1.7 函数的反周期与仿周期特性 讲义-高考数学一轮复习解题技巧方法

第7节  函数的反周期与仿周期特性

知识与方法

1.反周期：

（1）周期函数的定义：若，则是周期为的周期函数.

（2）若函数满足对定义域内的每个，都有，则称函数为反周期函数.若满足的是，则用代换，可以得到，即.

因此，若函数的反周期为，则其周期为.另一方面，从图象上看，也可以理解成将函数图象上任意一个宽度为的区间不断向左右两边平移个单位，每次平移的同时也沿轴翻折一次，不断重复下去就得到函数的全部图象.下图给出了一个示例：

2.仿周期：周期函数的图象可以看成将函数一个周期的图象向左或向右不断平移来得到.若在每次平移的同时，还有横向或纵向的伸缩，这样形成的函数我们将其形象地称为仿周期函数.仿周期函数问题解题的关键是正确地画出函数的图象，所以熟悉这类函数的图象特征是有必要的.下面以两个具体的实例来给出常见的仿周期函数满足的条件形式及其对应的图象.

（1）横向平移纵向伸缩：定义在上的函数满足当时，；当时，，则的大致图象如图1所示.

（2）横向平移横纵伸缩：定义在上的函数满足时，，当时，，则的图象如图2所示.

典型例题

【例1】己知函数满足对任意的实数都有，且当时，，则：

（1）________；

（2）若函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围为________.

【例2】已知定义在上的函数满足，且当时，，若关于的方程在上有3个实数解，则实数________.

变式  函数是定义在上的函数，且满足，当时，.若存在，使成立，则实数的取值范围为________.

强化训练

1.（★★）函数满足对任意的实数，有，且当时，，则________.

2.（多选★★★）定义在上的函数满足，且当时，，则下列等式成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

3.函数是定义在上的函数，且满足，当时，，若方程在上有5个实根，则实数的取值范围为________.

4.（★★★）定义在上的函数满足，当时，，则方程在上的实根个数是

A.3  B.4  C.5  D.6

5.（★★★）已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围为________.

6.（★★★★）定义在上的函数满足，当时，.若对任意的，成立，则实数的取值范围为________.

7.（★★★★）定义在上的函数满足，当时，，若方程有1个实根，则实数k的取值范围为________.