7.5 圆的切线、切点弦结论 讲义-高考数学一轮复习解题技巧方法

第5节  圆的切线、切点弦结论

知识与方法

1求过圆上一点的圆C的切线的步骤如下：

（1）先验证经过点P且垂直于x轴的直线是否和圆C相切，若是，如图1所示，所求切线为，问题求解完毕；若否，则进行下一步；

（2）设切线斜率为k，如图2所示，由切线，求出k，用点斜式写出切线的方程，问题求解完毕.

上述问题的结论：圆C上点P处的切线的方程为.

2求过圆外一点的圆C的切线的步骤如下：

（1）先验证过点P且垂直于x轴的直线是否和圆相切，若是，如图3所示，其中一条切线为

（2）设切线的斜率为k，用点斜式写出切线的方程，由圆心到切线的距离，解出k，求得切线方程.

3.过圆外一点作圆C的两条切线，切点分别为A和B，如图4所示，则切点弦所在直线的方程为

典型例题

【例l】圆在点处的切线方程为______.

【解析】显然点P在圆C上，故所求切线的方程为，化简得：.

【答案】

变式1  圆在点处的切线方程为______.

【解析】易验证点P在圆C上，故所求切线的方程为，化简得：

【反思】过圆C上的点作圆C的切线，则切线的方程可以在圆C的一般式方程中将换成，将换成，将x换成，将y换成得到.

【答案】

变式2  已知圆，则：

（1）圆C的过点的切线方程为_______；（2）圆C的过点的切线方程为_______

【解析】（1）显然过点P且斜率不存在的直线与圆C不相切，

故可设切线的方程为，

即，所以，解得：，故圆C的过点P的切线方程为；

（2）易得过点Q且斜率不存在的直线与圆C相切，设另一条切线的方程为，即，所以，解得：，

所以该切线的方程为，化简得：，

综上所述，圆C的过点Q的切线方程为或.

【答案】（1）；（2）或

【例2】已知圆外一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，则直线的方程为_______

【解析】由题意，切点弦所在直线的方程为，即

【答案】

变式1  已知圆外一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，则直线的方程为______.

【解析】由题意，切点弦所在直线的方程为

化简得：

【反思】过圆C外的点作圆C的两条切线，

则切点弦所在直线的方程，可在圆C的一般式方程中将换成，将换成，将x换成，将y换成得到.

【答案】

变式2  已知圆，P为直线上一点，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A和B，若四边形 的面积为12，则直线的方程为______.

【解析】如图，，

所以四边形的面积，

由题意，，解得:，

由题意，点P在直线上，故可设，

则，所以，

解得：或2，

当时，，此时直线的方程为，化简得：

当时，，此时直线AB的方程为，化简得：，

所以直线的方程为或

【答案】或

变式3  已知圆，P为直线上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，当四边形的面积最小时，则直线的方程为______.

【解析】如图，，

所以四边形的面积，所以当最小时，S也最小，

此时，易求得的方程为，

联立解得：，，所以，

故直线的方程为，化简得：.

【答案】

变式4  已知直线与x轴交于点T，过直线l上的动点P作圆的两条切线，切点分别为A、B，设中点为M，则的最小值为（    ）

A. B. C. D.3

【解析】如图，因为点P在直线上，所以可设，则切点弦所在直线的方程为

即，所以直线过定点，

又M为中点，所以，故点M在以为直径的圆上，从而点M的轨迹是以为圆心，为半径的圆，

显然点在该圆外，所以.

【反思】当动点P在与圆C相离的某一定直线上运动时，过点P作圆C的两条切线，则切点弦所在的直线是过定点的直线，熟悉这一模型，本题的求解就不困难了.

【答案】A

强化训练

1.（★★）圆在点处的切线方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【解析】显然点P在圆C上，故所求切线的方程为，化简得：.

【答案】D

2.（★★）已知圆，则：

（1）圆C的过点的切线方程为______；

（2）圆C的过点的切线方程为______.

【解析】（1）显然过点P且斜率不存在的直线与圆C不相切，故可设切线的方程为，即，所以，解得：，故圆C的过点P的切线方程为；

（2）易得过点Q且斜率不存在的直线与圆C相切，设另一条切线的方程为，即，所以，解得：，

所以该切线的方程为，化简得：，

综上所述，圆C的过点Q的切线方程为或

【答案】（1）；（2）或

3.（★★）已知圆外一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，则直线的方程为______.

【解析】由题意，切点弦所在直线的方程为，化简得：.

【答案】

4.（★★）已知圆外一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，则直线的方程为______.

【解析】由题意，切点弦所在直线的方程为，化简得：.

【答案】

5.（★★）已知圆外一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，则直线的方程为______.

【解析】由题意，切点弦所在直线的方程为，化简得：.

【答案】

6.（★★★）已知圆，P为直线上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，若四边形的面积为12，则直线的方程为______.

【解析】如图，，

所以四边形的面积，

由题意，，解得：，

由题意，点P在直线上，故可设，

则，所以，解得：或1，

当时，

此时直线AB的方程为，

化简得：，

当时，，

此时直线AB的方程为，

化简得：，

所以直线的方程为或.

【答案】或

7.（★★★）已知圆，P为直线上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，当四边形的面积最小时，则直线的方程为______.

【解析】圆心，半径.

如图，，

所以四边形的面积，

所以当最小时，S也最小，此时，，

故的方程为，即，

联立解得：，，即，

所以直线的方程为，

化简得：.

【答案】

8.（★★★★）已知P为抛物线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A和B，则当四边形的面积最小时，直线的方程为______.

【解析】如图，，

所以四边形的面积，

所以当最小时，S也最小，由题意，，

可设，则，

故当时，取得最小值，

此时，所以直线的方程为，

化简得：.

【答案】或

9.（★★★★）已知圆，P为直线上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，的中点为Q，若点T的坐标为，则的最小值为______.

【解析】圆心，半径，

设，则切点弦所在直线的方程为，

化简得：，

所以直线过定点，

如图，显然，所以点Q的轨迹是以为直径的圆，

其圆心为，，

因为，所以.

【答案】