高中数学高考69第十二章 系列4选讲 12 2 第1课时 绝对值不等式

§12.2　不等式选讲

第1课时　绝对值不等式

1.绝对值不等式的解法

(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集

(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法

①|ax＋b|≤c⇔                 ；

②|ax＋b|≥c⇔               .

(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法

①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.

2.含有绝对值的不等式的性质

(1)如果a，b是实数，则          ≤|a±b|≤          .

(2)如果a，b，c是实数，那么                ，当且仅当              时，等号成立.

概念方法微思考

1.绝对值三角不等式的向量形式及几何意义是什么？

2.用“零点分段法”解含有n个绝对值的不等式时，需把数轴分成几段？

题组一　思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若|x|>c的解集为R，则c≤0.(　 　)

(2)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅.(　 　)

(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a>b>0时等号成立.(　 　)

(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.(　 　)

(5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立.(　 　)

题组二　教材改编

2.不等式3≤|5－2x|<9的解集为(　　)

A.[－2,1)∪[4,7)   B.(－2,1]∪(4,7]

C.(－2，－1]∪[4,7)   D.(－2,1]∪[4,7)

3.求不等式|x－1|－|x－5|<2的解集.

题组三　易错自纠

4.若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝__________.

5.已知a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________.

题型一　绝对值不等式的解法

例1 (1)解不等式x＋|2x＋3|≥2.

(2)(2017·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.

①当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；

②若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围.

跟踪训练1 已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.

(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；

(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形的面积大于6，求a的取值范围.

题型二　利用绝对值不等式求最值

例2 (1)对任意x，y∈R，求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值；

(2)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值.

跟踪训练2 已知a和b是任意非零实数.

(1)求的最小值；

(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，求实数x的取值范围.

题型三　绝对值不等式的综合应用

例3 (2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.

(1)求不等式f(x)≥1的解集；

(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围.

跟踪训练3 设函数f(x)＝x＋|x－a|.

(1)当a＝2 019时，求函数f(x)的值域；

(2)若g(x)＝|x＋1|，求不等式g(x)－2>x－f(x)恒成立时a的取值范围.

1.对于任意实数a，b，已知|a－b|≤1，|2a－1|≤1，且恒有|4a－3b＋2|≤m，求实数m的取值范围.

2.已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.

(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；

(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围.

3.已知函数f(x)＝|x－2m|－|x＋m|(m>0).

(1)当m＝2时，求不等式f(x)≥1的解集；

(2)对于任意实数x，t，不等式f(x)≤|t＋3|＋|t－2|恒成立，求m的取值范围.

4.设函数f(x)＝|2x－1|－|x＋2|.

(1)解不等式f(x)>0；

(2)若∃x∈R，使得f(x)＋2m2<4m，求实数m的取值范围.

5.已知函数f(x)＝|x－2|－|2x＋1|.

(1)解不等式f(x)≤2；

(2)若∃b∈R，不等式|a＋b|－|a－b|≥f(x)对∀x∈R恒成立，求a的取值范围.

6.设f(x)＝|x＋1|－|2x－1|.

(1)求不等式f(x)≤x＋2的解集；

(2)若不等式满足f(x)≤|x|(|a－2|＋|a＋1|)对任意实数(x≠0)恒成立，求实数a的取值范围.