7.6 隐形圆 讲义-高考数学一轮复习解题技巧方法

第6节  隐形圆

知识与方法

在解析几何问题中，若题干中某个动点的轨迹是圆，这类问题我们称之为隐形圆问题，解题的关键是发现隐形圆，运用圆的性质来求解答案.本专题后续内容将详细归纳隐形圆常见的几类题型.

典型例题

【例1】若圆上存在点P，使得P点到原点的距离为3，则实数a的取值范围为________.

【解析】问题等价于圆与圆有交点，所以，易求得，所以，解得：或.

【答案】

【例2】已知圆和两点、，若圆上存在点P，使得，则正实数m的取值范围为______.

【解析】点P的轨迹方程是圆，问题等价于圆O与圆C有交点，所以，从而，结合可解得：.

【答案】

【反思】设A、B为两个定点，则由或所确定的点P的轨迹是圆.

【例3】在平面直角坐标系中，已知点和，若直线上存在点P使，则实数a的取值范围为______.

【解析】设，则由|可得，化简得：，所以问题等价于直线与圆有交点，故，

解得：.

【答案】

【反思】若动点P满足，其中A、B是两个定点，则点P的轨迹是圆.

变式  在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，则的面积的最大值为______.

【解析】以中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则，，设,

因为，所以，故，

化简得：，

所以点B的轨迹是以为圆心，为半径的圆（不含x轴上的两个点），如图，

由图可知，.

【答案】

【例4】已知点，，点P在直线上，若满足的点P有两个，则实数m的取值范围为______.

【解析】设，则，，

，

整理得点P的轨迹方程为圆，

所以问题等价于直线与圆C相交，故，

解得：或.

【答案】

【反思】由可确定隐形圆，其中A、B是两定点.

【例5】设点，圆，若圆C上存在点M，使得，其中O为原点，则实数m的取值范围为______.

【解析】设，则由可得，化简得：，所以问题等价于圆C与圆有公共点，

故，

解得：或.

【答案】

【反思】是定值可确定隐形圆，其中A、B是两定点.

【例6】在平面直角坐标系 中，已知B、C为圆上两点，点，且，则线段的长的取值范围为______.

【解析】如图1，设中点为，则，，所以，又，所以，故，整理得：，从而点M的轨迹是圆，圆心为，且点A在该圆内，，故，因为，所以.

解法2：如图2，作矩形，设，由矩形性质知，，

所以，化简得：，从而点Q的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，因为，所以，又，

所以.

【答案】

【反思】矩形性质：设P是矩形所在平面内任意一点，则.

【例7】设，直线与直线交于点，则的取值范围为______.

【解析】如图，过定点，过定点且，故点P在以AB为直径的圆上，设，则，记，则，

易求得圆上动点P到定点T的距离满足，即，

所以，故，即的取值范围为.

【答案】

强化训练

1.（★★★）若圆上存在点P，使得点P到点的距离为1，则实数m的取值范围为______.

【解析】问题等价于已知的圆与圆有交点，所以，解得：.

【答案】

2.（★★★）已知圆，点、，若圆C上有且仅有一个点P，使得，则r的值为______.

【解析】设，则P，，因为，所以，整理得点P的轨迹方程为，故问题等价于圆C和圆相切，

从而或，结合可解得：或2.

【答案】6或2

3.（★★★）在平面直角坐标系中，已知，，若直线上存在点P使，则实数a的取值范围为______.

【解析】设，则由可得，化简得：，故问题等价于直线与圆有交点，

所以，解得：.

【答案】

4.（★★★★）在中，若，，则的最大值为______.

【解析】以中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，

则，，设，

由可得，

整理得：

所以点C的轨迹是以为圆心，

为半径的圆（不含与x轴的交点），如图，由图可知，.

.

【答案】

5.（★★★）设点，圆，若圆C上存在点P，

使得，其中O为原点，则实数a的取值范围为______.

【解析】设，则由可得，

化简得：

由题意，圆与圆C有交点，所以

而，所以，解得：

【答案】

6.（★★★）已知AB是圆的弦，且，若存在线段AB的中点P，使得P关于x轴的对称点Q在直线上，则实数k的取值范围为______.

【解析】点P的轨迹是圆，

因为P、Q关于x轴对称，所以点Q的轨迹方程为，

从而问题等价于此圆与直线有交点，

故，解得：

【答案】

7.（★★★）已知直线与直线相交于点A，点B是圆上的动点，则的最大值为（    ）

A.   B.   C.   D.

【解析】由题意，直线过原点，直线过定点，且，所以点A的轨迹是以为直径的圆，即圆

如图，由图可知，.

【答案】C

8.（★★★★）已知圆，点，M、N为圆O上两个不同的点，且若，则的最小值为______.

【解析】如图，因为，所以，故四边形为矩形，

设的中点为S，连接，则，所以，

又为直角三角形，所以，故①，

设，则由①可得，整理得：，

从而点S的轨迹为以为圆心，为半径的圆，

显然点P在该圆内部，所以，

因为，所以

解法2：如图，因为

所以，故四边形为矩形，由矩形性质，，

所以，从而，

故Q点的轨迹是以O为圆心，为半径的圆，

显然点P在该圆内，所以.

【答案】

9.（★★★★）在平面直角坐标系中，已知两个圆和，定点，动点A、B分别在两个圆上，满足，则的取值范围为______.

【解析】（用矩形性质）：如图，以PA、PB为邻边作矩形，

由矩形性质，有

即，所以

故点Q的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，显然点P在圆内，易知，

所以，.

【答案】