高中数学高考59第九章 平面解析几何 9 5　椭圆 第2课时 直线与椭圆

这是一份高中数学高考59第九章 平面解析几何 9 5　椭圆 第2课时 直线与椭圆，共13页。试卷主要包含了已知直线l，椭圆Γ，已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。
第2课时　直线与椭圆
题型一　直线与椭圆的位置关系
1．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)
A．m>1 B．m>0
C．00)，e＝，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A，B，线段AB的中点横坐标为，且＝λ(其中λ>1)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求实数λ的值．
解　(1)由椭圆的焦距为2，知c＝1，又e＝，∴a＝2，
故b2＝a2－c2＝3，
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)由＝λ，可知A，B，F三点共线，
设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)．
若直线AB⊥x轴，则x1＝x2＝1，不符合题意；
当AB所在直线l的斜率k存在时，
设l的方程为y＝k(x－1)．
由消去y得
(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0. ①
①的判别式Δ＝64k4－4(4k2＋3)(4k2－12)
＝144(k2＋1)>0.
∵
∴x1＋x2＝＝2×＝，∴k2＝.
将k2＝代入方程①，得4x2－2x－11＝0，
解得x＝.
又＝(1－x1，－y1)，＝(x2－1，y2)，＝λ，
即1－x1＝λ(x2－1)，λ＝，又λ>1，∴λ＝.
思维升华 一般地，在椭圆与向量等知识的综合问题中，平面向量只起“背景”或“结论”的作用，几乎都不会在向量的知识上设置障碍，所考查的核心内容仍然是解析几何的基本方法和基本思想．
跟踪训练2 已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1，0)，短轴的两个端点分别为B1，B2.
(1)若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且⊥，求直线l的方程．
解　(1)△F1B1B2为等边三角形，
则⇒⇒
椭圆C的方程为＋3y2＝1.
(2)易知椭圆C的方程为＋y2＝1，
当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝1，不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，
由得(2k2＋1)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，
由已知得Δ>0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
＝(x1＋1，y1)，＝(x2＋1，y2)，
因为⊥，所以·＝0，
即(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋k2(x1－1)(x2－1)＝(k2＋1)x1x2－(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1＝＝0，
解得k2＝，即k＝±，
故直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.


1．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是(　　)
A．至多为1 B．2
C．1 D．0
答案　B
解析　由题意知，>2，即b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知yM＝－xM，代入k＝1，M(－4，1)，解得＝，e＝ ＝，
故选C.
3．已知椭圆＋＝1以及椭圆内一点P(4,2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为(　　)
A. B．－ C．2 D．－2
答案　B
解析　设弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
两式相减，得
＋＝0，
所以＝－，
所以k＝＝－.故选B.
4．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为(　　)
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　C
解析　设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，且|AB|＝3，所以＝，b2＝a2－c2，所以a2＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3，椭圆的方程为＋＝1.
5．(2018·吉林四平质检)经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则·等于(　　)
A．－3 B．－
C．－或－3 D．±
答案　B
解析　依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y－0＝tan 45°(x－1)，即y＝x－1.代入椭圆方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝.所以两个交点坐标为A(0，－1)，B，所以·＝(0，－1)·＝－.同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得·＝－.
6．设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(＋)·＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积是(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
答案　D
解析　∵(＋)·＝(＋)·
＝·＝0，
∴PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则m＋n＝4，m2＋n2＝12,2mn＝4，mn＝2，
∴＝mn＝1.
7．直线y＝kx＋k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是________．
答案　相交
解析　由于直线y＝kx＋k＋1＝k(x＋1)＋1过定点(－1，1)，而(－1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．
8．椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于____________．
答案　－1
解析　直线y＝(x＋c)过点F1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝c，

所以该椭圆的离心率e＝＝＝－1.
9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则椭圆C的离心率e＝________.
答案　
解析　设椭圆的右焦点为F1，在△ABF中，由余弦定理可解得|BF|＝8，所以△ABF为直角三角形，且∠AFB＝90°，又因为斜边AB的中点为O，所以|OF|＝c＝5，连接AF1，因为A，B关于原点对称，所以|BF|＝|AF1|＝8，所以2a＝14，a＝7，所以离心率e＝.
10．已知直线MN过椭圆＋y2＝1的左焦点F，与椭圆交于M，N两点．直线PQ过原点O与MN平行，且PQ与椭圆交于P，Q两点，则＝________.
答案　2
解析　不妨取直线MN⊥x轴，椭圆＋y2＝1的左焦点F(－1,0)，令x＝－1，得y2＝，
所以y＝±，所以|MN|＝，此时|PQ|＝2b＝2，
则＝＝2.
11．(2018·贵州适应性考试)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，E的离心率为，点(0,1)是E上一点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，且＝2，求直线BF2的方程．
解　(1)由题意知，b＝1，且e2＝＝＝，
解得a2＝2，所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)由题意知，直线AB的斜率存在且不为0，故可设直线AB的方程为x＝my－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得(m2＋2)y2－2my－1＝0，
则y1＋y2＝， ①
y1y2＝－， ②
因为F1(－1,0)，
所以＝(－1－x2，－y2)，＝(x1＋1，y1)，
由＝2可得，－y2＝2y1， ③
由①②③可得B，
则＝或－，
所以直线BF2的方程为
y＝x－或y＝－x＋.
12．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若·＋·＝8，O为坐标原点，求△OCD的面积．
解　(1)过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为，
所以＝.
因为椭圆的离心率为，所以＝，
又a2＝b2＋c2，可解得b＝，c＝1，a＝.
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)由(1)可知F(－1,0)，
则直线CD的方程为y＝k(x＋1)．
联立
消去y得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
又A(－，0)，B(，0)，
所以·＋·
＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)
＝6－2x1x2－2y1y2
＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)
＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2
＝6＋＝8，
解得k＝±.
从而x1＋x2＝－＝－，x1x2＝＝0.
所以|x1－x2|＝
＝ ＝，
|CD|＝|x1－x2|
＝×＝.
而原点O到直线CD的距离为
d＝＝＝，
所以△OCD的面积为S＝|CD|×d＝××＝.

13．正方形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　设正方形的边长为2m，
∵椭圆的焦点在正方形的内部，∴m>c，
又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1上，
∴＋＝1>＋＝e2＋，
即e4－3e2＋1>0，e2b>0)上的动点M作圆x2＋y2＝的两条切线，切点分别为P和Q，直线PQ与x轴和y轴的交点分别为E和F，求△EOF面积的最小值．
解　设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由题意知PQ斜率存在，且不为0，所以x0y0≠0，
则直线MP和MQ的方程分别为x1x＋y1y＝，x2x＋y2y＝.因为点M在MP和MQ上，所以有x1x0＋y1y0＝，x2x0＋y2y0＝，则P，Q两点的坐标满足方程x0x＋y0y＝，所以直线PQ的方程为x0x＋y0y＝，可得E和F，
所以S△EOF＝·|OE||OF|＝，
因为b2y＋a2x＝a2b2，b2y＋a2x≥2ab|x0y0|，
所以|x0y0|≤，所以S△EOF＝≥，
当且仅当b2y＝a2x＝时取“＝”，
故△EOF面积的最小值为.