7.1 点关于直线的对称问题 讲义——高考数学一轮复习解题技巧方法

第7章  直线与圆

第1节  点关于直线的对称问题

知识与方法

1.如右图所示，已知点和直线，求P关于直线l的对称点这类问题，通常可以设的坐标为，利用的中点在对称轴l上，以及来建立方程组，求解a和b.

2.技巧：当对称轴直线的斜率是时，可直接由对称轴方程将x、y反解出来，再将点P的坐标分别代入即可得出所求对称点的坐标.

典型例题

【例题】已知点，则A关于直线的对称的点的坐标为_______.

【解析】如图，设，则的中点为，

点G在直线上，所以①，

又，所以②，

联立①②可解得：，，所以点的坐标为.

【答案】

变式1  已知点，则：

（1）点A关于直线对称的点的坐标为_______；

（2）点A关于直线对称的点的坐标为_______；

【解析】（1），将点A的坐标代入这两个式子的右侧可得，所以；

（2），点A的坐标代入这两个式子的右侧可得，所以.

【答案】（1）；（2）

【反思】当对称轴的斜率为时，可以使用小技巧来求对称点的坐标，若斜率不是，则不能这样做.

变式2  已知直线和点，，点P在直线l上，则的最小值为_______.

【解析】如图，

将点A的坐标代入这两个式子的右侧可得，

所以A关于直线l的对称点为，

由图可知，从而，故当P为线段与直线l交点时，最小，且最小值为.

【答案】

变式3  一只虫子从原点出发，先爬到直线上的点P，再爬到点，则虫子爬行的最短路程为_______.

【解析】问题等价于求直线l上的动点P到原点O和点A的距离之和的最小值，

如图，，

将点A的坐标代入这两个式子的右侧可得，

所以点A关于直线l的对称点为，从而，故，

由图可知当P为线段与l交点时，取得最小值，此时也最小，且最小值为2.

【答案】2

【反思】求直线l上的动点P到直线l同侧两定点A、B距离之和的最小值问题的解题步骤是：（1）求点A关于直线l的对称点；（2）求的长，即为所求最小值.

强化训练

1.（★★）点关于直线的对称点的坐标为_______.

【解析】设，如图，一方面，的中点在直线上，所以①，

另一方面，，所以②，

联立①②解得：，所以的坐标为.

【答案】

2.（★★）点关于直线的对称点的坐标为_______.

【解析】

将点A的坐标代入这两个式子的右侧可得点的坐标为.

【答案】

3.（★★★）已知P是直线上的动点，点，，则的最小值为_______.

【解析】，

将点B的坐标代入这两个式子的右侧可得，

所以点B关于直线l的对称点为，从而，所以，

由图可知当A、P、三点共线时，取得最小值，所以.

【答案】