高中数学高考2018高考数学（理）大一轮复习习题：第四章 三角函数、解三角形 课时达标检测（二十四） 正弦定理和余弦定理 Word版含答案

课时达标检测（二十四）  正弦定理和余弦定理

1．在△ABC中，若＝，则B的值为(　　)

A．30°        B．45°     C．60°    D．90°

解析：选B　由正弦定理知，＝，∴sin B＝cos B，∴B＝45°.

2．在△ABC中，已知AB＝3，A＝120°，且△ABC的面积为，则BC＝(　　)

A．3        B．5      C．7   D．15

解析：选C　由S△ABC＝得×3×ACsin 120°＝，所以AC＝5，因此BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×＝49，解得BC＝7.

3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asin A＋bsin B<csin C，则△ABC的形状是(　　)

A．锐角三角形   B．直角三角形

C．钝角三角形   D．不确定

解析：选C　根据正弦定理可得a2＋b2<c2.由余弦定理得cos C＝<0，故C是钝角．即△ABC是钝角三角形．

4．已知在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大内角的大小为________．

解析：由sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7知，三角形的三边之比a∶b∶c＝3∶5∶7，最大的角为C.由余弦定理得cos C＝－，∴C＝120°.

答案：120°

5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－，则a的值为________．

解析：在△ABC中，由cos A＝－可得sin A＝，

所以有解得

答案：8

一、选择题

1．在△ABC中，若＝3，b2－a2＝ac，则cos B的值为(　　)

A.         B.          C.         D.

解析：选D　由题意知，c＝3a，b2－a2＝ac＝c2－2accos B，所以cos B＝＝＝.

2．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若S＋a2＝(b＋c)2，则cos A等于(　　)

A.   B．－  C.   D．－

解析：选D　由S＋a2＝(b＋c)2，得a2＝b2＋c2－2bcsin A－1，由余弦定理可得sin A－1＝cos A，结合sin2A＋cos2A＝1，可得cos A＝－或cos A＝－1(舍去)．

3．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　)

A．有一解   B．有两解

C．无解   D．有解但解的个数不确定

解析：选C　由正弦定理得＝，

∴sin B＝＝＝>1.

∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．

4．已知△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A＝，b＝2acos B，c＝1，则△ABC的面积等于(　　)

A.  B.  C.  D.

解析：选B　由正弦定理得sin B＝2sin Acos B，

故tan B＝2sin A＝2sin＝，又B∈(0，π)，所以B＝，

又A＝＝B，则△ABC是正三角形，

所以S△ABC＝bcsin A＝×1×1×＝.

5．(2017·渭南模拟)在△ABC中，若a2－b2＝bc且＝2，则A＝(　　)

A.  B.  C.  D.

解析：选A　因为＝2，故＝2，即c＝2b，则cos A＝＝＝＝，所以A＝.

6．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则B＝(　　)

A.  B.  C.  D.

解析：选C　根据正弦定理＝＝＝2R，得＝＝，即a2＋c2－b2＝ac，所以cos B＝＝，故B＝.

二、填空题

7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c＝1，B＝45°，cos A＝，则b＝________.

解析：因为cos A＝，所以sin A＝＝＝，所以sin C＝sin＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝cos 45°＋sin 45°＝.由正弦定理＝，得b＝×sin 45°＝.

答案：

8．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，三角形的面积S＝，则三角形外接圆的半径为________．

解析：由面积公式，得S＝bcsin A，代入数据得c＝2，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，故a＝2，由正弦定理，得2R＝＝，解得R＝2.

答案：2

9．在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________.

解析：由正弦定理得＝，由余弦定理得cos A＝，∵a＝4，b＝5，c＝6，∴＝＝2··cos A＝2××＝2××＝1.

答案：1

10．在△ABC中，B＝120°，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝________.

解析：如图，在△ABD中，由正弦定理，得＝，

∴sin∠ADB＝.

由题意知0°<∠ADB<60°，

∴∠ADB＝45°，∴∠BAD＝180°－45°－120°＝15°.

∴∠BAC＝30°，C＝30°，∴BC＝AB＝.在△ABC中，由正弦定理，得＝，∴AC＝.

答案：

三、解答题

11．(2017·河北三市联考)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asin B＝－bsin.

(1)求A；

(2)若△ABC的面积S＝c2，求sin C的值．

解：(1)∵asin B＝－bsin，

∴由正弦定理得sin Asin B＝－sin Bsin，则sin A＝－sin，即sin A＝－sin A－cos A，化简得tan A＝－，∵A∈(0，π)，∴A＝.

(2)∵A＝，∴sin A＝，

由S＝bcsin A＝bc＝c2，得b＝c，

∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝7c2，则a＝c，

由正弦定理得sin C＝＝.

12．(2017·郑州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos 2C－cos 2A＝2sin·sin.

(1)求角A的值；

(2)若a＝且b≥a，求2b－c的取值范围．

解：(1)由已知得2sin2A－2sin2C＝2cos2C－sin2C，化简得sin A＝，故A＝或.

(2)由题知，若b≥a，则A＝，又a＝，

所以由正弦定理可得＝＝＝2，得b＝2sin B，c＝2sin C，

故2b－c＝4sin B－2sin C＝4sin B－2sin＝3sin B－cos B＝2sin.

因为b≥a，所以≤B＜，≤B－＜，

所以2sin∈[，2)．即2b－c的取值范围为[，2).