高中数学高考13第一部分 板块二 专题四 概率与统计 第2讲　概率与统计(大题)

这是一份高中数学高考13第一部分 板块二 专题四 概率与统计 第2讲　概率与统计(大题)，共15页。

热点一 概率与用样本估计总体的交汇问题
高考中解决概率与用样本估计总体的交汇问题时，常用的一般思路为：
(1)识图，即能从已知频率分布直方图或茎叶图中找到隐含的信息并进行信息提取．
(2)转化，即对题设中文字语言所包含的信息进行深入分析，步步实现文字语言与符号语言的转化．
(3)计算，即对频率分布直方图或茎叶图所反馈的信息进行提取分析，并结合概率的公式进行运算．
例1 (2019·湘赣十四校联考)随着人们生活水平的提高，越来越多的人愿意花更高的价格购买手机．某机构为了了解市民使用的手机价格情况，随机选取了100人进行调查，并将这100人使用的手机价格按照[500,1 500)，[1 500，2 500)，…，[5 500,6 500]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中m的值；
(2)求这组数据的平均数和中位数(同一组中的数据用该组区间的中间值作代表)；
(3)利用分层抽样从手机价格在[1 500,2 500)和[4 500，5 500)的人中抽取5人，并从这5人中抽取2人进行访谈，求抽取出的2人的手机价格在不同区间的概率．
跟踪演练1 (2019·长春质检)某研究机构随机调查了A，B两个企业各100名员工，得到了A企业员工月均收入的频数分布表以及B企业员工月均收入的统计图如下：
A企业：
B企业：
(1)若将频率视为概率，现从B企业中随机抽取一名员工，求该员工月均收入不低于5 000元的概率；
(2)①若从A企业的月均收入在[2 000,5 000)员工中，按分层抽样的方式抽取7人，而后在此7人中随机抽取2人，则2人月均收入都不在[3 000,4 000)的概率是多少？
②若你是一名即将就业的大学生，根据上述调查结果，并结合统计学相关知识，你会选择去哪个企业就业，并说明理由．
热点二 回归分析与概率、统计的交汇问题
高考中回归分析的解题策略：
(1)若两个变量呈线性相关关系，可直接通过计算公式求线性回归方程．
(2)若两个变量呈非线性相关关系，解题时可利用化归思想，通过恰当的变换，将其转化为线性关系，再求回归方程．
(3)利用回归方程可进行预测与估计，但要注意回归方程表示的是两组数据之间的相关关系，并不是函数关系，所以利用该方程求出的值是估计值，而不是一个准确的值．
例2 为推广支付宝的使用，支付宝推出了扫码领红包的活动．某商家统计前5名顾客扫码所得红包的金额分别为 5.5元、2.1元、3.3元、5.9元、4.7元，商家从这5名顾客中随机抽取3人赠送台历．
(1)求获得台历的3人中至少有1人所得的红包超过5元的概率；
(2)统计一周内每天使用支付宝付款的人数x与商家每天的净利润y(单位：元)，得到7组数据，如下表所示，并作出了散点图，如图所示．
①直接根据散点图判断，eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(a,\s\up6(^))＋eq \(b,\s\up6(^))x与eq \(y,\s\up6(^))＝哪一个更适合作为每天的净利润y与使用支付宝付款的人数x的回归方程；(eq \(a,\s\up6(^))，eq \(b,\s\up6(^))，eq \(c,\s\up6(^))，eq \(d,\s\up6(^))的值取整数)
②根据①的判断，求出y关于x的回归方程，并估计使用支付宝付款的人数增加到35时，商家当天的净利润．
参考数据：
附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))的斜率和截距利用最小二乘法估计分别为eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^)) eq \x\t(x).
跟踪演练2 (2019·石家庄质检)某公司为了提高利润，从2012年至2018年每年对生产环节的改进进行投资，投资金额与年利润增长的数据如下表：
(1)请用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；如果2019年该公司计划对生产环节改进的投资金额为8万元，估计该公司在该年的年利润增长为多少？(结果保留两位小数)
(2)现从2012年～2018年这7年中抽出两年进行调查，记λ＝年利润增长－投资金额，求这两年都是λ>2(万元)的概率．
参考公式：eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2)＝eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\t(x) \x\t(y),\i\su(i＝1,n,x)\\al(2,i)－n\x\t(x)2)，
eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^)) eq \x\t(x).
参考数据：eq \i\su(i＝1,7,x)iyi＝359.6，eq \i\su(i＝1,7,x)eq \\al(2,i)＝259.
热点三 独立性检验与概率、统计的交汇问题
解决独立性检验应用问题的步骤：
(1)读懂2×2列联表，明确表中的数据．
(2)计算K2的观测值：根据列联表中提供的数据，结合公式算出K2的观测值．
(3)做出判断：根据临界值表和犯错误的概率(可能性)做出判断．
例3 (2019·菏泽模拟)2022年北京冬奥运动会即第24届冬季奥林匹克运动会将在2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行，某研究机构为了了解大学生对冰壶运动的兴趣，随机从某大学学生中抽取了120人进行调查，经统计男生与女生的人数比为11∶13，男生中有30人表示对冰壶运动有兴趣，女生中有15人对冰壶运动没有兴趣．
(1)完成2×2列联表，并判断能否有99%的把握认为“对冰壶运动是否有兴趣与性别有关”？
(2)用分层抽样的方法从样本中对冰壶运动有兴趣的学生中抽取8人，求抽取的男生和女生分别为多少人？若从这8人中选取两人作为冰壶运动的宣传员，求选取的2人中恰好有1位男生和1位女生的概率．
附：K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.
跟踪演练3 (2019·湖北省部分重点中学联考)2018年11月21日，意大利某奢侈品牌在广告中涉嫌辱华，中国明星纷纷站出来抵制该品牌，随后中国各大电商平台全线下架了该品牌商品，当天有大量网友关注此事件，某网上论坛从关注此事件跟帖中，随机抽取了100名网友进行调查统计，先分别统计他们在跟帖中的留言条数，再把网友人数按留言条数分成6组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]，得到如图所示的频率分布直方图，
并将其中留言不低于40条的规定为“强烈关注”，否则为“一般关注”，对这100名网友作进一步统计得到列联表的部分数据如下表．
(1)补全列联表中数据，并判断能否有95%的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别有关？
(2)现已从“强烈关注”的网友中按性别分层抽样选取了5人，再从这5人中选取2人，求这2人中至少有1名女性的概率．
参考公式及数据：K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).
真题体验
(2019·北京，文，17)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生中上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1 000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生支付金额分布情况如下：
(1)估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；
(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率；
(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元．结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．
押题预测
党的十九大报告指出，要推进绿色发展，倡导“简约适度，绿色低碳”的生活方式，开展“低碳生活，绿色出行”等活动．在这一号召下，越来越多的人秉承“能走不骑，能骑不坐，能坐不开”的出行理念，尽可能采取乘坐公交车、骑自行车或步行等方式出行，以减少交通拥堵，共建清洁、畅通、高效的城市生活环境．某市环保机构随机抽查统计了该市部分成年市民某月的骑车次数，得到如下统计表：
联合国世界卫生组织确定的新的年龄分段：44岁及以下为青年人，45岁至59岁为中年人，60岁及以上为老年人．
(1)若从被抽查的该月骑车次数在[40,60)之间的老年人中随机选出两名幸运者给予奖励，求其中一名幸运者该月骑车次数在[40,50)之间，另一名幸运者该月骑车次数在[50,60)之间的概率；
(2)用样本估计总体的思想解决如下问题：
①估计该市在32岁至44岁年龄段的一个青年人每月骑车的平均次数；(保留整数)
②若月骑车次数不少于30次者称为“骑行爱好者”，根据这些数据，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关？
参考数据：
K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).
A组 专题通关
1．(2019·长沙模拟)随着经济的发展，个人收入提高，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率调整．调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5 000元后的余额为应纳税所得额，依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：
(1)假如小红某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8 000元，记x表示总收入，y表示应纳的税，试写出调整前后y关于x的函数表达式；
(2)某税务部门在小红所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：
先从收入在[3 000,5 000)及[5 000,7 000)的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选2人作为新纳税法知识宣讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率；
(3)小红该月的工资、薪金等税前收入为7 500元时，请你帮小红算一下调整后小红的实际收入比调整前增加了多少？
2．《中华人民共和国道路交通安全法》第47条规定：“机动车行经人行横道时，应当减速行驶；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行．”下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的1月份到5月份5个月内不“礼让斑马线”的违章驾驶员人数的统计数据：
假设每个人至多违章一次．
(1)请利用所给数据求违章驾驶员人数y与月份x之间的线性回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))；
(2)预测该路口9月份不“礼让斑马线”的违章驾驶员人数；
(3)若从表中3,4月份的违章驾驶员中分别提取4人和2人，然后再从这6人中任选2人进行调查，求抽到的2人恰好在同一月份违章被抓拍的概率．
3．(2019·临沂质检)某中学为了丰富学生的课外文体活动，分别开设了阅读、书法、绘画等文化活动和跑步、游泳、健身操等体育活动．该中学共有高一学生300名，要求每位学生必须选择参加其中一项活动，现对高一学生的性别、学习积极性及选择参加的文体活动情况进行统计，得到数据如下：
(1)在选择参加体育活动的学生中按性别分层抽取6名学生，再从这6名学生中抽取2人了解家庭情况，求2人中至少有1名女生的概率；
(2)是否有99.9%的把握认为学生的学习积极性与选择参加文化活动有关？请说明你的理由．
附：参考公式：K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.
B组 能力提高
4．(2019·厦门质检)某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x(单位：千万元)对年销售量y(单位：千万件)的影响，统计了近10年投入的年研发费用xi与年销售量yi(i＝1,2，…，10)的数据，得到散点图如图所示．
(1)利用散点图判断，y＝a＋bx和y＝c·xd(其中c，d为大于0的常数)哪一个更适合作为年研发费用x和年销售量y的回归方程类型(只要给出判断即可，不必说明理由)；
(2)对数据作出如下处理：令ui＝ln xi，vi＝ln yi，得到相关统计量的值如下表：
根据(1)的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程；
(3)已知企业年利润z(单位：千万元)与x，y的关系为z＝eq \f(27,e)y－x(其中e＝2.718 28…)，根据(2)的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？
5．(2019·江南十校质检)某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核优秀，现获得该公司2014～2018年的相关数据如下表所示：
注：年返修率＝eq \f(年返修台数,年生产台数)
(1)从该公司2014～2018年的相关数据中任意选取3年的数据，求这3年中至少有2年生产部门考核优秀的概率；
(2)利用上表中五年的数据求出年利润y(百万元)关于年生产台数x(万台)的线性回归方程是eq \(y,\s\up6(^))＝6.5x＋17.5.①
现该公司计划从2019年开始转型，并决定2019年只生产该产品1万台，且预计2019年可获利32百万元；但生产部门发现，若用预计的2019年的数据与2014～2018年中考核优秀年份的数据重新建立回归方程，只有当重新估算的eq \(b,\s\up6(^))2，eq \(a,\s\up6(^))2的值(精确到0.01)相对于①中eq \(b,\s\up6(^))1，eq \(a,\s\up6(^))1的值的误差的绝对值都不超过10%时，2019年该产品返修率才可低于千分之一．若生产部门希望2019年考核优秀，能否同意2019年只生产该产品1万台？请说明理由．
(参考公式：eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2)＝eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\t(x) \x\t(y),\i\su(i＝1,n,x)\\al(2,i)－n\x\t(x)2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^)) eq \x\t(x)，m相对n的误差为eq \f(|m－n|,n)×100%)
工资
人数
[2 000,3 000)
5
[3 000,4 000)
10
[4 000,5 000)
20
[5 000,6 000)
42
[6 000,7 000)
18
[7 000,8 000)
3
[8 000,9 000)
1
[9 000,10 000]
1
x
12
16
26
29
25
22
30
y
60
100
150
270
240
210
330
eq \x\t(x)
eq \x\t(y)
eq \i\su(i＝1,7, )(xi－eq \x\t(x))2
eq \i\su(i＝1,7, )(xi－eq \x\t(x))(yi－eq \x\t(y))
22.86
194.29
268.86
3 484.29
年份
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
投资金额x(万元)
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
年利润增长y(万元)
6.0
7.0
7.4
8.1
8.9
9.6
11.1
有兴趣
没有兴趣
总计
男
30
女
15
总计
120
P(K2≥k0)
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
一般关注
强烈关注
总计
男
45
女
10
55
总计
100
P(K2≥k0)
0.050
0.010
k0
3.841
6.635
支付金额
支付方式
不大于2 000元
大于2 000元
仅使用A
27人
3人
仅使用B
24人
1人
次数
人数
年龄
[0,10)
[10，20)
[20，30)
[30，40)
[40，50)
[50，60)
18岁至31岁
8
12
20
60
140
150
32岁至44岁
12
28
20
140
60
150
45岁至59岁
25
50
80
100
225
450
60岁及以上
25
10
10
19
4
2
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
个人所得税税率表(调整前)
个人所得税税率表(调整后)
免征额3 500元
免征额5 000元
级数
全月应纳税所得额
税率(%)
级数
全月应纳税所得额
税率(%)
1
不超过1 500元部分
3
1
不超过3 000元部分
3
2
超过1 500元至4 500元的部分
10
2
超过3 000元至12 000元的部分
10
3
超过4 500元至9 000元的部分
20
3
超过12 000元至25 000元的部分
20
…
…
…
…
…
…
收入(元)
[3 000，5 000)
[5 000，7 000)
[7 000，
9 000)
[9 000，
11 000)
[11 000，13 000)
[13 000，15 000]
人数
30
40
10
8
7
5
月份x
1
2
3
4
5
违章驾驶员人数y
120
105
100
90
85
男生
女生
参加文化活动
参加体育运动
参加文化活动
参加体育运动
学习积极性高
80
36
100
24
学习积极性不高
20
24
10
6
P(K2≥k0)
0.10
0.010
0.001
k0
2.706
6.635
10.828
eq \i\su(i＝1,10,u)ivi
eq \i\su(i＝1,10,u)i
eq \i\su(i＝1,10,v)i
eq \i\su(i＝1,10,u)eq \\al(2,i)
30.5
15
15
46.5
年份
2014
2015
2016
2017
2018
年生产台数x(万台)
2
4
5
6
8
该产品的年利润y(百万元)
30
40
60
50
70
年返修台数(台)
19
58
45
71
70