7.7 阿氏圆 讲义-高考数学一轮复习解题技巧方法

第7节  阿氏圆

知识与方法

1.阿氏圆：设A、B是平面上的两个定点，若平面内的动点P满足（且），则点P的轨迹是圆，该圆叫做阿氏圆.

2．考题中常用的阿氏圆性质：

（1）圆心位置：当时，圆心M在的延长线上；当时，圆心M在的延长线上.

（2）半径公式：，其中d为两定点A、B之间的距离.

（3）找定点：如右图所示，设圆M的半径为r，对于圆M外任意一点A，连接交圆M于点N，则在线段上必定存在点B，使得对于圆M上任意一点P，都有，可以根据找到点B，根据求出.

典型例题

【例题】已知两个定点，，若动点C满足，则点C的轨迹方程为______.

变式1  已知圆，点，若x轴上的定点B满足对圆M上的任意一点C，都有恒成立，其中为常数，则点B的坐标为______，常数______.

变式2  在中，，，则的面积的最大值为______.

变式3  在平面直角坐标系中，已知点，，C为圆上的动点，则的最小值为______.

变式4  在平面直角坐标系中，已知点，，C为圆上的动点，则的最大值为______.

变式5  已知抛物线的焦点为F，P为C上的动点，Q为圆上的动点，则的最小值为______.

强化训练

1.（★★★）已知圆，点，在直线上存在不同于点B的定点A，满足对于圆O上任意一点P，都有是常数，则点A的坐标为____， ______.

2.（★★★）在中，，，则的最大值为______.

3.（★★★★）设P为圆上一动点，，，则的最小值为______.

4.（★★★★）设P为圆上一动点，，，则的最大值为______.

5.（★★★★）在中，，，则的取值范围是______.

6.（★★★★）已知是边长为3的正方形，其所在平面内的点P、Q满足，，则的最小值为______.

7.（★★★★）阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两个定点的距离之比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将此圆称为阿氏圆．若平面内两定点A、B间的距离为4，动点P满足，则动点P的轨迹所围成的图形的面积为___，的最大值是______.

8.（★★★★）已知椭圆的右焦点为F，上顶点为A，点P在圆上，点Q在椭圆C上，则的最小值为______.