4.4 数量积的投影分析方法 讲义-高考数学一轮复习解题技巧方法

第4节  数量积的投影分析方法

知识与方法

如下图所示，向量b在向量a方向上的投影，利用投影法可以快速求解一些数量积问题.

典型例题

【例题】已知A、B是圆上的两个动点，，点C满足，若M为中点，则的值为（    ）

A.3 B. C.2 D.

【解析】如图，因为M为中点，所以，由知A、B、C三点共线，所以，

因为，所以，

故，从而.

【答案】A

变式1  已知A、B是圆上的两个动点，，，若M是线段的中点，则的值为（    ）

A.3 B. C.2 D.

【解析】解法1（基底法）：由题意，，又，所以为正三角形，

因为M是线段的中点，所以，

从而

解法2（坐标法）：不妨设点A和点B位于图1中所示的关于y轴对称的位置，

因为，，所以，，，

故，，，，

所以.

解法3（投影法）：如图2所示，由知A、B、C三点共线，

所以，因为是中点，所以，故，易求得，从而.

【答案】A

【反思】设O为直线外一点，且，则A、B、C三点共线的充要条件是.

变式2  已知A、B是圆上的两个动点，，，若M是线段的中点，则的值为________.

【解析】解法1：由知为正三角形，因为M是线段的中点，所以，

故

.

解法2：不妨设点A和点B位于如图所示的关于y轴对称的位置，

则，，，

故，，，，

所以.

【答案】6

【反思】本题由于用和表示的系数和不为1，不满足A、B、C三点共线，故而不便运用投影法计算数量积.

变式3  已知A、B是圆上的两个动点，P、Q是直线上的两个动点，且，M是线段的中点，则的取值范围是________.

【解析】解法1：M是线段的中点点M的轨迹是圆，

如图，不妨设，设，

则，

所以的取值范围是.

解法2：M是线段的中点点M的轨迹是圆，如图，由图可知当点M在圆上运动的过程中，在方向上的投影的取值范围是，所以的取值范围是.

【答案】

变式4  如下图所示，，，点P是正方形内（含边界）的动点，E为中点，则的最大值是________.

【解析】解法1：由题意，，设，则，设，则，所以要使z最大，只需直线在轴上的截距最大，且该直线与正方形区域有交点，显然当直线过点时，在y轴上的截距最大，所以，即的最大值是6.

解法2：由图可知当点P与点B重合时，在方向上的投影最大，此时也最大，显然，，所以，故的最大值是6.

【答案】6

强化训练

1.（★★）已知，，则a在b方向上的投影为________.

【解析】a在b方向上的投影为.

【答案】

2.（★★★）在中，，且，点M满足，则等于（    ）

A.3 B.6 C.9 D.12

【解析】解法1：由题意，，

所以.

解法2：设，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，因为，所以M为线段上靠近A的三等分点，故，所以，，从而.

解法3：记，过M作于N，则由可知，所以.

【答案】B

3.（★★★）若，与的夹角为60°，中点为M，，则_______.

【解析】解法1：因为中点为M，所以，

故.

解法2：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，

所以，，

故.

解法3：由题意可得为正三角形，所以，因为，所以A、B、C三点共线，

故，而，

所以.

【答案】

4.（★★★）矩形中，，，动点P在以点C为圆心，且与相切的圆上，则的取值范围为_______.

【解析】解法1：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，

设圆C的半径为r，则，所以，从而圆C的方程为，

故可设，则，

而，所以.

解法2：如图，当点P分别位于图中、处时，在方向上的投影最小、最大，且投影的最小值和最大值分别为和，

所以的取值范围为

【答案】

5.（★★★★）已知点P是椭圆上的动点，，其中O为原点，则当取得最大值时，点P的坐标为_________.

【解析】解法1：可设，则，

故，其中，，当取得最大值时，，所以，故，从而，同理，，所以.

解法2：如图，设直线且与椭圆相切于点，当点P与重合时，在方向上的投影最大，此时取得最大值，可设，，

判别式或（舍去），

所以，，故.

【答案】