新高考数学三轮冲刺“小题速练”09（2份打包，教师版+原卷版）

2021届高三数学“小题速练”9

答案解析

一、单项选择题：.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，，则=（    ）

A. （-1，1） B. [-1，0] C. [-1，0） D. （-∞，0]

【答案】B

【解析】由题意，，

，

所以，

故选：B．

2.设，则复平面内对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】D

【解析】

因为，

所以，

所以，即

所以在复平面对应的点位于第四象限，

故选：D

3.展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（    ）

A. 120 B. -120 C. 60 D. -60

【答案】C

【解析】

由题意，解得，

展开式通项公式为，令，，

所以常数项为．

故选：C．

4.某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度（每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量满足关系式，其中玻璃的热传导系数焦耳/（厘米·度），不流通、干燥空气的热传导系数焦耳/（厘米·度），为室内外温度差，值越小，保温效果越好，现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如下表：

则保温效果最好的双层玻璃的型号是（    ）

A. 型 B. 型 C. 型 D. 型

【答案】D

【解析】，固定，可知最大时，最小，保温效果最好，

对于型玻璃，，

对于型玻璃，，

对于型玻璃，，

对于型玻璃，，

经过比较可知， 型玻璃保温效果最好.

故选：D.

5.设函数，若，，，则，，的大小为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】函数的定义域为，

因为，所以，

所以为偶函数，

所以，

因为，，

所以 ，

因为在上为增函数，

所以，所以，

故选：A

6.五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽.如果把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序，从所有的这些音序中随机抽出一个音序，则这个音序中宫、羽不相邻的概率为（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】中国古乐中的五声音阶依次为：官、商、角、微、羽，把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序，基本事件总数，

其中宫、羽不相邻的基本事件有，

则从所有的这些音序中随机抽出一个音序，这个音序中宫、羽不相邻的概率为

，

故选：C

7.将函数图象向右平移个单位，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列说法中正确的是（    ）

A. 的周期为 B. 是偶函数

C. 的图象关于直线对称 D. 在上单调递增

【答案】D

【解析】函数，

把函数图象向右平移个单位，

得到，

 再把各点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，

 得到．

①故函数的最小正周期为，故选项A错误；

②函数，不为偶函数，故选项B错误；

③当时，，故选项C错误；

④由于，所以，

故函数 单调递增，故选项D正确．

故选：D．

8.已知是抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点，的中点为，过作抛物线准线的垂线交准线于，若的中点为，则=（    ）

A. 4 B. 8 C.  D.

【答案】B

【解析】因为的中点为，所以，

所以，

设直线的方程为，代入抛物线的方程得，，

所以

所以，解得，

故选：B

二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9. 下列判断正确的是（    ）

A. 若随机变量服从正态分布，，则；

B. 已知直线平面，直线平面，则“”是“”的充分不必要条件；

C. 若随机变量服从二项分布：,则；

D. 是的充分不必要条件.

【答案】ABCD

【解析】A．已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）＝0.79，则曲线关于x＝1对称，可得P（ξ＞4）＝1﹣0.79＝0.21，P（ξ≤﹣2）＝P（ξ＞4）＝0.21，故A正确；

B．若α∥β，∵直线l⊥平面α，∴直线l⊥β，∵m∥β，∴l⊥m成立．

若l⊥m，当m∥β时，则l与β的位置关系不确定，∴无法得到α∥β．

∴“α∥β”是“l⊥m”的充分不必要条件．故B对；

C．由于随机变量ξ服从二项分布：ξ～B（4，），则Eξ＝4×0.25＝1，故C对；

D．“am2>bm2”可推出“a>b”，但“a>b”推不出“am2>bm2”，比如m＝0，故D对；

故选：ABCD．

10. 由我国引领的5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值．如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产出所做的预测．结合图，下列说法不正确的是（    ）

A. 5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加

B. 设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓

C. 设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位

D. 信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势

【答案】C

【解析】由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位，而后期是信息服务商处于领先地位，故C项表达错误．

故选：C

11. 关于函数，下列判断正确的是（    ）

A. 是的极大值点

B. 函数有且只有1个零点

C. 存在正实数，使得成立

D. 对任意两个正实数，且，若，则.

【答案】BD

【解析】对于A选项，函数的的定义域为，函数的导数 ，

∴时，，函数单调递减，

时，，函数单调递增，

∴是的极小值点，故A错误；

对于B选项，，

∴，

∴ 函数在上单调递减，

又∵ ，，

∴ 函数有且只有1个零点，故B正确；

对于C选项，若，可得，

令，则，

令，则，

∴在上，，函数单调递增，

上，，函数单调递减，

∴，

∴，

∴在上函数单调递减，函数无最小值，

∴不存在正实数，使得成立，故C错误；

对于D选项，由，可知，

要证，即证，且，

由函数在是单调递增函数，

所以有，

由于，所以

即证明，

令，

则，所以在是单调递减函数，

所以，即成立，

故成立，所以D正确.

综上，故正确的是BD.

故选：BD．

12. 已知函数，是的导函数，则下列结论中正确的是（    ）

A. 函数的值域与的值域不相同

B. 把函数的图象向右平移个单位长度，就可以得到函数的图象

C. 函数和在区间 上都增函数

D. 若为是函数的极值点，则是函数的零点

【答案】CD

【解析】

，

函数的值域与的值域均为，故A错误；

函数的图象向右平移个单位长度，得，不是的图像，故B错误；

时，是单调递增函数，，是单调递增函数，故C正确；

为是函数的极值点，则，即是函数的零点，故D正确.

故选：CD.

三、填空题：本题共4小题.

13. 若非零向量、,满足,,则与的夹角为___________.

【答案】

【解析】设与的夹角为，由题意,,，

可得，所以，

再由可得，，

故答案是.

14. 双曲线：的左、右焦点分别为、，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率为____.

【答案】

【解析】设△MPF2的内切圆与MF1，MF2的切点分别为A，B，

由切线长定理可知MA＝MB，PA＝PQ，BF2＝QF2，

又PF1＝PF2，

∴MF1﹣MF2＝（MA+AP+PF1）﹣（MB+BF2）＝PQ+PF2﹣QF2＝2PQ，

由双曲线的定义可知MF1﹣MF2＝2a，

故而a＝PQ，又c＝2，

∴双曲线的离心率为e．

故答案为：．

15. 设．

（1）当时，f（x）的最小值是_____；

（2）若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围是_____．

【答案】    (1).     (2). [0，]

【解析】（1）当时，当x≤0时，f（x）＝（x）2≥（）2，

当x＞0时，f（x）＝x22，当且仅当x＝1时取等号，

则函数的最小值为，

（2）由（1）知，当x＞0时，函数f（x）≥2，此时的最小值为2，

若a＜0，则当x＝a时，函数f（x）的最小值为f（a）＝0，此时f（0）不是最小值，不满足条件．

若a≥0，则当x≤0时，函数f（x）＝（x﹣a）2为减函数，

则当x≤0时，函数f（x）的最小值为f（0）＝a2，

要使f（0）是f（x）的最小值，则f（0）＝a2≤2，即0≤a，

即实数a的取值范围是[0，]

16. 已知函数.若函数在上无零点，则的最小值为________.

【答案】

【解析】因为在区间上恒成立不可能，故要使函数在上无零点，只要对任意的，恒成立，即对任意的，恒成立.

令，，则，

再令，，则，

故在上为减函数，于是，

从而，于是在上为增函数，所以，

故要使恒成立，只要，

综上，若函数在上无零点，则的最小值为.

故答案为：