为平面EFH，平面EFH，，所以平面平面PBA.（Ⅱ）因为平面平面PBA，延伸平面EFH交AD于点Q，则，所以Q为AD的中点，连接FD.设多面体的体积为，剩余部分体积为，四棱锥的高为h.因为，，，所以.因为，所以，所以.10.答案：(1)证明过程见解析.(2)正弦值为.解析：(1)连接BP，在菱形ABCD中，易得.平面平面ADF，平面平面，平面ADF.又平面ADF，.在中，易知，.又，，连接EP，，平面BEP，平面BEP，又平面BEP，.(2)解法一：取DF的中点G，连接EG，GP.，.四边形PQEG为平行四边形，.直线PQ与平面BDF所成的角就是直线EG与平面BDF所成的角.由(1)知，，在中，，.在中，，易知，连接BG，.又，平面BEG.又平面BDF，平面平面BEG.过E作于点H，平面平面，平面BDF.就是直线EG与平面BDF所成的角.在中，易得，，直线PQ与平面BDF所成角的正弦值为.解法二：由(1)知，故可以PB，PA所在直线分别为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.，，.设平面BDF的法向量为，则即取，则，.设直线PQ与平面BDF所成的角为，则.直线PQ与平面BDF所成角的正弦值为.