【配套新教材】2023届高考数学二轮复习解答题专练（7）概率与统计A卷

（7）概率与统计

A卷

1.由中央电视台综合频道(CCTV-1)和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课.每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到了青年观众的喜爱.为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A，B两个地区的100名观众，得到如下所示的列联表.

已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众来自B地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为0.35.

（1）现从100名观众中根据喜爱程度用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取喜爱程度为“非常喜欢”的A，B地区的人数各是多少？

（2）完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系；

（3）若以抽样调查的频率为概率，从A地区随机抽取3人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人数为X，求X的分布列和期望.

附：，，

2.第七次全国人口普查登记于2020年11月1日开始，这是在我国人口发展进入关键期开展的一次重大国情国力调查，可以为编制“十四五”规划，为推动高质量发展，完善人口发展战略和政策体系、促进人口长期均衡发展提供重要信息支持，本次普查主要调查人口和住户的基本情况.某校高三一班共有学生54名，按人口普查要求，所有住校生按照集体户进行申报，所有非住校生（走读生及半走读生）按原家庭申报，已知该班住校生与非住校生人数的比为，住校生中男生占，现从住校生中采用分层抽样的方法抽取7名学生担任集体户户主进行人口普查登记.

（1）应从住校的男生、女生中各抽取多少人？

（2）若从抽出的7名户主中随机抽取3人进行普查登记培训.

①求这3人中既有男生又有女生的概率；

②用X表示抽取的3人中女生户主的人数，求随机变量X的分布列与数学期望.

3.某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶。为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.

(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率.

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.

4.某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下表：

该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下表：

假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：

(1)估计该公司一位会员至少消费两次的概率.

(2)某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润.

(3)该公司要从这100位里至少消费两次的顾客中按消费次数用分层随机抽样方法抽出8人，再从这8人中抽出2人发放纪念品，求抽出的2人中恰有1人消费两次的概率.

5.为进一步激发青少年学习中华优秀传统文化的热情，某校举办了“我爱古诗词”对抗赛，在每轮对抗赛中，高二年级胜高三年级的概率为，高一年级胜高三年级的概率为，且每轮对抗赛的成绩互不影响.

（1）若高二年级与高三年级进行4轮对抗赛，求高三年级在对抗赛中至少有3轮胜出的概率；

（2）若高一年级与高三年级进行对抗，高一年级胜2轮就停止，否则开始新一轮对抗，但对抗不超过5轮，求对抗赛轮数X的分布列与数学期望.

6.垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化、减量化处理.某市为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据，其中和分别表示第i个县城的人口(单位：万人)和该县年垃圾产生总量(单位：吨)，并计算得，.

（1）请用相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合；

（2）求y关于x的线性回归方程；

（3）某科研机构研发了两款垃圾处理机器，其中甲款机器每台售价100万元，乙款机器每台售价80万元，下表是以往两款垃圾处理机器的使用年限统计表：

根据以往经验可知，某县城每年可获得政府支持的垃圾处理费用为50万元，若仅考虑购买机器的成本和每台机器的使用年限(使用年限均为整年)，以频率估计概率，该县城选择购买一台哪款垃圾处理机器更划算?

参考公式：相关系数，

对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：.

7.2020年11月2日湖南省衡阳市衡南县清竹村，由“杂交水稻之父”袁隆平团队研发的晚稻品种“叁优一号”亩产为911.7公斤.在此之前，同一基地种植的早稻品种亩产为619.06公斤.这意味着双季亩产达到1530.76公斤，实现了“1500公斤高产攻关”的目标.在水稻育种中，水稻的不同性状对水稻的产量有不同的影响.某育种科研团队测量了株高(单位：cm)和穗长的数据，如下表(单位：株)：

(1)根据表中数据判断，能否在犯错概率不超过0.01的前提下认为株高和穗长之间有关系？

(参考公式：，其中)

(2)在采样的稻田里随机抽取3株测量每穗总粒数，把抽取的低杆长穗株数记为X，求X的分布列和数学期望(把频率当成概率计算).

8.某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：

假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.

（1）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；

（2）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；

（3）将该校学生支持方案二的概率估计值记为，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为，试比较与的大小.(结论不要求证明)

9.致敬百年，读书筑梦，某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩，党史网络知识竞赛”活动.并对某年级的100位学生竞赛成绩进行统计，得到如下人数分布表.规定：成绩在内，为成绩优秀.

(1)根据以上数据完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关；

(2)某班级实行学分制，为鼓励学生多读书，推出“读书抽奖额外赚学分”趣味活动方案：规定成绩达到优秀的同学，可抽奖2次，每次中奖概率为p(每次抽奖互不影响，且p的值等于成绩分布表中不低于80分的人数频率)，中奖1次学分加5分，中奖2次学分加10分.若学生甲成绩在内，请列出其本次读书活动额外获得学分数X的分布列并求其数学期望.

参考公式：，.

附表：

10.随着直播电商的迅速兴起，许多农民通过短视频或直播销售，让新鲜的农产品快速直接地送到消费者手中，这种新的销售形式推动了农民收入的增加.某农副产品超市从一家电商农户购进一批总质量为1000千克的西瓜，从中随机抽取40个西瓜统计其质量，得到的结果如下表所示：

（1）以组中值为代表，试估计该批西瓜的数量是多少；（所得结果四舍五入保留整数）

（2）以频率估计概率，某顾客在这批西瓜中随机挑选3个，记这3个西瓜的质量在之间的数量为随机变量X，求X的分布列与数学期望.

答案以及解析

1、（1）答案：从A地抽取6人，从B地抽取7人

解析：由题意得，解得，

所以应从A地抽取(人)，从B地抽取(人).

（2）答案：没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系

解析：完成表格如下：

所以的观测值

，

所以没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系.

（3）答案：分布列见解析，期望是2

解析：从A地区随机抽取1人，抽到的观众的喜爱程度为“非常喜欢”的概率为，

从A地区随机抽取3人，X的所有可能取值为0，1，2，3，

则，

，

，

.

所以X的分布列为

.

2.答案：（1）男生、女生就分别抽取4人，3人

（2）①；②

解析：（1）由已知，住校生中男生占，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此男生、女生就分别抽取4人，3人.

（2）①设事件A为“抽取的3名户主中既有男生，又有女生”，设事件B为“抽取的3名户主中男生有1人，女生有2人”；事件C为“抽取的3名户主中男生有2人，女生有1人”，则，且B与C互斥，

，，

故，

所以事件A发生的概率为.

②随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，

，

随机变量X的分布列为

随机变量X的数学期望.

3.答案：(1)概率的估计值为0.6

(2)概率的估计值为0.8

解析：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表中数据可知，最高气温低于25的频率为.

所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.

(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温低于20，

则；

若最高气温位于区间，则；

若最高气温不低于25，测，所以，利润Y的所有可能值为-100，300，900.

Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为.

因此Y大于零的90概率的估计值为0.8.

4.答案：(1)概率为0.4.

(2)平均利润为45元.

(3)概率为.

解析：(1)100位会员中，至少消费两次的会员有40位所以估计一位会员至少消费两次的概率为.

(2)该会员第1次消费时，公司获得的利润为(元)，

第2次消费时，公司获得的利润为(元)，

所以，公司获得的平均利润为(元).

(3)因为，所以用分层随机抽样方法抽出的8人中，消费2次的有4人，分别设为，消费3次的有2人，分别设为，

消费4次和5次及以上的各有1人，分别设为C，D，从中抽出2人，抽到的有，共7种；

去掉后，抽到的有，共6种；…

去掉后，抽到C的有：CD，共1种，

总的抽取方法有(种)，

其中恰有1人消费两次的抽取方法有(种)，

所以抽出的2人中恰有1人消费两次的概率为.

5.答案：（1）

（2）

解析：（1）由题意，知高三年级胜高二年级的概率为.

设高三年级在4轮对抗赛中有x轮胜出，“至少有3轮胜出”的概率为P，则

.

（2）由题意可知，3，4，5，

则，

，

，

，

故X的分布列为

.

6.答案：（1）

(2)

(3) 甲款

解析：（1）由题意知相关系数，

因为y与x的相关系数接近1，所以y与x之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合.

（2），

，

所以.

（3）以频率估计概率，购买一台甲款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用X（单位：万元）的分布列为：

（万元）.

购买一台乙款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用Y（单位：万元）的分布列为：

（万元）.

因为，所以该县城选择购买一台甲款垃圾处理机器更划算.

7.答案：(1)能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为株高和穗长之间有关系.

(2)分布列见解析，数学期望为.

解析：(1)根据2×2列联表中的数据，

可得

，

因此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为株高和穗长之间有关系.

(2)记“在采样的稻田里抽出低杆长穗稻株”为事件A，

则，所以.

X的所有可能取值为0，1，2，3，

，

，

，

，

所以随机变量X的分布列如表所示，

随机变量X的数学期望.

8.答案：（1）；

（2）
（3）

解析：（1）估计该校男生支持方案一的概率，

该校女生支持方案一的概率.

（2）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，这3人中恰有2人支持方案-有两种情况：①2名男生都支持方案一，女生不支持，估计概率为；②2名男生中只有1名男生支持方案一，女生支持方案一，估计概率为.

则估计这3人中恰有2人支持方案一的概率.

（3）.

理由：估计该校学生男生、女生人数的整体比例为，男生对方案二的支持率高于女生.而一年级男生、女生人数的比例为，高于整体比值，一年级对方案二的支持率高于平均值，所以除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值小于该校学生支持方案二的概率估计值.

9.答案：(1)表格见解析，没有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关.

(2)分布列见解析，数学期望为2.5.

解析：(1)补全2×2列联表如表所示.

因为，

因此没有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关.

(2)由题可知，X的所有可能取值为0，5，10，

且，

，

，

，

所以X的分布列为：

则X的数学期望.

10.答案：（1）该批西瓜的数量约为222

（2）

解析：（1）由题可得，样本中40个西瓜的平均质量为，

（个），所以该批西瓜的数量约为222.

（2）由表格可知，样本的40个西瓜中质量在之间的频率为，

所以估计农副产品超市购进的这批西瓜中，质量在之间的频率为，

以频率估计概率，随机挑一个西瓜，质量在之间的概率为，

所以该顾客挑选的3个西瓜中，质量在之间的数量，

X的所有可能取值为0，1，2，3，

且；

；

；

.

所以X的分布列为

所以.