1.10 复合函数不等式问题 讲义-高考数学一轮复习解题技巧方法

第10节  复合函数不等式问题

知识与方法

形如、的结构称为复合函数结构，复合函数不等式问题一般用换元法来解决，将内层的函数整体换元成t，将一个双层的不等式问题化归成两个单层的不等式问题来处理.

典型例题

【例题】设函数，若，则实数m的取值范围为（    ）

A.         B.

C.       D.

【解析】设，则或或，

即或，

若，则或，

解得：或，从而，

若，则或，解得：，

综上所述，实数的取值范围为.

【答案】B

变式1  设函数，则不等式的解集为________.

【解析】设，则即为，也即，

如图1，由图可知不等式的解为，故，

如图2，由图2可知不等式的解集为.

【答案】

变式2  设函数，，对任意的恒成立，则a的取值范围为________.

【解析】设，则即为，解得：，故问题等价于恒成立，即，故，所以，因为，所以.

【答案】

强化训练

1.（★★★）设函数，若，则实数a的取值范围为________.

【解析】设，则即为，从而或，解得：，故，

当时，，显然恒成立，

当时，，所以即为，解得：，所以，综上所述，实数a的取值范围为.

【答案】

2.（★★★）已知函数，则不等式的解集为________.

【解析】设，则即为，故或，解得：，所以，即或，解得：.

【答案】

3.（★★★★）设，，若恒成立，则实数a的取值范围为________.

【解析】设，则即为，所以或，

解得：，故，从而，所以，如图，

注意到曲线和直线相切，所以当且仅当时，恒成立.

【答案】