高中数学高考16第三章 导数及其应用 3 3 定积分与微积分基本定理

§3.3　定积分与微积分基本定理

1．定积分的概念

设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上用分点a＝x0<x1<x2<…<xn＝b.把区间[a，b]分为n个小区间，其长度依次为Δxi＝xi＋1－xi，i＝0,1,2，…，n－1.记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点ξi，作和式In＝f(ξi)Δxi.

当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作ʃf(x)dx，即ʃf(x)dx＝f(ξi)Δxi.其中f(x)叫做被积函数，a叫积分下限，b叫积分上限．f(x)dx叫做被积式．此时称函数f(x)在区间[a，b]上可积．

2．定积分的性质

(1)ʃcf(x)dx＝c·ʃf(x)dx(c为常数)．

(2)设f(x)，g(x)可积，则ʃ[f(x)＋g(x)]dx＝ʃf(x)dx＋ʃg(x)dx.

3．微积分基本定理

如果F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积，则ʃf(x)dx＝F(b)－F(a)．其中F(x)叫做f(x)的一个        ．

概念方法微思考

ʃf(x)dx是否总等于曲线f(x)和直线x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯形的面积？

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则ʃf(x)dx＝ʃf(t)dt.(　 　)

(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒正，则ʃf(x)dx>0.(　 　)

(3)若ʃf(x)dx<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．(　 　)

(4)曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积是ʃ(x2－x)dx.(　 　)

题组二　教材改编

2．ʃdx＝________.

3．ʃdx＝________.

4．汽车以v＝(3t＋2)m/s作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的位移是______m.

题组三　易错自纠

5.如图，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是(　　)

A．1   B.

C.   D．2

6.一物体作变速直线运动，其v－t曲线如图所示，则该物体在 s～6 s间的运动路程为____ m.

7．＝________.

题型一　定积分的计算

利用微积分基本定理求下列定积分：

(1)ʃ(x2＋2x＋1)dx；

(2)ʃ(sin x－cos x)dx；

(3)ʃ|1－x|dx；

(4)ʃdx；

(5)ʃe|x|dx；

(6)若ʃ(x2＋mx)dx＝0，求m.

题型二　定积分的几何意义

命题点1　利用定积分的几何意义计算定积分

例1 设f(x)＝则ʃf(x)dx的值为________．

命题点2　求平面图形的面积

例2 (1)曲线y＝与直线y＝x－1，x＝1所围成的封闭图形的面积为________．

(2)曲线y＝x2和曲线在点(2,1)处的切线以及x轴围成的封闭图形的面积为________．

跟踪训练1 (1)定积分ʃdx的值为________．

(2)(2018·赤峰模拟)曲线y＝2sin x(0≤x≤π)与直线y＝1围成的封闭图形的面积为________．

题型三　定积分在物理中的应用

例3 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离是________ m.

跟踪训练2 一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时，F(x)做的功为(　　)

A. J   B. J

C. J   D．2 J

1．ʃ(1－x)dx等于(　　)

A．1  B．－1  C.  D．－

2．ʃ|sin x|dx等于(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

3．(2018·丹东质检)ʃ(＋x)dx等于(　　)

A．π  B.  C．π＋1  D．π－1

4．(2018·大连双基测试)等于(　　)

A．0   B.－

C.－   D.－1

5．(2018·大连调研)若ʃdx＝3＋ln 2(a>1)，则a的值是(　　)

A．2  B．3  C．4  D．6

6．设f(x)＝(其中e为自然对数的底数)，则ʃf(x)dx的值为(　　)

A.  B.  C.  D.

7．设a＝ʃcos xdx，b＝ʃsin xdx，则下列关系式成立的是(　　)

A．a>b   B．a＋b<1

C．a<b   D．a＋b＝1

8.已知函数y＝f(x)的图象为如图所示的折线ABC，则ʃ[(x＋1)f(x)]dx等于(　　)

A．2   B．－2

C．1   D．－1

9．ʃdx＝________.

10．(2018·锦州调研)由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为________．

11．设a>0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.

12．(2018·包头模拟)设函数f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若ʃf(x)dx＝3f(x0)，x0>0，则x0＝________.

13.由曲线y＝x2和曲线y＝围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为(　　)

A.  　　　 B.

C.  　　　 D.

14．(2018·呼和浩特质检)若S1＝ʃx2dx，S2＝ʃdx，S3＝ʃexdx，则S1，S2，S3的大小关系为(　　)

A．S1<S2<S3   B．S2<S1<S3

C．S2<S3<S1   D．S3<S2<S1

15．若函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2xf′(1)，则ʃf(x)dx＝________.

16．在平面直角坐标系xOy中，将直线y＝x与直线x＝1及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V圆锥＝ʃπx2dx＝＝.据此类比：将曲线y＝2ln x与直线y＝2及x轴、y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V＝________.