7.2 直线关于直线的对称问题 讲义——高考数学一轮复习解题技巧方法

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第2节  直线关于直线的对称问题知识与方法1.对称问题是平面解析几何中的一类重要的问题，在很多问题中，我们也会运用对称的思想来解题，这一小节我们解决求直线a关于直线l的对称直线的问题，这类题求解的时候要抓住两点：（l）所求直线经过直线a和直线l的交点P；（2）对称轴l上除P外的另一点到a和的距离相等.2．技巧：当对称轴直线l的斜率是时，可直接由对称轴方程将x、y反解出来，代入直线a的方程，整理即可得到a关于直线l的对称直线的方程.典型例题【例题】直线关于直线的对称直线l的方程为______.【解析】和的交点为，直线l也过点P，可设其方程为，整理得：，在对称轴上取点，则点Q到直线和的距离相等，其中A、B不同时为0，所以，从而或，若，则直线l的方程为，即，此时l与重合，不合题意，所以，故直线l的方程为，即.【答案】变式1  直线关于直线的对称直线l的方程为______.【解析】，代入直线的方程为：，整理得所求直线的方程为.【答案】变式2  直线关于直线的对称直线的方程为______.【解析】，代入直线的方程得：，整理得所求直线l的方程为.【答案】【反思】当对称轴的斜率为时，可以使用小技巧来求对称直线的方程，若斜率不是，则不能这样做. 强化训练1.（★★★）直线l关于直线的对称直线的方程为______.【解析】与的交点为，直线也经过点P，可设的方程为，整理得：，其中A、B不同时为0，在直线上取点，则点Q到和的距离相等，所以，故或，若，则直线的方程为，即，与重合，不合题意，所以，直线的方程为，化简得：.【答案】2.（★★★）直线关于直线的对称直线的方程为______.【解析】，代入直线的方程可得：，化简得所求直线的方程为.【答案】3.（★★★）一光线从点发出，入射到直线上的点后被反射，则反射光线所在的直线的方程为______.【解析】如图，由题意，应有反射光线所在的直线和直线关于直线对称，直线的斜率，其方程为，即，，代入直线的方程可得：，化简得反射光线所在直线的方程为.【答案】