高中数学高考79第十三章 系列4选讲 13 1 坐标系与参数方程 第2课时 参数方程

第2课时　参数方程

1．参数方程和普通方程的互化

(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以             从参数方程得到普通方程．

(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程．

2．常见曲线的参数方程和普通方程

概念方法微思考

1．在直线的参数方程(t为参数)中，

(1)t的几何意义是什么？

(2)如何利用t的几何意义求直线上任意两点P1，P2的距离？

2．圆的参数方程中参数θ的几何意义是什么？

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数．(　 　)

(2)方程(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．(　 　)

(3)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为.(　 　)

题组二　教材改编

2．曲线(θ为参数)的对称中心(　　)

A．在直线y＝2x上   B．在直线y＝－2x上

C．在直线y＝x－1上   D．在直线y＝x＋1上

3．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，求常数a的值．

题组三　易错自纠

4．直线l的参数方程为(t为参数)，求直线l的斜率．

5．设P(x，y)是曲线C：(θ为参数，θ∈[0,2π))上任意一点，求的取值范围．

6．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t为参数)．

(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；

(2)设点P(m,0)，若直线l与曲线C交于A，B两点，且|PA|·|PB|＝1，求实数m的值．

题型一　参数方程与普通方程的互化

1．(2018·包头调研)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ.

(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；

(2)将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得到的曲线向左平移1个单位长度，得到曲线C1，求曲线C1上的点到直线l的距离的最小值．

2．在《圆锥曲线论》中，阿波罗尼奥斯第一次从一个对顶圆锥(直或斜)得到所有的圆锥曲线，并命名了椭圆(ellipse)、双曲线(hyperboler)和抛物线(parabola)，在这本晦涩难懂的书中有一个著名的几何问题：“在平面上给定两点A，B，设P点在同一平面上且满足＝λ(λ>0且λ≠1)，P点的轨迹是圆．”这个圆我们称之为“阿波罗尼奥斯圆”．已知点M与长度为3的线段OA两端点的距离之比为＝，建立适当坐标系，求出M点的轨迹方程并化为参数方程．

题型二　参数方程的应用

例1 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．

(1)求C和l的直角坐标方程；

(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．

跟踪训练1 (2017·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．

(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；

(2)若C上的点到l的距离的最大值为，求a.

例2 (2017·全国Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.

(1)写出C的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．

跟踪训练2 (1)(2018·湖北八校联考)已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝，C2的参数方程为(t为参数)．

①将曲线C1与C2的方程化为直角坐标系下的普通方程；

②若C1与C2相交于A，B两点，求|AB|.

(2)已知直线l：(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.

①将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

②设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．

1．已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)．

(1)求曲线C的普通方程；

(2)经过点P(平面直角坐标系xOy中的点)作直线l交曲线C于A，B两点，若P恰好为线段AB的中点，求直线l的方程．

2．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－3，若以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．

(1)求圆C的一个参数方程；

(2)在平面直角坐标系中，P(x，y)是圆C上的动点，试求x＋2y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．

3．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：(θ为参数)，直线l过定点(－2,2)，且斜率为－.以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求曲线C的直角坐标方程以及直线l的参数方程；

(2)点P在曲线C上，当θ∈时，求点P到直线l的最小距离并求点P的坐标．

4．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是(θ为参数)，以射线Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ－＝0.

(1)将曲线C的参数方程化为普通方程，将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)求直线l与曲线C相交所得的弦AB的长．

5．在平面直角坐标系xOy中，已知倾斜角为α的直线l经过点A(－2,1)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为＝.

(1)写出曲线C的普通方程；

(2)若直线l与曲线C有两个不同的交点M，N，求|AM|＋|AN|的取值范围．

6．已知曲线C1的参数方程为(α为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C1上的点按坐标变换得到曲线C2，以原点为极点、x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．

(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；

(2)若直线θ＝(ρ∈R)与曲线C1交于M，N两点，与曲线C2交于P，Q两点，求的值．