1.14 洛必达法则 讲义-高考数学一轮复习解题技巧方法

第14节  洛必达法则

知识与方法

在有的问题中，我们要研究函数的图象，但函数存在没有定义的点，代入解析式计算函数在该点处的函数值时，会出现诸如、的不定式，从而无法用初等的方法研究函数在该点附近的图象走势.例如，在研究函数在附近的图象时，初等代数的方法就会显得束手无策，此时，我们需要用到高等代数中的一个重要定理：洛必达法则.

1．洛必达法则：设函数与在上存在导数，，且或，，其中a为有限值或无穷大，则（其中表示从的右侧无限逼近，类似的，表示从的左侧无限逼近）

类似的，对于左侧极限，也有相应的结论：

洛必达法则给了我们一种求极限的简便方法，在高中数学的范畴，一般来说，洛必达法则的条件都能够满足，因此，如果遇到型、型的不定式，就可以把分子分母分别求导，

再求极限，所得的结果与原来的极限值是相等的.

下面我们来考虑时，式的极限值，注意到该式的分子，分母，属于型的不定式，分子分母在附近都能求导，所以两者相除所得的极限值等于分子分母分别求导之后再相除求极限所得值，即.

如果我们要作出函数的图象，可以先求导研究其单调性，再作草图.

易求得，令，则，显然，，所以在上单调递增，在上单调递减；从而，当且仅当时取等号，故，所以在和上均为减函数，虽然在处没有定义，但我们已经求出了它在时的极限，再求出当、时的极限值，

，据此就可以作出函数的草图，如下图所示.

洛必达法则在高等代数中的应用非常广泛，在高中数学里，我们也可以用它来解决一些简单的求极限问题.下面通过一些实例来感受洛必达法则的作用.

提醒：①若用了一次洛必达法则后，仍然满足洛必达法则的使用条件，那么可以再用洛必达法则，直到不满足洛必达法则的使用条件为止；②在解答题中使用洛必达法则，存在被扣分的风险，所以本节的例题和强化训练，我们都只选取小题.解答题中使用洛必达法则的方法和小题中类似；③同学们提前了解洛必达法则，主要目的是学习一个新的研究函数的工具，能够站在更高处，更为透彻地看待问题，不应该是为了用它投机取巧，反而忽略了高中数学中本该重点学习的初等方法.

典型例题

【例1】若函数有2个零点，则实数a的取值范围是________.

【例2】若当时，恒成立，则实数a的取值范围是________.

强化训练

1.（★★★★）若函数有且仅有3个零点，则实数α的取值范围是________.

2.（★★★★）若当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是________.

3.（★★★★）若当时，恒成立，则实数a的取值范围是________.

4.（★★★★）不等式对任意的成立，则实数a的取值范围是________.