湖南省长沙市湘江新区五校联考2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷

这是一份湖南省长沙市湘江新区五校联考2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷，共21页。

2022-2023学年湖南省长沙市湘江新区五校联考九年级（上）期末数学试卷
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）剪纸艺术是中华民族的瑰宝，下面剪纸作品中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）一元二次方程x2﹣5x﹣8＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
3．（3分）下列事件中，随机事件是（　　）
A．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数
B．每年的一月份都有31天
C．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰
D．三角形的内角和是360°
4．（3分）二次函数y＝3（x﹣4）2﹣2的顶点坐标是（　　）
A．（4，2） B．（4，﹣2） C．（﹣4，2） D．（﹣4，﹣2）
5．（3分）若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（4，﹣），则k的值为（　　）
A．2 B．﹣ C． D．﹣2
6．（3分）已知扇形的圆心角为100°，半径为9，则弧长为（　　）
A． B．5π C．8π D．10π
7．（3分）如图，△AOB中，∠AOB＝90°．现在将△AOB绕点O逆时针旋转44°得到△A′OB′，则∠A′OB的度数为（　　）

A．44° B．66° C．56° D．46°
8．（3分）如图，有一圆弧形桥拱，已知圆弧所在圆的半径OA＝10m，桥拱的跨度AB＝16m，则拱高CD为（　　）

A．6m B．8m C．4m D．3m
9．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞且k≠0 B．k＜且k≠0 C．k≤且k≠0 D．k＜
10．（3分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于点D，过D作BC的平行线交AC于M，若BC＝3，AC＝2，则DM＝（　　）

A． B． C． D．
二.填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知点A（﹣2，b）与B（a，3）点关于原点对称，则a+b＝　 　．
12．（3分）在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为 　 　．
13．（3分）如图，点A、B、C、D都在⊙O上，OA⊥BC，∠CDA＝25°，则∠AOB＝　 　°．

14．（3分）当m　 　时，函数y＝（x＞0）中的y随x的增大而增大．
15．（3分）一个扇形的半径长为6，圆心角是80°，这个扇形的面积是 　 　．
16．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，抛物线经过点（﹣1，0），则下列结论：①abc＜0；②2a﹣b＞0；③3a+c＞0；④a+b＞am2+bm（m为一切实数）；⑤b2＞4ac；正确的是 　 　（填写序号）．

三.解答题（共9小题）
17．（8分）解方程．
（1）x2﹣2＝0；
（2）x2+2x﹣1＝0；
18．（8分）反比例函数y＝与一次函数y＝2x﹣4的图象都过A（n，4）．
（1）求A点坐标；
（2）求反比例函数解析式．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（6，3），B（0，5）．
（1）画出△OAB绕原点O逆时针方向旋转90°后得到的△OA1B1；
（2）连接AA1，∠OAA1的度数为 　 　°；
（3）以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内将△ABO缩小得到△A2B2O，画出△A2B2O，直接写出点A2的坐标．

20．（8分）为落实“垃圾分类”，环卫部门要求垃圾要按A，B，C三类分别装袋投放．其中A类指厨余垃圾，B类指可回收垃圾，C类指有毒垃圾．小聪和小明各有一袋垃圾，需投放到小区如图所示的垃圾桶．
（1）直接写出小聪投放的垃圾恰好是A类的概率为 　 　．
（2）请用列表或画树状图的方法，求小聪与小明投放的垃圾是同类垃圾的概率．

21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边上一点，∠EAB＝∠EBC．
（1）求证：△ABE∽△BEC；
（2）若AB＝4，DE＝3，求BE的长．

22．（8分）某县生态果园2019年冬桃产量为80吨，2021年冬桃产量为115.2吨，若该生态果园冬桃产量的年平均增长率相同．
（1）求该生态果园冬桃产量的年平均增长率．
（2）若下一年冬桃产量的年增长率不变，请预估2022年该生态果园冬桃产量．
23．（8分）如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交边AC于点D，BC为⊙O的切线，弦DE⊥AB于点F，连结BE．
（1）求证：∠ABE＝∠C．
（2）若点F为OB中点，且OF＝1，求线段ED的长．

24．（8分）平面直角坐标系中，点P（x，y）的横坐标x的绝对值表示为|x|，纵坐标y的绝对值表示为|y|，我们把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的勾股值，记为[P]，即[P]＝|x|+|y|．
（1）已知点A（﹣1，3），，则[A]＝　 　，[B]＝　 　；
（2）若点C在一次函数y＝2x+2的图象上，且[C]＝4，求点C的坐标；
（3）若抛物线y＝ax2+bx+1与直线y＝x只有一个交点D，已知点D在第一象限，且2≤[D]≤4，令t＝2b2﹣4a+2022，试求t的取值范围．
25．（8分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，已知直线BC的解析式为y＝﹣x+3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D到直线BC的距离；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PCD是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．


2022-2023学年湖南省长沙市湘江新区五校联考九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）剪纸艺术是中华民族的瑰宝，下面剪纸作品中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．该图形是不中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形是不中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
2．（3分）一元二次方程x2﹣5x﹣8＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【分析】先进行判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：∵Δ＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣8）
＝57＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
3．（3分）下列事件中，随机事件是（　　）
A．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数
B．每年的一月份都有31天
C．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰
D．三角形的内角和是360°
【分析】根据随机事件的定义得出结论即可．
【解答】解：A选项，随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数，是随机事件，故A选项符合题意；
B选项，每年的一月份都有31天，是必然事件，故B选项不符合题意；
C选项，通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰，是必然事件，故C选项不符合题意；
D选项，三角形的内角和是360°，是必然事件，故D选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查随机事件的知识，熟练掌握随机事件的定义是解题的关键．
4．（3分）二次函数y＝3（x﹣4）2﹣2的顶点坐标是（　　）
A．（4，2） B．（4，﹣2） C．（﹣4，2） D．（﹣4，﹣2）
【分析】利用顶点式方程可直接得到抛物线的顶点坐标．
【解答】解：∵y＝3（x﹣4）2﹣2，
∴顶点坐标为（4，﹣2），
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）是解题的关键．
5．（3分）若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（4，﹣），则k的值为（　　）
A．2 B．﹣ C． D．﹣2
【分析】把点A（4，﹣）代入反比例函数y＝（k≠0）中可得k的值．
【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（4，﹣），
∴﹣＝，
解得：k＝﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是掌握凡是函数图象上的点必能满足解析式．
6．（3分）已知扇形的圆心角为100°，半径为9，则弧长为（　　）
A． B．5π C．8π D．10π
【分析】根据扇形的弧长公式l＝，直接代入求出即可．
【解答】解：根据扇形的弧长公式可得：l＝＝＝5π，
故选：B．
【点评】此题主要考查了扇形的弧长计算公式，正确的记忆弧长的计算公式是解决问题的关键．
7．（3分）如图，△AOB中，∠AOB＝90°．现在将△AOB绕点O逆时针旋转44°得到△A′OB′，则∠A′OB的度数为（　　）

A．44° B．66° C．56° D．46°
【分析】由旋转的性质可得∠AOA'＝44°，再由∠AOB＝90°即可求解．
【解答】解：∵将△AOB绕点O逆时针旋转44°，得到△A′OB′，
∴∠AOA'＝44°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠A'OB＝46°，
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
8．（3分）如图，有一圆弧形桥拱，已知圆弧所在圆的半径OA＝10m，桥拱的跨度AB＝16m，则拱高CD为（　　）

A．6m B．8m C．4m D．3m
【分析】根据垂径定理和勾股定理得出OA2＝AD2+OD2求解即可．
【解答】解：∵AB＝16m，CD⊥AB，
∴AD＝AB＝8m．
在直角△AOD中，
根据勾股定理得：OA2＝AD2+OD2
∴102＝82+（10﹣CD）2，
解得，CD＝16m或4m，
∵OA＝10m，
∴CD＝16m不合题意，舍去，
∴CD＝4m．
故选：C．
【点评】本题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，得出关于CD的等式是解题关键．
9．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞且k≠0 B．k＜且k≠0 C．k≤且k≠0 D．k＜
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，
∴k≠0且Δ＝（﹣1）2﹣4k≥0，
解得：k≤且k≠0．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
10．（3分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于点D，过D作BC的平行线交AC于M，若BC＝3，AC＝2，则DM＝（　　）

A． B． C． D．
【分析】先根据角平分线的定义和平行线的性质可得△DMC是等腰三角形，从而可得MD＝MC，然后再证明A字模型相似三角形△ADM∽△ABC，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB，
∵DM∥CB，
∴∠MDC＝∠DCB，
∴∠MDC＝∠ACD，
∴MD＝MC，
∵DM∥BC，
∴∠ADM＝∠B，∠AMD＝∠ACB，
∴△ADM∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴DM＝，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．
二.填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知点A（﹣2，b）与B（a，3）点关于原点对称，则a+b＝　﹣1　．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（﹣2，b）与B（a，3）点关于原点对称，
∴a＝2，b＝﹣3，
∴a+b＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
12．（3分）在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为 　　．
【分析】抽取的扑克牌总共有6张，其中“红桃”有1张，直接利用概率公式计算可得．
【解答】解：在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”．
将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
13．（3分）如图，点A、B、C、D都在⊙O上，OA⊥BC，∠CDA＝25°，则∠AOB＝　50　°．

【分析】先根据垂径定理得到＝，再根据圆周角定理得到∠AOB＝50°．
【解答】解：∵OA⊥BC，
∴＝，
∴∠AOB＝2∠CDA＝2×25°＝50°．
故答案为：50．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
14．（3分）当m　＜1　时，函数y＝（x＞0）中的y随x的增大而增大．
【分析】根据反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；（1）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（2）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，得出m﹣1＜0，进而得出答案．
【解答】解：∵函数y＝（x＞0）中的y随x的增大而增大，
∴m﹣1＜0，
解得：m＜1．
故答案为：＜1．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的增减性是解题关键．
15．（3分）一个扇形的半径长为6，圆心角是80°，这个扇形的面积是 　8π　．
【分析】利用扇形的面积公式求解即可．
【解答】解：扇形的面积＝＝8π．
故答案为：8π．
【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积＝．
16．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，抛物线经过点（﹣1，0），则下列结论：①abc＜0；②2a﹣b＞0；③3a+c＞0；④a+b＞am2+bm（m为一切实数）；⑤b2＞4ac；正确的是 　①⑤　（填写序号）．

【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①∵图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，c＞0，﹣＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故正确；
②∵a＜0，b＞0，
∴2a﹣b＜0，故错误；
③∵对称轴x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∵当x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，
∴3a+c＝0．故错误；
④x＝1函数有最大值，故a+b+c≥am2+bm+c，则a+b≥am2+bm（m为一切实数），
故错误．
⑤抛物线与x轴有2个交点，则b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac．
故正确；
综上所述，正确的结论是①⑤．
故答案为：①⑤．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
三.解答题（共9小题）
17．（8分）解方程．
（1）x2﹣2＝0；
（2）x2+2x﹣1＝0；
【分析】（1）利用直接开平方法解方程得出答案；
（2）利用配方法解方程解方程得出答案．
【解答】解：（1）x2﹣2＝0，
则x2＝4，
解得：x1＝2，x2＝﹣2；

（2）x2+2x﹣1＝0，
则x2+2x＝1，
故x2+2x+1＝1+1
则（x+1）2＝2，
x+1＝±，
解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
【点评】此题主要考查了直接开平方法以及配方法解方程，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18．（8分）反比例函数y＝与一次函数y＝2x﹣4的图象都过A（n，4）．
（1）求A点坐标；
（2）求反比例函数解析式．
【分析】（1）将点A（n，4）代入y＝2x﹣4求得m即可；
（2）将所求点A的坐标代入反比例函数解析式求得k即可．
【解答】解：（1）将点A（n，4）代入y＝2x﹣4得：
2n﹣4＝4，
解得：n＝4，
∴点A的坐标为（4，4）；
（2）将点A（4，4）代入y＝得：k＝16，
∴反比例函数解析式为y＝．
【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数相交的问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（6，3），B（0，5）．
（1）画出△OAB绕原点O逆时针方向旋转90°后得到的△OA1B1；
（2）连接AA1，∠OAA1的度数为 　45　°；
（3）以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内将△ABO缩小得到△A2B2O，画出△A2B2O，直接写出点A2的坐标．

【分析】（1）将点A、B分别绕点O逆时针旋转90°得到其对应点，再与点O首尾顺次连接即可得出答案；
（2）根据旋转的性质、等腰直角三角形的性质可得答案；
（3）根据位似变换的概念作出点A、B的对应点，再与点O首尾顺次连接即可．
【解答】解：（1）如图，△OA1B1即为所求；

（2）∵OA＝OA1，且∠AOA1＝90°，
∴∠OAA1＝45°；
故答案为：45；
（3）如图，△OA2B2即为所求，A2（3，）．
【点评】本题主要考查作图—旋转变换与位似变换，解题的关键是掌握旋转变换与位似变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．
20．（8分）为落实“垃圾分类”，环卫部门要求垃圾要按A，B，C三类分别装袋投放．其中A类指厨余垃圾，B类指可回收垃圾，C类指有毒垃圾．小聪和小明各有一袋垃圾，需投放到小区如图所示的垃圾桶．
（1）直接写出小聪投放的垃圾恰好是A类的概率为 　　．
（2）请用列表或画树状图的方法，求小聪与小明投放的垃圾是同类垃圾的概率．

【分析】（1）根据题意和图形，可以直接写出小聪投放的垃圾恰好是A类的概率；
（2）根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到小聪与小明投放的垃圾是同类垃圾的概率．
【解答】解：（1）由题意可得，
小聪投放垃圾有3种可能性，其中投放到A类只有1种可能，故小聪投放的垃圾恰好是A类的概率为，
故答案为：；
（2）树状图如下图所示：

由上可得，一共有9种可能性，其中小聪与小明投放的垃圾是同类垃圾的的可能性有3种，
故小聪与小明投放的垃圾是同类垃圾的概率是＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边上一点，∠EAB＝∠EBC．
（1）求证：△ABE∽△BEC；
（2）若AB＝4，DE＝3，求BE的长．

【分析】（1）利用平行四边形的性质得到∠EBA＝∠BEC，再判定相似即可．
（2）利用（1）中的相似三角形的性质求线段长度即可．
【解答】（1）证明：∵平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠EBA＝∠BEC，
又∵∠EAB＝∠EBC，
∴△ABE∽△BEC．
（2）解：∵四边形ABCD平行四边形，
∴AB＝DC＝4，
∵DE＝3，
∴CE＝1，
∵△ABE∽△BEC，
∴，
∴AB•CE＝BE2＝4×1＝4，
∴BE＝2．
【点评】本题主要考查三角形的相似的判定及性质，能够熟练运用判定定理判定三角形相似并利用相似的性质求线段长度是解题关键．
22．（8分）某县生态果园2019年冬桃产量为80吨，2021年冬桃产量为115.2吨，若该生态果园冬桃产量的年平均增长率相同．
（1）求该生态果园冬桃产量的年平均增长率．
（2）若下一年冬桃产量的年增长率不变，请预估2022年该生态果园冬桃产量．
【分析】（1）根据2021年的产量＝2019年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可；
（2）由（1）中的平均增长率，即可求出2022年冬桃产量的吨数．
【解答】解：（1）设该果园冬桃产量的年平均增长率为x，
根据题意得：80（1+x）2＝115.2，
解这个方程得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2．
x2＝﹣2.2＜0，不符合题意，舍去．
答：该果园冬桃产量的年平均增长率为20%；
（2）由题可知115.2×（1+0.2）＝138.24（吨），
答：预计该果园2022年冬桃产量为138.24吨．
【点评】考查根据实际问题列一元二次方程，找准等量关系：2021年的产量＝2019年的产量×（1+年平均增长率）2是解决问题的关键．
23．（8分）如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交边AC于点D，BC为⊙O的切线，弦DE⊥AB于点F，连结BE．
（1）求证：∠ABE＝∠C．
（2）若点F为OB中点，且OF＝1，求线段ED的长．

【分析】（1）根据切线的性质得到∠ABC＝90°，求得∠A+∠C＝90°，根据垂直的定义得到∠E+∠ABE＝90°，于是得到结论．
（2）连接OE，根据直角三角形的性质得到∠OEF＝30°，EF＝，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：AB为直径，BC为⊙O的切线，
∴∠ABC＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠BFE＝90°，
∴∠E+∠ABE＝90°，
∵∠E＝∠A，
∴∠ABE＝∠C．
（2）解：连接OE，
∵点F为OB中点，
∴OF＝OB＝OE，
∴∠OEF＝30°，
∵OF＝1，
∴OE＝2，EF＝，
∵弦DE⊥AB于点F，AB为直径，
∴DE＝2EF＝2．

【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．
24．（8分）平面直角坐标系中，点P（x，y）的横坐标x的绝对值表示为|x|，纵坐标y的绝对值表示为|y|，我们把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的勾股值，记为[P]，即[P]＝|x|+|y|．
（1）已知点A（﹣1，3），，则[A]＝　3　，[B]＝　3　；
（2）若点C在一次函数y＝2x+2的图象上，且[C]＝4，求点C的坐标；
（3）若抛物线y＝ax2+bx+1与直线y＝x只有一个交点D，已知点D在第一象限，且2≤[D]≤4，令t＝2b2﹣4a+2022，试求t的取值范围．
【分析】（1）根据题目中所给定义勾股值，分别计算出[A]和[B]即可；
（2）不妨设C（a，2a+2），此时需要进行分类讨论求解当a＞0时；当﹣1≤a≤0时；当a＜﹣1时；
（3）根据二次函数图象性质直接判断．
【解答】（1）解：∵A（﹣1，3），，
∴[A]＝|﹣1|+|3|＝1+3＝4，，
故答案为：3，3．
（2）解：设C（a，2a+2），即[C]＝|a|+|2a+2|＝4，
当a＞0时，a+2a+2＝4，
解得：，
∴；
当﹣1≤a≤0时，﹣a+2a+2＝4，
解得：a＝2，（不符合题意，舍去）；
当a＜﹣1时，﹣a﹣2a﹣2＝4，
解得：a＝﹣2，
∴C（2，2）；
故满足条件的有：或（2，2）；
（3）解：∵抛物线y＝ax2+bx+1与直线y＝x只有一个交点D，
∴方程组只有一组解．
消去y得：ax2+（b﹣1）x+1＝0，
∴Δ＝（b﹣1）2﹣4a＝0，
∴，
∴ax2+（b﹣1）x+1＝0可化为：，
∴[（b﹣1）x+2]2＝0，
∴．
∴，
∵D在第一象限，
∴1﹣b＞0，
∴b＜1．
∵2≤|D|≤4，
∴，
∴，
∴﹣1≤b≤0，
∴t＝2b2﹣4a+2022＝2b2﹣（b﹣1）2+2022＝（b+1）2+2020，
∵﹣1≤b＜0，抛物线开口向下，对称轴是b＝﹣1，
∴t随b的增大而增大，
∴2020≤t≤2021．
【点评】本题考查新定义类问题，绝对值法则、一次函数的性质、二次函数的图象和性质，解题的关键是表示点C，D的坐标，利用函数的性质求解．
25．（8分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，已知直线BC的解析式为y＝﹣x+3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D到直线BC的距离；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PCD是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）求出B、C点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）利用勾股定理逆定理判断出△BCD是直角三角形，再求点D到直线BC的距离即可；
（3）设P（1，t），分别求出PC＝，PD＝|t﹣4|，CD＝，根据等腰三角形三边关系，分情况建立方程，求出t的值即可．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
令y＝0，则x＝3，
∴B（3，0），
将B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），
∵B（3，0），C（0，3），
∴BC＝3，BD＝2，CD＝，
∵BD2＝BC2+CD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴点D到直线BC的距离为CD的长，
∴CD＝；
（3）存在点P，使得△PCD是等腰三角形，理由如下：
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
设P（1，t），
∵D（1，4），C（0，3），
∴PC＝，PD＝|t﹣4|，CD＝，
当PC＝PD时，＝|t﹣4|，
解得t＝3，
∴P（1，3）；
当PC＝CD时，＝，
解得t＝2或t＝4（舍），
∴P（1，2）；
当PD＝CD时，|t﹣4|＝，
解得t＝4+或t＝4﹣，
∴P（1，4+）或（1，4﹣）；
综上所述：P点坐标为（1，2）或（1，3）或（1，4+）或（1，4﹣）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，勾股定理逆定理是解题的关键．