1.4 函数值不等式的解法与端点临界特征　讲义——高考数学一轮复习解题技巧方法

第4节  函数值不等式的解法与端点临界特征

知识与方法

函数值不等式有两个常用解法：

1．画草图，由图解不等式.

2.利用函数的单调性，转化为自变量的不等式来解.

提醒：①在解偶函数的函数值不等式时，常用将自变量全部化到上；②在选择题中，有时也可以巧用临界思想来快速求解，其基本原理是：函数值不等式的解构成的区间的端点大概率能够使得题干所给的函数值不等式左右两侧相等，不满足这一特征的实数大概率不是不等式的解构成的区间端点值.我们可以通过验证所给选项的区间端点是否满足这一特征来排除选项，但这一方法并不是严谨的解题过程，使用时需慎重.

典型例题

【例题】函数是定义在R上的增函数，若，则实数的取值范围为_________.

【解析】在R上，所以等价于，解得：.

【答案】

变式1  定义在上的函数满足，且，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【解析】由题意，在上，所以等价于，解得：.

【答案】C

变式2  已知函数，若，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【解析】

解法1：作出的大致图象如图所示，由图可知在R上，所以等价于，解得：.

解法2（端点临界法）：当时，，，

所以是区间的端点值，当时，，，

所以不是区间的端点值，由此可得出选A.

【答案】A

【反思】上面的解法2运用了临界思想，其基本原理是：函数值不等式的解构成的区间的端点大概率能够使得题干所给的函数值不等式左右两侧相等，不满足这一特征的实数大概率不是不等式的解构成的区间端点值，我们可以通过验证所给选项的区间端点是否满足这一特征来排除选项.但这一方法并不严密，后面的变式7给出了一个失效的实例，所以这种方法只能作为一种解题的辅助手段.

变式3  已知函数，若，则实数的取值范围为______.

【解析】由题意，，所以在R上，从而等价于，解得：.

【答案】

变式4  己知函数，若，则实数的取值范围为_____.

【解析】由题意，，所以在R上，另一方面，，所以是奇函数，从而，解得：.

【答案】

变式5  函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，若，则实数x的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【解析】

解法1：因为是偶函数，所以，

又在上，所以，从而，解得：.

解法2（端点临界法）：当时，，

是偶函数应为区间的端点值，

当时，，所以应为区间的端点值，

当时，，，所以不是区间的端点值，由此可得出选A.

【答案】A

【反思】偶函数有关的函数值不等式中，常根据在自变量上加绝对值，将自变量全部化到上进行考虑.

变式6  （2015·新课标Ⅱ卷)设，则使成立的的取值范围是（    ）

A.  B. C.  D.

【解析】

解法1：显然是定义在R上的偶函数，

且当时，和都为增函数，所以在上单调递增，

从而，解得：.

解法2（端点临界法）：一眼即可看出是定义在R上的偶函数，

当时，，是偶函数应为区间的端点值，

当时，，所以应为区间的端点值，

当时，，显然，所以不是区间的端点值，从而排除C、D选项，

那么A、B怎么选呢?代个特值验证一下就可以了，例如当时，，，所以，从而不是不等式的解，排除B选项，故选A.

【答案】A

变式7  设，则使成立的的取值范围是（    ）

A.   B.

C.    D.

【解析】显然是定义在R上的偶函数，

且当时，和都，所以在上，

从而，故.

【答案】A

【反思】本题若用临界思想会出现什么情况？我们将代入会发现左右两侧都等于，但从答案来看并不是原不等式的解构成的区间端点，所以本题仅用临界思想无法鉴别A、D两个选项到底谁正确.

强化训练

1.（2017·新课标Ⅰ卷·★★）奇函数在R上单调递减，若，则满足的的取值范围是（     ）

A.  B.  C.  D.

【解析】为奇函数，，所以即为，结合在R上可知，解得：.

【答案】D

2.（2014·新课标Ⅱ卷·★★★）偶函数在单调递减，，若，则的取值范围是_______.

【解析】由题意，的草图如图，由图可知，.

【答案】

3.（★★★）定义在上的函数满足，，都有，且，则实数的取值范围为_______.

【解析】由题意，是定义在上的减函数，所以，

解得：.

【答案】

4.（★★★）已知函数，若，则实数的取值范围为________.

【解析】的草图如图所示，由图可知在R上，

所以，解得：.

【答案】

5.（★★★）已知偶函数在上单调递减，则满足的的取值范围是_______.

【解析】解析：为偶函数且在上，

故或.

【答案】

6.（★★★★）设函数，则使得成立的的取值范围是________.

【解析】先求函数的定义域，分子应满足，故，此时分母可化为，所以，从而的定义域为，

且，作出函数的草图如图，显然为偶函数，且在上，所以，

从而或，解得：或.

【答案】

7.（★★★）定义在R上的函数在上单调递增，且是偶函数，则的解集是_______.

【解析】是偶函数的图象关于轴对称，而的图象可由的图象向左平移2个单位得到，所以的图象关于直线对称，

因为在上，所以的草图如图所示，

由图可知的图象上离对称轴越远的点，其函数值越大，所以等价于，解得：.

【答案】

8.（★★★）已知函数，若，则的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【解析】

解法1：为奇函数，

在R上，

而，

所以即为，也即，从而，故.

解法2（端点临界法）：为奇函数，

当时，，所以不是区间端点值，从而排除A、B、C三个选项，故选D.

【答案】D

9.（多选★★★）已知函数，实数m、n满足不等式，则（    ）

A.  B. C. D.

【解析】为奇函数，

是R上的增函数，

A项，由知，所以，故A项正确；

B项，，

由本题的条件可判断出，但和的符号无法判断，

所以不一定成立，故B项错误；

C项，，故C项正确；

D项，取，，显然满足，此时，故D项错误.

【答案】AC

10.（★★★★）已知函数，则不等式的解集是（    ）

A.  B.  C.  D.

【解析】

解法1：设，，则，

显然，所以为奇函数，，故在R上，

又，所以为奇函数，在上，显然随着x的增大而增大，所以在上，结合奇函数图象的对称性知在R上，从而是奇函数且在R上，

故，解得：.

解法2（端点临界法）：当时，，

所以不是原不等式的解的区间端点值，从而排除A、D两个选项，

另一方面，显然时，和都趋于，不等式显然成立，故选B.

【答案】B

11.（★★★）已知函数的定义域为R，对任意的，，且，则不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

【解析】

解法1：设，则由题意，对任意的，

，所以，故在R上，因为，所以，

从而，故，解得：.

解法2（端点临界法）：当时，，所以是的解的区间端点，当时，，，本题与2的大小无法确定，

所以不是的解的区间端点，排除B选项，

当时，，，本题与0的大小无法确定，

所以不是的解的区间端点，排除C选项，

当时，，，本题与的大小无法确定，

所以不是的解的区间端点，排除D选项，故选A.

【答案】A

12.（★★★）若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

【解析】

解法1：由题意，函数的草图如图所示，显然是不等式的解，

当时，或，解得：或，故，

当时，或，

解得：或，故，

综上所述，满足的x的取值范围为.

解法2（端点临界法）：令可得或，

因为为奇函数，且，所以，

从而或，解得：或或1，

所以满足的区间的端点应为0、3、、1，故选D.

【答案】D

13.（★★★★）已知定义在R上的函数在上单调递减，且满足是偶函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C. D.

【解析】是偶函数的图象关于直线对称，又在上，所以的草图如图，

由图可知的图象上离越远的点的函数值越小，

故等价于，

即，当时，，从而，解得：.

【答案】A