6.3 外接球经典模型：二面角模型 讲义-高考数学一轮复习解题技巧方法

第3节  外接球经典模型：二面角模型

（新高考、理科专用）

知识与方法

设有公共边的和构成二面角，若A、B、C、D四点在同一球面上，则计算该球的半径（或体积、表面积等）这类问题，本节我们简称为二面角模型.无论和是什么样的三角形，二面角多大，该模型下外接球半径的计算原理是大致相同的.如下图所示，假设和是两个确定的三角形，二面角的平面角为，则这类问题的计算步骤如下：

（1）找到和的外心、，设E为中点，则，，所以即为二面角的平面角，故.

（2）分别过、作和所在平面的垂线交于点O，则O即为球心，设，和的外接圆半径分别为和，则，同理，；

（3）在中，由余弦定理可求得；

（4）注意到，所以O、、E、都在以为直径的圆上，该圆也是的外接圆，设其半径为r，则由正弦定理，，从而求得；

（5）在中，根据计算球O的半径.（看不懂这些步骤?去看看视频吧）

提醒：①上面的计步骤是针对一般的情形，若已知条件比较特殊，如和为直角三角形，又或者二面角是直角等，计算过程可以相应简化；②若设，，则，特别地，当二面角为直二面角时，，代入上述公式可得，这是这一模型下外接球半径的计算公式，其推导方法可以参考本节的配套视频，下面通过一系列例题来给同学们讲解具体问题中的求解办法.

典型例题

【例题】如下图所示，三棱锥中，是边长为2的等边三角形，若，二面角的大小为90°，则三棱锥的外接球的表面积为_______.

变式1  四面体中，平面平面，，，，则四面体的外接球的表面积为_______.

变式2  四面体中，，，，则此四面体外接球的表面积为（    ）

A. B. C. D.

变式3  三棱锥中，是边长为2的等边三角形，若，二面角的大小为60°，则三棱锥的外接球的表面积为_______.

变式4  三棱锥中，是边长为2的等边三角形，若，二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球的表面积为_______.

变式5  如右图所示，在三棱锥中，顶点P在底面上的射影G是的外心，，二面角的大小为60°，则三棱锥的外接球的表面积为_______.

强化训练

1.（★★★★）三棱锥中，平面平面，是边长为2的正三角形，是以为斜边的直角三角形，则三棱锥的外接球的表面积为______.

2.（★★★★）三棱锥中，，，，二面角的大小为120°，则三棱锥中外接球的半径为______.

3.（★★★★）四面体中，，，，且二面角的大小为120°，则四面体外接球的半径为______.

4.（★★★★）四面体中，是以为斜边的直角三角形，，，且二面角的余弦值为，则四面体外接球的表面积为______.

5.（★★★★）如下图所示，直三棱柱中，，，，M是的中点，则三棱锥的外接球的体积是（    ）

A. B. C. D.

6.（★★★★）如下图所示，在三棱锥中，是边长为1的正三角形，，，且平面平面，则三棱锥外接球的表面积为_______.

7.（★★★★）如下图所示，在菱形中，，，E为对角线的中点，将沿折起到的位置，若，P、B、C、D四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（    ）

A. B. C. D.

8．（★★★★）如下图所示，平面四边形中，，，，现将四边形沿对角线折起，使二面角的余弦值为，若折起后A、B、C、D四点都在球O的表面上，则球O的半径为_____.

9.（★★★★）如下图所示，在四面体中，，，，，则该四面体外接球的表面积是（    ）

A. B. C. D.

10.（★★★★）如下图所示，空间四边形中，，，，且二面角的大小为45°，若A、B、C、D四点都在球O的表面上，则球O的表面积为_______.