高中数学高考67第十二章 系列4选讲 12 1 第1课时 坐标系

§12.1　坐标系与参数方程

第1课时　坐标系

1.平面直角坐标系

设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.

2.极坐标系

(1)极坐标与极坐标系的概念

在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.点O称为极点，射线Ox称为极轴.平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标.ρ称为点M的    ，θ称为点M的    .一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系.我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角.

(2)极坐标与直角坐标的互化

设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ).由图可知下面关系式成立：

或，这就是极坐标与直角坐标的互化公式.

3.常见曲线的极坐标方程

概念方法微思考

1.平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也能建立一一对应关系吗？

2.由极坐标的意义可判断平面上点的极坐标唯一吗？

题组一　思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若点P的直角坐标为(1，－)，则点P的一个极坐标是.(　 　)

(2)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.(　 　)

(3)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.(　 　)

题组二　教材改编

2.若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　　)

A.ρ＝，0≤θ≤

B.ρ＝，0≤θ≤

C.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤

D.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤

3.在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是(　　)

A.  B.  C.(1,0)  D.(1，π)

题组三　易错自纠

4.在极坐标系中，已知点P，则过点P且平行于极轴的直线方程是(　　)

A.ρsin θ＝1   B.ρsin θ＝

C.ρcos θ＝1   D.ρcos θ＝

5.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C的直角坐标方程为            .

6.在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a相交于A，B两点.当△AOB是等边三角形时，求a的值.

题型一　极坐标与直角坐标的互化

1.(1)化圆的直角坐标方程x2＋y2＝r2(r>0)为极坐标方程；

(2)化曲线的极坐标方程ρ＝8sin θ为直角坐标方程.

2.在极坐标系中，已知曲线C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，C2：ρ＝2cos θ.

(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；

(2)若曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离.

题型二　求曲线的极坐标方程

例1 将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C.

(1)求曲线C的标准方程；

(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与直线l垂直的直线的极坐标方程.

跟踪训练1 已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0，直线l的参数方程为(t为参数)，射线OM的极坐标方程为θ＝.

(1)求圆C和直线l的极坐标方程；

(2)已知射线OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长.

题型三　极坐标方程的应用

例2　在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，直线C2的直角坐标方程为y＝x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；

(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求＋.

跟踪训练2 (2017·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.

(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值.

1.在极坐标系中，已知圆C被直线θ＝截得的弦长为，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程.

2.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(φ为参数).以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求圆C的普通方程；

(2)直线l的极坐标方程是2ρsin＝4，射线OM：θ＝与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长.

3.已知直线l的参数方程为(t为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2＝4ρcos θ＋2ρsin θ－4.

(1)求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|OA|·|OB|的值.

4.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为其中α为参数，曲线C2：x2＋y2－2y＝0，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ＝α(ρ≥0)与曲线C1，C2分别交于点A，B(均异于原点O)

(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；

(2)当0<α<时，求|OA|2＋|OB|2的取值范围.

5.在直角坐标系xOy中，直线l1：x＝0，圆C：(x－1)2＋(y－1－)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求l1，C的极坐标方程；

(2)若直线l2的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设l1，l2与C的公共点分别为A，B，求△OAB的面积.

6.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(a>b>0，φ为参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心在极轴上，且经过极点的圆.已知曲线C1上的点M对应的参数φ＝，射线θ＝与曲线C2交于点D.

(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程；

(2)若点A，B为曲线C1上的两个点且OA⊥OB，求＋的值.