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新高考数学三轮冲刺“小题速练”14(2份打包,教师版+原卷版)
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2021届高三数学“小题速练”14答案解析 一、单项选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合,,若,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】集合,,,,,,,,,,,,1,.故选:.2. 若实数,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】.对数函数的底数是在0到1之间,所以是减函数,因此,并且要保证真数,因此不成立;.取,,显然不成立;.当时,式子不成立;.指数函数的底数大于1,所以是增函数,即有,因此成立;故选:.3. 设随机变量,若,则( )A. , B. ,C. , D. ,【答案】A【解析】因为随机变量,且,所以由对称性知,由正态分布知方差.故选:A【点睛】本题主要考查了正态分布中,的含义,属于容易题.4. 设,则“”是“”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题解,解得:,解可得:;则不能推出成立,能推出成立,所以“”是“”的必要不充分条件,故选:B.5. 设,,若,,,则实数,,的大小关系是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】,,,,,,,,实数,,的大小关系为.故选:.6. 设、为两个不同的平面,、为两条不同的直线,且,,则下列命题中真命题是( )A. 若,则 B. 若,则C. 若,则 D. 若,则【答案】A【解析】由,为两个不同的平面,、为两条不同的直线,且,,知:在中,,则,满足平面与平面垂直的判定定理,所以正确;在中,若,不能得到,也不能得到,所以得不到,故错误;在中,若,则与可能相交、平行或异面,故不正确;在中,若,则由面面平行的性质定理得,不一定有,也可能异面,故错误.故选:.7. 函数的图象大致为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数的定义域为,,则函数为偶函数,图象关于y轴对称,排除B,当时,,排除A,当时,,排除C,故选:D.8. 已知一组数据点,,,…,,用最小二乘法得到其线性回归方程为,若数据,,,…的平均数为1,则( )A. 2 B. 11 C. 12 D. 14【答案】D【解析】∵,且在线性回归直线上,∴,则.故选:D.9. 用平面截一个球,所得的截面面积为,若到该球球心的距离为1,则球的体积为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】用一平面去截球所得截面的面积为,则截面圆的半径为1,已知球心到该截面的距离为1,则球的半径为,球的体积为:.故选:.10. 在,,,四个函数中,当时,使恒成立的函数的个数是( )A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】满足为凸函数,分别作出四个函数在上的图象,由图象知,在四个函数中,只有是凸函数,其余三个为凹函数,故选:.二、多项选择题:本大题共3小题,每小题4分,共12分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的,全部选对的得4分,有选错的得0分,部分选对的得2分.11. 某地某所高中2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.5倍,为了更好地对比该校考生的升学情况,统计了该校2016年和2019年的高考升学情况,得到如下柱图:则下列结论正确的是( )A. 与2016年相比,2019年一本达线人数有所增加B. 与2016年相比,2019年二本达线人数增加了0.5倍C. 与2016年相比,2019年艺体达线人数相同D. 与2016年相比,2019年不上线的人数有所增加【答案】AD【解析】依题意,设2016年高考考生人数为,则2019年高考考生人数为,由,所以A项正确;由,所以B项不正确;由,所以C项不正确;由,所以D项正确.故选:AD.12. 已知空间中两条直线,所成的角为,为空间中给定的一个定点,直线过点且与直线和直线所成的角都是,则下列选项正确的是( )A. 当时,满足题意的直线不存在B. 当时,满足题意的直线有且仅有1条C. 当时,满足题意的直线有且仅有2条D. 当时,满足题意的直线有且仅有3条【答案】ABC【解析】过点作,,则相交直线、确定一平面.与夹角为或,设直线与、均为角,作面于点,于点,于点,记,或,则有.因为,所以.当时,由,得;当时,由,得.故当时,直线不存在;当时,直线有且仅有1条;当时,直线有且仅有2条;当时,直线有且仅有3条;当时,直线有且仅有4条;当时,直线有且仅有1条.故,,均正确,错误.故选:.13. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,是解析数论的创始人之一,以其名命名的函数成为狄利克雷函数,则关于,下列说法正确的是( )A. B. 函数是偶函数C. 任意一个非零有理数,对任意恒成立D. 存在三个点,使得为等边三角形【答案】ABCD【解析】,正确;,偶函数,正确;,正确;易知三点构成等边三角形,正确;故选:三、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在对应题号的横线上14. 命题:“,”的否定是______.【答案】,【解析】命题为全称命题,则命题的否定为,故答案为:.15. 已知为偶函数,当时,,则曲线在点处的切线方程是______.【答案】【解析】为偶函数,且当时,,当时,,则,,(1).曲线在点处的切线方程是,即.故答案为:.16. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“庆国庆70周年,爱国主义知识大赛”活动,决出第1名到第5名的名次.甲乙两名同学去询问成绩,回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好,但是你俩都没得到第一名”;对乙说“你当然不会是最差的”从以上回答分析,丙是第一名的概率是_____.【答案】【解析】∵甲和乙都不可能是第一名,∴第一名只可能丙、丁或戊,又考虑到所有的限制条件对丙、丁、戊都没有影响,∴这三个人获得第一名是等概率事件,∴丙是第一名的概率是.故答案为:.17. 在棱长为6的正方体中,是的中点,点是面所在的平面内的动点,且满足,则_______,三棱锥的体积最大值是 _______.【答案】 (1). 2 (2). 【解析】在棱长为6的正方体中,是的中点,点是面所在的平面内的动点,且满足,如图:△,,即,设,,作,,化简得:,,根据函数单调性判断:时,最大值为36,,在正方体中,面,三棱锥的体积最大值为.故答案为:2;.
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