3.2 三角形中线长的计算及其演变 讲义-高考数学一轮复习解题技巧方法
展开第2节 三角形中线长的计算及其演变
知识与方法
三角形的中线长的计算是一个基本的运算单元，在很多问题中都会涉及到，下面归纳两类中线长的计算问题，其它条件下求中线长，可先用解三角形的方法求出其中的一些要素，从而转化为下面这两类问题，或者直接在中线分割成的小三角形中，利用解三角形的知识来求中线长.
1.已知两边及夹角，求第三边上的中线长
例如，设中，已知边b、c和角A，如图1所示，这类问题的解法很多，较为简单的有两种：
解法1：，开根号即得；
解法2：将以AB、AC为邻边补全为平行四边形，如图2所示，
在中，，，所以，
由余弦定理，，开根号再除以2即得的长.
2.Stewart公式：如图3所示，D是边上任意一点，
则.
3.已知三边，求中线长
例如，设中，已知边a、b、c，求中线的长，如图1所示，这类问题的解法很多，较为简单的有三种：
解法1：先用求得，接下来在中，利用余弦定理计算.
解法2：如图1所示，设，由Stewart，，直接解出x即得的长.
解法3：如图1所示，设，显然，所以,在和中分别由余弦定理计算和，从而建立方程求解x.
提醒：大题宜使用解法1，小题可以用解法2来求解.
典型例题
【例题】在中，，，，则BC边上的中线AD的长为______.
【解析】解法1：如图1，因为D为BC中点，所以，
故，从而.
解法2：如图2，将补全为平行四边形，则，，在中，
由余弦定理，，所以，故.
【答案】2
变式1 在中，，，BC边上的中线，则_______.
【解析】解法1：如图1，设，
则.
解法2：
，解得：，故，即.
解法3：将补全为平行四边形，如图2，则，，
在中，，所以，
从而，故.
解法4：如图1，设，由Stewart公式，，解得：，即.
【答案】6
变式2 在中，，，D为BC边上一点，，若，则_____.
【解析】解法1：设，则，
.
解法2：
，解得：，故，即.
解法3：设，则，由Stewart公式，，解得：，故.
【答案】6
变式3 在中，，，，则BC边上的中线AD的长为______.
【解析】解法1：如图，在中，，
在中，，所以.
解法2：如图，设，由Stewart公式，
，解得：.
解法3：如图，设，由图可知，所以，解得：.
【答案】
变式4 在中，，，则BC边上的中线AD的长的取值范围是______.
【解析】解法1：如图1，设，则，因为D是BC的中点，所以，故，因为，所以，从而，故.
解法2：如图2，将补全为平行四边形，则，
设，则，在中，，
因为，所以，故，从而，显然，所以.
解法3：如图1，设，，由Stewart公式，，
所以，由可得，所以，即的长的取值范围是.
解法4：如图1，取中点G，连接，则，将单独画出来分析，如图3，由于点D在运动过程中始终要满足，所以点D的轨迹是以G为圆心，2为半径的圆，不含A、B、D共线的情形，由图形的运动过程易得.
【答案】
强化训练
l.（★★★）在中，，，，则BC边上的中线AD的长为_______.
【解析】解法1：如图1，由题意，D为BC中点，所以，
故，从而.
解法2：如图2，将补全为平行四边形，则，，
在中，由余弦定理，，所以，故.
【答案】
2.（★★★）在中，，，D是BC中点，，则BC等于（ ）
A. B. C. D.
【解析】解法1：如图1，设，
则，
解得：，故.
解法2：因为是中点，所以，
故，
解得：，所以，从而.
解法3：如图2，将补全为平行四边形，则，，
在中，，故，
.
解法4：如图1，设，由Stewart公式，
，即.
【答案】B
3.（★★★）在中，，，D为BC边上一点，，若，则_______.
【解析】解法1：设，则，由图可知，，
所以，解得：，所以.
解法2：由题意，，所以，
即，
解得：，所以，故.
解法3：设，则，由Stewart公式，
，解得：，故.
【答案】4
4.（★★★）在中，，，则AC边上的中线BD的长为______.
【解析】解法1：如图，在中，，
在中，，所以.
解法2：如图，设，由Stewart公式，
，解得：.
解法3：如图，设，由图可知，
所以，解得：.
【答案】
5.（★★★★）在中，，，则BC边上的中线AD的长的取值范围是_______.
【解析】解法1：如图1，设，则，因为是的中点，所以，故，因为，所以，从而，故.
解法2：如图2，将补全为平行四边形，则，
设，则，在中，，
因为，所以，故，从而，
显然，所以.
解法3：如图1，设，，由Stewart公式，，
所以，由可得，代入可得，即的长的取值范围是.
【答案】
解法4：如图1，取中点G，连接，则，将单独画出来分析，如图3，由于点D在运动过程中始终要满足，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，不含A、B、D共线的情形，由图形的运动过程易得.
8.15 阿基米德三角形的常见性质及其应用 讲义——高考数学一轮复习解题技巧方法： 这是一份8.15 阿基米德三角形的常见性质及其应用 讲义——高考数学一轮复习解题技巧方法，文件包含第15节阿基米德三角形的常见性质及其应用-解析版docx、第15节阿基米德三角形的常见性质及其应用-原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共12页， 欢迎下载使用。
6.4 法向量的计算与点到平面距离的计算 讲义——高考数学一轮复习解题技巧方法： 这是一份6.4 法向量的计算与点到平面距离的计算 讲义——高考数学一轮复习解题技巧方法，文件包含第六章第4节法向量的计算与点到平面距离的计算-解析版docx、第六章第4节法向量的计算与点到平面距离的计算-原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共12页， 欢迎下载使用。
4.8 三角形的“四心”及其向量性质 讲义-高考数学一轮复习解题技巧方法： 这是一份4.8 三角形的“四心”及其向量性质 讲义-高考数学一轮复习解题技巧方法，文件包含第四章第8节三角形的“四心”及其向量性质-解析版docx、第四章第8节三角形的“四心”及其向量性质-原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共15页， 欢迎下载使用。
