1.11 原函数构造与“大同小异” 讲义-高考数学一轮复习解题技巧方法

第11节  原函数构造与“大同小异”

知识与方法

1.本节主要解决导函数不等式问题，题干通常会给出一个与有关的不等式，让我们求解一个与有关的不等式.这类题平时考试很常见，但真题考得不算多.解题的常规方法有构造法和特例法两种，常见的构造归纳如下：

提醒：高中并没有系统性地学习不定积分，高考对求导逆运算（构造原函数）的要求并不高，不需要钻研一些特别复杂的构造，掌握常见的几种构造形式即可.

2.导函数不等式问题除了有上述常规方法外，有时也可以采用“大同小异”的方法取巧举个例子，假设题干给出，让我们求解不等式，则可以按以下步骤操作：

（1）第一步，在这个已知条件中，在保证的系数为正的条件下（若为负，可先移项使其为正)，不等号是“>”，则“大同”；

（2）第二步，直接将后面的直接丢掉，变成；

（3）第三步，根据第一步得出的“大同”，将其变成；

（4）第四步，解不等式得出即为本题答案.

提醒：①若在上述例子中，将已知条件由改为，则属于“小异”的情况，那么在处理不等式的时候，应该将其变成，从而解得结果.需要注意的是这一解题过程并不严密，属于经验方法，不保证结果一定正确，在考试时若想不到如何构造原函数，或者没有时间详细思考了，可以考虑这样做.至于为什么这样做大多数情况下都是对的，去看看本节的视频吧；②若让我们求解的与有关的不等式中只有1个函数值，那么题干的条件中通常会给出另一个函数值，此时直接利用另一个已知的函数凑成函数值不等式即可；③若给出为奇函数，则不等式和的解集具有“相反拼接性”，若给出为偶函数，则不等式和的解集具有“原点对称性”，如下图所示.

典型例题

【例1】函数的定义域为R，若，则不等式的解集为________.

变式1  函数的定义域为R，若，且，则不等式的解集为________.

变式2  函数的定义域为，且恒成立，则不等式的解集为________.

【例2】定义在R上的偶函数满足当时，，且，则不等式的解集为________.

变式  定义在R上的函数满足当时，，则

A. B. C. D.

【例3】定义在R上的奇函数满足当时，，且，则使成立的x的取值范围为________.

变式  定义在上的函数满足，则

A.  B.

C.  D.

【例4】函数满足，，且，则不等式的解集为________.

变式  函数满足对任意的，都有，则（    ）

A. B. C. D.

【例5】定义在上的函数满足恒成立，且，则不等式的解集为________.

变式  定义在上的函数满足恒成立，则（    ）

A.  B.

C.  D.

强化训练

1.（★★★）设是的导函数，且，（e为自然对数的底数），则不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

2.（★★★）设是的导函数，且，（e为自然对数的底数），则不等式的解集为________.

3.（2015·新课标Ⅱ卷·★★★★）设是定义在R上的奇函数，，当时，，则使得成立的x的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

4.（★★★★）设是定义在R上的奇函数，，当时，，则使得成立的x的取值范围是________.

5.（★★★）定义在R上的函数的导函数为，满足当时，，且，则不等式的解集为________.

6.（★★★）定义在上的函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为________.

7.（★★★）定义在R上的函数满足，，则不等式的解集为

A.    B.

C.   D.

8.（★★★）定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为________.

9.（★★★★）设是定义在上的偶函数，若当时，，则不等式的解集是________.