新高考数学三轮冲刺“小题速练”01（2份打包，教师版+原卷版）

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2021届高三数学“小题速练”1答案解析一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．四个选项中只有一项符合题目要求．）1. 已知集合，集合，则的子集个数为（     ）A. 2 B. 4 C. 8 D. 16【答案】C【解析】由，解得，所以，所以，所以的子集个数为，故选C．2. 已知函数g（x）=3x+t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为A. t≤–1 B. t<–1C. t≤–3 D. t≥–3【答案】A【解析】由指数函数性质，可得函数g（x）=3x+t恒过点坐标为（0，1+t），函数g（x）是增函数，图象不经过第二象限，∴1+t≤0，解得t≤–1．故选A．3. 在一组样本数据，，…，（，，…不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（  ）A. -3 B. 0 C. -1 D. 1【答案】C【解析】因为所有样本点都在直线上，所以回归直线方程是，可得这两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为负值，且所有样本点，都在直线上，则有相关系数，故选C.4. 我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角所对的边分别为，面积为，则“三斜求积”公式为，若,，则用“三斜求积”公式求得的面积为（    ）A  B.  C.  D. 2【答案】D【解析】，，,因为，所以，，从而的面积为.故选:D.5. 如图是当取三个不同值，，时的三种正态曲线，那么，，的大小关系是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】由图可知，三种正态曲线的都等于由一定时，越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中，越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，则故选：D6. 设数列，均为等差数列，它们的前项和分别为，，若，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】数列，均为等差数列，它们的前项和分别为，，..故选：.7. 双曲线的左、右焦点分别为，且恰好为抛物线的焦点，设双曲线与该抛物线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】为抛物线的焦点，，，故点坐标为或，则解得，又,故选8. 设函数是函数的导函数，当时，，则函数的零点个数为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】设，则.当时，，当时，，故，所以，函数在上单调递减；当时，，故，所以，函数在上单调递增.所以，所以，函数没有零点，故也没有零点.故选：D.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．）9. 在某次高中学科知识竞赛中，对4000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是（    ）A. 成绩在的考生人数最多 B. 不及格的考生人数为1000C. 考生竞赛成绩的平均分约为70.5分 D. 考生竞赛成绩的中位数为75分【答案】ABC【解析】由频率分布直方图可得，成绩在的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；成绩在的频率为，因此，不及格的人数为，故B正确；考生竞赛成绩的平均分约为，故C正确；因为成绩在的频率为0.45，在的频率为0.3，所以中位数为，故D错误.故选ABC.10. 已知函数的最大值为，其图像相邻的两条对称轴之间的距离为，且的图像关于点对称，则下列结论正确的是（    ）.A. 函数的图像关于直线对称B. 当时，函数的最小值为C. 若，则的值为D. 要得到函数的图像，只需要将的图像向右平移个单位【答案】BD【解析】由题知：函数的最大值为，所以.因为函数图像相邻的两条对称轴之间的距离为，所以，，，又因为的图像关于点对称，所以，，.所以，.因为，所以.即.对选项A，，故A错误.对选项B，，，当时，取得最小值， 故B正确.对选项C，，得到.因为，故C错误.对选项D，的图像向右平移个单位得到，故D正确.故选：BD11. 在中，D，E，F分别是边，，中点，下列说法正确的是（    ）A. B. C. 若，则是在的投影向量D. 若点P是线段上的动点，且满足，则的最大值为【答案】BCD【解析】如图所示：对选项A，，故A错误.对选项B，，故B正确.对选项C，，，分别表示平行于，，的单位向量，由平面向量加法可知：为的平分线表示的向量.因为，所以为的平分线，又因为为的中线，所以，如图所示：在的投影为，所以是在的投影向量，故选项C正确.对选项D，如图所示：因为在上，即三点共线，设，.又因为，所以.因为，则，.令，当时，取得最大值为.故选项D正确.故选：BCD12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列. 并将数列中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列结论正确的是(    )A.  B. C.  D. 【答案】AB【解析】对于A选项：，，所以数列是以6为最小正周期的数列，又，所以，故A选项正确；对于C选项：，故C选项错误；对于B选项：斐波那契数列总有：，所以，，所以，故B正确；对于D选项：，，，，。所以，故D选项错误；故选：AB.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知的展开式中第6项的系数为-189，则展开式中各项的系数和为______.【答案】128【解析】由题意，通项为：，由于的展开式中第6项的系数为-189，则第六项系数为：，解得：，故该二项式为，令得展开式各项系数的和为：．故答案为：128．14. 已知一袋中有标有号码1、2、3、4的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当四种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取6次卡片时停止的概率为______.【答案】【解析】由分步乘法计数原理知，每次从中取出一张，记下号码后放回，进行6次一共有种不同的取法.恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码，三种号码出现的次数分别为3, 1, 1或者2, 2, 1,三种号码分别出现3，1，1且6次时停止的取法有 种，三种号码分别出现2，2，1 且6次时停止的取法有 种，由分类加法计数原理知恰好取6次卡片时停止，共有种取法，所以恰好取6次卡片时停止的概率为: ，故答案为：15. 已知直线与圆交于、两点，直线垂直平分弦，则的值为____________，弦的长为____________.【答案】    (1).     (2). 【解析】由题意可知，直线与直线垂直，，可得，由于方程表示的曲线为圆，则，解得，且圆的圆心坐标为，圆心在直线上，所以，，解得，所以，圆的方程为，即，圆心坐标为，半径长为，圆心到直线的距离为，因此，.故答案为：；.16. 在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的体积的最小值为______．【答案】【解析】如图所示，三棱锥的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体的体对角线，设，那么,,所以．由题意，体积的最小值即为最小，，所以当时，的最小值为，所以半径为，故体积的最小值为．