8.2 椭圆、双曲线的坐标版焦半径公式 讲义-高考数学一轮复习解题技巧方法

第2节  椭圆、双曲线的坐标版焦半径公式

知识与方法

1．椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上任意点，则椭圆的焦半径和可按下面的公式计算：

（1）；（2）（记忆：左加右减）

2．双曲线的左、右焦点分别为、，点为双曲线任意一点，则双曲线的焦半径和可按下面的公式计算：

（1）；（2）（记忆：左加右减）

典型例题

【例1】椭圆的左、右焦点分别为、，P为C上一点，且P在第一象限，，则点P的坐标为_______.

【解析】由题意，，，，设，则，，由可得，解得：，代入椭圆方程得，故.

【答案】

变式1  椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆上的一点P满足为钝角，则点P的横坐标的取值范围为_______.

【解析】由题意，，，，设点P的恒横坐标为，则，，为钝角.

【答案】

变式2  椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆上的一点P满足，若P在第一象限，则点P的坐标为_______.

【解析】由题意，，，，设，则，，，代入椭圆方程得，所以.

【答案】

变式3  椭圆的左、右焦点分别为、，点P在椭圆上，则的取值范围为_______.

【解析】由题意，，，，设，其中，

则，，所以

【答案】

变式4  （2019·新课标Ⅲ卷）设、为椭圆的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则M的坐标为_______.

【解析】解法1：为等腰三角形，点M在第一象限，且，又，所以，故只能，

设，则，解得：，所以.

解法2：为等腰三角形，

点在M第一象限，且，

又，所以，故只能，

设，由椭圆焦半径公式知，

解得：，代入椭圆方程得，故

【答案】

【例2】双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线上的一点P满足，则点P的坐标为_______.

【解析】由题意，，，，，由焦半径公式，，，

因为，所以，解得：或（舍去）

代入双曲线的方程可求得，所以P的坐标为.

【答案】

变式1  双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线上的一点P满足为钝角，则点P的横坐标的取值范围为_______.

【解析】为钝角，而，

所以

由题意，，，，，，由焦半径公式，，，所以，解得：，

又或，且当时，显然么，所以.

【答案】

变式2  双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线上的一点P满足，则的面积为_______.

【解析】解法1：由题意，，，，，设，则，解得：或，

当时，代入双曲线方程可求得，所以，

当时，代入双曲线方程可求得，所以.

解法2：由题意，，，，所以

当点P在双曲线的右支上时，由双曲线定义，，又，所以，

显然，所以，从而，

当点P在双曲线的左支上时，由双曲线定义，，又，所以，

从而，所以，

从而

综上所述，的面积为6或.

【答案】6或

变式3  双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线第一象限上的一点P满足为等腰三角形，则点P的坐标为_______.

【解析】由题意，，，，设，

则，，，

因为为等腰三角形，且显然，所以或，

若，则，解得：，代入双曲线方程解得，从而，若，则，解得：，代入双曲线方程解得，从而，

所以点P的坐标为或.

【答案】或

强化训练

1.（★★）椭圆的左、右焦点分别为、，P为C上一点，且P在第一象限，，则点P的坐标为_______.

【解析】显然，，，设，则，，，代入椭圆方程得，故.

【答案】

2.（★★）椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆第一象限上的一点P满足，则点P的坐标为_______.

【解析】由题意，，，设，则，，，因为，所以，

故，解得：，代入椭圆方程得，

结合P在第一象限可得点P的坐标为.

【答案】

3.（★★）椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆上的一点P满足，则点P的坐标为_______.

【解析】由题意，，，设，则，，因为，所以，解得：，代入椭圆方程得，故点P的坐标为

【答案】

4.（★★）椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆上的一点P满足为钝角，则点P的横坐标的取值范围为_______.

【解析】设，则，，易求得，

因为为钝角，所以，故，

从而，解得：.

【答案】

5.（2021·新高考Ⅰ卷·★★）已知、是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为（    ）

A.13 B.12 C.9 D.6

【解析】解法l：由题意，椭圆的长半轴长为3，所以，

故，当且仅当时等号成立，所以的最大值为9.

解法2：由题意，，，，离心率，设，，

则，，所以，

故当时，取得最大值9.

【答案】C

6.（★★）双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线上的一点P满足，则点P的坐标为_______.

【解析】由题意，，，，设，则，，因为，所以，解得：或，又，所以，代入双曲线方程可求得，即.

【答案】

7.（★★★）设双曲线的左、右焦点分别为、，若双曲线C的左支上的点P到右焦点的距离等于12，则_______.

【解析】由题意，，，，由双曲线定义，，所以，

又，所以，

故，从而.

解法2：由题意，，，，离心率，设，则，解得：或7，又点P在双曲线C的左支上，

所以，代入双曲线方程可求得，

如图，不妨设P在x轴上方，则，作轴于Q，

则，显然，

所以.

【答案】

8.（★★★）双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线上的一点P满足则的面积为_______.

【解析】解法1：由题意，，，，，

设，则，

解得：或0，显然或，所以，

代入双曲线方程可求得，所以

解法2：由题意，，，，所以，

若点P在双曲线的左支上，则由双曲线定义，，

又，所以，不合题意，

若点P在双曲线的右支上，则由双曲线定义，，又，所以，所以，

故，

从而

【答案】