高中数学高考25第一部分 板块二 专题七 系列4选讲 第1讲　坐标系与参数方程(大题)

这是一份高中数学高考25第一部分 板块二 专题七 系列4选讲 第1讲　坐标系与参数方程(大题)，共8页。试卷主要包含了直角坐标与极坐标的互化，圆锥曲线的参数方程等内容，欢迎下载使用。


热点一 极坐标与简单曲线的极坐标方程
1．直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位．如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ，))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρ2＝x2＋y2，,tan θ＝\f(y,x)x≠0.))
2．在与曲线的直角坐标方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．
例1 (2019·全国Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sin θ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.
(1)当θ0＝eq \f(π,3)时，求ρ0及l的极坐标方程；
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．
跟踪演练1 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x＋eq \r(3)y＝5eq \r(3)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sin θ.
(1)求直线l的极坐标方程和圆C的直角坐标方程；
(2)射线OP：θ＝eq \f(π,6)(ρ≥0)与圆C的交点为O，A，与直线l的交点为B，求线段AB的长．
热点二 简单曲线的参数方程
1．直线的参数方程
过定点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x0＋tcs α，,y＝y0＋tsin α))(t为参数)．
2．圆的参数方程
圆心为点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x0＋rcs θ，,y＝y0＋rsin θ))(θ为参数)．
3．圆锥曲线的参数方程
(1)椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝acs θ，,y＝bsin θ))(θ为参数)．
(2)抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2pt2，,y＝2pt))(t为参数)．
4．(1)参数方程的实质是将曲线上每一点的横、纵坐标分别用同一个参数表示出来，所以有时处理曲线上与点的坐标有关的问题时，用参数方程求解非常方便；
(2)充分利用直线、圆、椭圆等参数方程中参数的几何意义，在解题时能够事半功倍．
例2 (2019·聊城模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs θ，,y＝sin θ))(θ为参数)，倾斜角为α的直线l经过点P(0，eq \r(2))．
(1)求曲线C的普通方程和直线l的参数方程；
(2)若直线l与曲线C有两个不同的交点M，N，求|PM|＋|PN|的最大值．
跟踪演练2 (2019·六安质检)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋2cs α，,y＝2sin α))(α为参数)，过点P(－2,0)作斜率为k的直线l与圆C交于A，B两点．
(1)若圆心C到直线l的距离为eq \f(4\r(5),5)，求k的值；
(2)求线段AB中点E的轨迹方程．
热点三 极坐标方程与参数方程的综合应用
解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．
例3 (2019·郴州质检)已知在极坐标系中，点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4\r(2)，\f(π,4)))，曲线C的极坐标方程为ρ2＝eq \f(12,1＋2sin2θ)，点N在曲线C上运动，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝6＋t，,y＝t))(t为参数)．
(1)求直线l的普通方程与曲线C的参数方程；
(2)求线段MN的中点P到直线l的距离的最小值．
跟踪演练3 (2019·济宁模拟)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cs θ(ρ>0)．M为曲线C1上的动点，点P在射线OM上，且满足|OM|·|OP|＝20.
(1)求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
(2)设C2与x轴交于点D，过点D且倾斜角为eq \f(5π,6)的直线l与C1相交于A，B两点，求|DA|·|DB|的值．
真题体验
(2019·全国Ⅰ，文，22)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1－t2,1＋t2)，,y＝\f(4t,1＋t2)))(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcs θ＋eq \r(3)ρsin θ＋11＝0.
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)求C上的点到l距离的最小值．
押题预测
在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcs θ－2ρsin θ＋1＝0，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs α，,y＝\r(3)sin α))(α为参数)．
(1)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值；
(2)直线l与曲线C交于A，B两点，已知点M(1,1)，求|MA|·|MB|的值．
A组 专题通关
1．(2019·湘赣十四校联考)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋2cs θ，,y＝2sin θ))(θ为参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中．
(1)求曲线C1的极坐标方程；
(2)射线θ＝eq \f(3π,4)与C1的异于极点的交点为A，与C2：ρ＝－8sin θ的异于极点的交点为B，求|AB|.
2．(2019·全国Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,4)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(3π,4)))，D(2，π)，弧，，所在圆的圆心分别是(1,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(π,2)))，(1，π)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.
(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；
(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝eq \r(3)，求P的极坐标．
3．(2019·衡阳调研)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3cs α，,y＝\r(3)sin α))(α为参数)，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \r(2).
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)设点P(－2,0)，直线l和曲线C交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值．
B组 能力提高
4．(2019·六安模拟)已知曲线E的极坐标方程为ρ＝eq \f(4tan θ,cs θ)，倾斜角为α的直线l过点P(2,2)．
(1)求曲线E的直角坐标方程和直线l的参数方程；
(2)设l1，l2是过点P且关于直线x＝2对称的两条直线，l1与E交于A，B两点，l2与E交于C，D两点．求证：|PA|∶|PD|＝|PC|∶|PB|.
5．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(3)cs α，,y＝\r(3)sin α))(α为参数，α∈[0，π])．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＝eq \f(6,1－sin 2θ＋\r(3)cs 2θ).
(1)求曲线C1的极坐标方程；
(2)设C1与C2的交点为M，N，求∠MON.