【配套新教材】2023届高考数学二轮复习解答题专练（8）概率与统计B卷

（8）概率与统计

B卷

1.2020年春节期间爆发的新型冠状病毒()，是一种可以借助飞沫和接触传播的变异病毒.新冠肺炎的确诊要靠新冠病毒核酸的检测，如果检测结果呈阳性，则确诊此人体内带有新型冠状病毒.某医院隔离了一批发热病人，其中经检测带有新型冠状病毒的概率为.现从此医院中抽出10个发热病人作为样本进行核酸检测.

若从这10个样本中随机取出3个，求至少2人确诊的概率；

以此10个样本的样本数据来估计这批发热病人的总体，若从这批数量很大的发热病人的样本中任选3个，记表示抽到的样本中确诊的人数，求的分布列及数学期望.

2.某啤酒厂要将一批鲜啤酒用汽车从所在城市甲运至城市乙,已知从城市甲到城市乙只有两条公路,运费由厂家承担.若厂家恰能在约定日期将啤酒送到,则城市乙的销售商一次性支付给厂家40万元;若在约定日期前送到,每提前一天销售商将多支付给厂家2万元;若在约定日期后送到,每迟到一天销售商将少支付给厂家2万元.为保证啤酒的新鲜度,汽车只能在约定日期的前两天出发,且只能选择其中的一条公路运送.已知信息如下:

(1)记选择公路1运送啤酒时厂家获得的毛收入为(单位:万元),求的分布列和;

(2)若,则选择哪条公路运送啤厂家获得的毛收入更多?

注:毛收入=销售商支付给厂家的费用运费.

3.习近平总书记在2020年新年贺词中勉励大家:“让我们只争朝夕,不负韶华,共同迎接2020年的到来.”

其中“只争朝夕,不负韶华”旋即成了网络热词,成了大家互相砥砺前行的铮铮皙言,激励着广大青年朋友奋发有为,积极进取,不负青春,不负时代.

“只争朝夕,不负韶华”用英文可翻译为:“.”

(1)求上述英语译文中, 4个字母出现的频率(小数点后面保留两位有效数字),并比较4个频率的大小(用“>”连接);

(2)在上面的句子中随机取一个单词,用表示取到的单词所包含的字母个数,写出的分布列,并求出其数学期望;

(3)从上述单词中任选2个单词,求其字母个数之和为6的概率.

4.为了推进产业转型升级,加强自主创新,发展高端创造、智能制造.把我国制造业和实体经济搞上去,推动我国经济由量大转向质强,许多企业致力于提升信息化管理水平,一些中小型工厂的规模不大,在选择管理软件时都要进行调查统计,某一小型工厂自己没有管理软件的高级技术员.欲购买管理软件服务公司的管理软件.并让其提供服务,某一管理软件服务公司有如下两种收费方案:

方案一:管理软件服务公司每月收取工厂4800元.对于提供的软件服务.每次另外收费200元;

方案二:管理软件服务公司每月收取工厂7600元.若每月提供的软件服务不超过15次.不另外收费.若超过15次,超过部分的软件服务每次另外收费500元.

(1)设管理软件服务公司月收费为y元.每月提供的软件服务的次数为x,试写出两种方案中y与x的函数关系式.

(2)该工厂对该管理软件服务公司为另一个工厂过去20个月提供的软件服务的次数放进行了统计,得到如图所示的条形统计图.该工厂要调查服务质量,.现从服务次放为13次和14次的月份中任选3个月.求这3个月恰好是1个13次服务、2个14次服务的概率.

(3)依据条形统计图中的数据,把频率视为概率.从节约成本的角度考虑该工厂选择.种方案更合适请说明理由.

5.现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场,均养有1万头猪.根据猪的体重,将其分为三个成长阶段,如下表:

根据以往经验,两个养猪场内猪的体重均近似服从正态分布.

由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期的猪的监控力度,高度重视其质量保证,为了养出健康的成年期的猪,甲、乙两个养猪场引入两种不同的防控及养殖模式.已知甲、乙两个养猪场内一头成年期的猪能通过质检合格的概率分别为.

(1)试估算各养猪场三个阶段的猪的数量;

(2)已知甲养猪场出售一头成年期的猪,若为健康合格的猪,则可盈利400元,若为不合格的猪,则亏损200元;乙养猪场出售一头成年期的猪,若为健康合格的猪,则可盈利500元,若为不合格的猪,则亏损100元.记为甲、乙养猪场各出售一头成年期的猪所得的总利润,求随机变量的分布列,假设两个养猪场均能把成年期的猪售完,求两个养猪场的总利润的期望值.

(参考数据:若,则)

6.景泰蓝(),中国的著名特种金属工艺品之一,到明代景泰年间这种工艺技术制作达到了最巅峰,因制作出的工艺品最为精美而闻名,故后人称这种瓷器为“景泰蓝”.其制作过程中有“掐丝”这一环节,某大型景泰蓝掐丝车间共有员工10 000人,现从中随机抽取100名对他们每月完成合格品的件数进行统计.得到如下统计表:

(1)若每月完成合格品的件数超过18件,则车间授予“工艺标兵”称号,由以上统计表填写下面的2×2列联表,并判断是否有95%的把握认为“工艺标兵”称号与性别有关;

(2)为提高员工的工作积极性,该车间实行计件工资制:每月完成合格品的件数在12件以内(包括12件),每件支付员工200元,超出的部分,每件支付员工220元,超出的部分,每件支付员工240元,超出4件以上的部分,每件支付员工260元,将这4段频率视为相应的概率,在该车间男员工中随机抽取2人,女员工中随机抽取1人进行工资调查,设实得计件工资超过3 320元的人数为,求的分布列和数学期望.

附:,其中.

7.为了遏制新冠肺炎疫情,我国科研人员在研究新型冠状病毒某种疫苗的过程中,利用小白鼠进行科学试验.为了研究小白鼠连续接种疫苗后出现症状的情况,决定对小白鼠做接种试验.该试验为:①对参加试验的每只小白鼠每天接种一次;②连续接种三天为一个接种周期;③试验共分3个接种周期.已知每只小白鼠接种后当天出现症状的概率均为,假设每次接种后小白鼠当天是否出现症状与上次接种无关.

(1)若某只小白鼠出现症状,则对其终止试验,求一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率;

(2)若某只小白鼠在一个接种周期内出现2次或3次症状,则在这个接种周期结束后,对其终止试验.设一只小白鼠参加的接种周期为,求的分布列及数学期望.

8.某校辩论队计划在周六、周日各参加一场辩论赛,分别由正、副队长负责,已知该校辩论队共有10位成员(包含正、副队长),每场比赛除负责人外均另需3位队员(同一队员可同时参加两天的比赛,正、副队长只能参加一场比赛).假设正、副队长分别将各自比赛通知的信息独立、随机地发给辩论队8名队员中的3位,且所发信息都能收到.

(1)求辩论队员甲收到正队长或副队长所发比赛通知信息的概率;

(2)记辩论队收到正队长或副队长所发比赛通知信息的队员人数为随机变量,求的分布列及其数学期望.

9.古人云:“腹有诗书气自华.”习近平总书记倡导全民阅读,建设书香中国.现在校园读书活动热潮正在兴起,某校为统计学生一周课外读书的时间,从全校学生中随机抽取200名学生,获得了他们一周课外读书时间(单位:)的数据如表所示:

(1)求的值;如果按读书时间分组,用分层抽样的方法从这200名学生中抽取20人,再从这20人中随机选取3人,求恰有2人一周课外读书时间在内的概率.

(2)若将样本频率视为概率,从该校学生中随机选取3人,记为一周课外读书时间在内的人数,求的分布列和数学期望,并估计该校一周人均课外读书的时间.

10.为了引导居民合理用电,国家决定实行合理的阶梯电价,居民用电原则上以住宅为单位(一套住宅为一户).

某市随机抽取10户同一个月的用电情况,得到统计表如下:

(1)若规定第一阶梯电价每千瓦·时0.5元,第二阶梯超出第一阶梯的部分每千瓦·时0.6元,第三阶梯超出第二阶梯的部分每千瓦·时0.8元,试计算居民用电户月用电410千瓦·时时应交电费多少元？

(2)现要在这10户家庭中任意选取3户,求取到第二阶梯电量的用户数的分布列与期望.

(3)以表中抽到的10户作为样本估计全市居民用电,现从全市中依次抽取10户,若抽到户月用电量为第一阶梯的可能性最大,求的值.

答案以及解析

1.答案：记“若从这10个样本中随机取出3个，至少2人确诊”为事件,则所求概率.

由题意得的所有可能取值为0,1,2,3.

则可知，

则;

;

;

,

所以的分布列如表所示：

所以的数学期望.

2.答案：(1)若汽车走公路1,

则不堵车时啤酒厂获得的毛收入(万元),

堵车时啤酒厂获得的毛收入(万元),

所以汽车走公路1时啤酒厂获得的毛收入的分布列为

故.

(2)当时,由(1)知(万元).

当时,设汽车走公路2时啤酒厂获得的毛收入为,则不堵车时啤酒厂获得的毛收入(万元),堵车时啤酒厂获得的毛收入(万元),所以汽车走公路2时啤酒厂获得的毛收入的分布列为

所以(万元),

由得选择公路2运送啤酒有可能让啤酒厂获得的毛收入更多.

3.答案：(1)4个字母出现的频率分别为,

其大小关系为出现的频率出现的频率出现的频率出现的频率.

(2)的分布列为

所以.

(3)满足字母个数之和为6的情况分为两种:

①从含2个字母的2个单词中任选一个,再从含4个字母的2个单词中任选一个,不同的方法有种.

②从含3个字母的4个单词中任选2个,不同的方法有种.

故所求的概率.

4.答案：(1)由题意可知,方案一中管理软件服务公司的月收费y与x的函数关系式为,

方案二中管理软件服务公司的月收费y与x的函数关系式为.

(2)记选择的3个月恰好是1个13次服务,2个14次服务为事件A,则,

(3)对于方案一,设管理软件服务公司的月收费为元,由条形统计图可得的取值为,

,,

,,

.

所以的分布列为

所以.

对于方案二,设管理软件服务公司的月收费为元,由条形统计图可得的取值为,

,,

所以的分布列为

.

因为,所以从节约成本考虑,该工厂选择方案一更合适.

5.答案：(1)设各阶段猪的数量分别为,

猪的体重近似服从正态分布,

,

(头);

(头);

,

(头).

甲、乙两个养猪场各有幼年期的猪215头,成长期的猪9 540头,成年期的猪215头.

(2)随机变量的所有可能取值为900,300,.

,

的分布列为

(元),

由于两个养猪场均有215头成年期的猪,且两个养猪场各出售一头成年期的猪所得的总利润的期望为630元,则总利润的期望为(元).

6.答案：(1)2×2列联表如下:

,

所以有95%的把握认为“工艺标兵”称号与性别有关.

(2)若员工实得计件工资超过3 320元,则每月完成合格品的件数需超过16件,由题中统计表数据可得,男员工实得计件工资超过3 320元的概率,女员工实得计件工资超过3 320元的概率.

设随机抽取的男员工中实得计件工资超过3 320元的人数为,随机抽取的女员工中实得计件工资超过3 320元的人数为,则.

由题意可知,的所有可能取值为0,1,2,3,

,

,

,

,

所以随机变量的分布列为

所以.

7.答案：(1)根据题意,得一只小白鼠第一天接种后当天出现症状的概率,

第二天接种后当天出现症状的概率,

能参加第三天试验但不能参加下一个接种周期试验的概率,

所以一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率.

(2)设事件为“小白鼠在一个接种周期内出现2次或3次症状”,则.

由题意,得随机变量的所有可能取值为1,2,3,则

,

,

,

所以的分布列为

.

8.答案：(1)设事件表示:辩论队员甲收到正队长的通知信息.

则,

设事件表示:辩论队员甲收到副队长的通知信息.

则,

设事件表示:辩论队员甲收到正队长或副队长的通知信息.

则,

所以辩论队员甲收到正队长或副队长的通知信息的概率为.

(2)由题意可得,随机变量的所有可能取值为3,4,5,6,

则,,

所以随机变量的分布列为

故数学期望.

9.答案：(1)由已知可得.

由题意知,从样本中抽取20人,抽取比例为,所以从三组中抽取的人数分别为2,5,13,从这20人中随机抽取3人,恰有2人一周课外读书时间在内的概率.

(2)由题意得,总人数为200,一周课外读书时间在内的人数为130,因此从该校任取1人,一周课外读书时间落在区间内的概率是.

的可能取值为0,1,2,3,且,所以,

所以的分布列为

数学期望.

该校一周人均课外读书时间的估计值为.

10.答案：(1)由题意知,居民用电户月用电410千瓦·时时应交电费(元).

(2)设取到第二阶梯电量的用户数为,可知第二阶梯电量的用户有3户,则可取0,1,2,3,

,.

故的分布列是

所以.

(3)由题意可知,从全市中抽取10户,设其中月用电量为第一阶梯的户数为,则,

,

解得,

所以当时,概率最大,所以.