5.8 不动点法与特征根法求通项 讲义-高考数学一轮复习解题技巧方法

第8节  不动点法与特征根法求通项

知识与方法

1.不动点的概念：对于函数，我们称方程的根为函数的不动点.

2.不动点法：当我们遇到，且是一个关于的多项式（或分式多项式）这种类型的递推公式时，可以采用不动点法来求，常见的题型有2类：型，型.

（1）型：（例题请参考例1）

第一步，构造函数，并令，求出的不动点；

第二步，在递推公式两端同时减去，化简使得左右两侧结构一致；

第三步，构造数列求通项.

（2）型：（三种情况的例题分别为后续的例2、例3、例4）

第一步，构造函数，并令，求出的不动点；

第二步，若有2个不动点，则用两端分别减去两个不动点，得到两个式子，两式相除可以产生优良结构，进而构造数列求通项；若只有1个不动点，则用两端减去该不动点，再取倒数，化简可以产生优良结构，进而构造数列求通项；若没有不动点，则在考题中，往往是周期较小的周期数列，直接根据首项和递推公式求出前几项找规律即可.

3.特征根法：当我们遇到这种类型的二阶线性递推公式时，可以用特征根法来求通项.（两种情况的例题请参考后续的例5和例6）

第一步，构造特征方程，并求出特征方程的根；

第二步，若上一步的特征方程有2个不同的实根和，则，再利用和来求出系数A和B；若上一步的特征方程有2个相同的实根，则，再利用和来求出系数A和B.

典型例题

【例1】已知数列满足，，则_______.

【解析】第一步，求不动点，设，令得：，所以；

第二步，减不动点，，所以，此时发现左右两侧结构一致了；

第三步，构造数列求通项，因为，所以是首项为3，公比为2的等比数列，从而，故.

【答案】

【例2】已知数列满足，，则_______.

【解析】第一步，求不动点，设，令得：，解得：，

第二步，减不动点，，化简得：①，

，化简得：②，

用式①除以式②可得，

又，所以，故

【答案】

【例3】已知数列满足，，则_______.

【解析】第一步，求不动点，设，令得：，解得：；

第二步，减不动点，，化简得，，所以，从而，故，

又，所以是首项和公差均为的等差数列，从而，故.

【答案】

【例4】已知数列满足，，则_______.

【解析】第一步，求不动点，设，令得：，化简得：，显然该方程无解，这种情况下一般是周期不大的周期数列，我们只需算出前几项，找出规律即可，由题意，，所以，，，，，，从而是以6为周期的周期数列，故.

【答案】2

【例5】已知数列中，，，且，则_______.

【解析】特征方程为，解得：或3，所以可设，

因为，，所以，解得：，，

从而.

【反思】特征根法的原理是怎么样的，为什么可以这样做?去看看视频吧.

【答案】

【例6】已知数列中，，，且，则_______.

【解析】特征方程为，解得：，所以可设，

因为，，所以，解得：，，从而.

【答案】

强化训练

1.（★★★）已知数列满足，，则_______.

【解析】第一步，求不动点，设，令得：，所以；

第二步，减不动点，所以；

第三步，构造数列求通项，因为，所以是首项为，公比为的等比数列，从而，故.

【答案】

2.（2012·大纲卷（节选第2问）·★★★★）函数，定义数列如下：，是过两点、的直线与x轴交点的横坐标，求数列的通项公式.

【解析】由题意，直线的斜率为，

所以的方程为，令得：，由题意，，设，令可得：，解得：或，

从而，整理得：①，

，整理得：②，

用式①除以式②可得：，又，所以是首项为，公比为的等比数列，从而，故.

3.（★★★★）已知数列满足，，则______.

【解析】第一步，求不动点，设，令得：，解得：或；

第二步，减不动点，因为，所以，化简得：①，，化简得：②，用式①除以式②可得：，又，所以是首项为，公比为的等比数列，故

从而.

【答案】

4.（★★★★）已知数列满足，，则______.

【解析】第一步，求不动点，设，令得：，解得：；

第二步，减不动点，，化简得：，

所以，从而，

又，所以是首项为，公差为1的等差数列，

故，所以.

【答案】

5.（★★★）设数列满足，且，则______.

【解析】设，令得：，化简得：，无解，

这种情况下一般是周期不大的周期数列，我们来算一下前几项看规律，

由题意，，，，，，

所以是周期为4的周期数列，故.

【答案】

6.（★★★★）已知数列中，，，且，则______.

【解析】特征方程为，解得：或1，所以可设，

因为，，所以，解得：，，故.

【答案】

7.（★★★★）已知数列中，，，且，则______.

【解析】特征方程为，解得：，所以可设，

因为，，所以，解得：，，故.

【答案】