8.15 阿基米德三角形的常见性质及其应用 讲义——高考数学一轮复习解题技巧方法

第15节  阿基米德三角形的常见性质及其应用

知识与方法

1.如图1所示，不妨设抛物线为，抛物线上A、B两点处的切线交于点P，则：

（1）设中点为M，则平行于（或重合）抛物线的对称轴；

（2）的中点S在抛物线上，且抛物线在点S处的切线平行于弦.

2．如图2所示，不妨设抛物线为，抛物线上A、B两点处的切线交于点P，则：

（1）若弦过抛物线内的定点Q，则点P的轨迹是直线；特别地，若弦过定点，则点P的轨迹是直线；

（2）若弦过抛物线内的定点Q，则以Q为中点的弦与（1）中点P的轨迹平行.

3．如图3所示，不妨设抛物线为，抛物线上A、B两点处的切线交于点P，若过焦点F，则点P的轨迹为抛物线准线，，，且的面积的最小值为.

4．如图4所示，不妨设抛物线为，抛物线上A、B两点处的切线交于点P，则：

（1）；（2）

提醒：阿基米德三角形在小题和大题中都可能涉及，小题可以直接用性质速解，大题则必须给出详细的求解过程.

典型例题

【例1】己知点在抛物线的准线上，过点P作抛物线的切线，切点为A、B，则直线的斜率_______.

【解析】点在抛物线的准线上抛物线的准线为抛物线的焦点为，由阿基米德三角形性质，直线过F且，而，所以直线的斜率为2.

【答案】2

变式1  已知点和抛物线，过C的焦点F且斜率为k的直线与C交于A、B两点，若，则_______.

【解析】由题意，M在抛物线C的准线上，直线过点F且，所以是阿基米德三角形，

如图，由阿基米德三角形性质，，而，所以直线的斜率为1.

【答案】1

变式2  已知抛物线，过点作抛物线C的两条切线，切点分别为A和B，则经过P、A、B三点的圆的方程为______.

【解析】由题意，点P在抛物线C的准线上，则，，且直线过焦点，所以经过P、A、B三点的圆就是以为直径的圆，直线的斜率为，

所以直线的斜率为，其方程为，设，，

联立消去y整理得：，

故，，从而中点为，，

所以经过P、A、B三点的圆的方程为.

【答案】

变式3  已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，抛物线在A、B处的切线交于点C，则面积的最小值为______.

【解析】由阿基米德三角形性质，当直线过焦点F时，面积的最小值为.

【答案】1

变式4  已知抛物线的焦点为F，过F的直线与抛物线C交于A、B两点，抛物线C在A、B两点处的切线相交于点P，若，则_______.

【解析】设，则，

所以，故，

由阿基米德三角形性质，

所以.

【答案】

【例2】抛物线的焦点为F，且F与圆上的点的距离的最大值为4.

（1）求p的值；

（2）若点Q在圆I上，、是抛物线C的两条切线，A、B是切点，当时，求直线与y轴交点的坐标.

【解析】解：（1）由题意，，所以.

（2）显然直线斜率存在，可设其方程为，由（1）知抛物线C的方程为，联立消去y整理得：，由韦达定理，，，设，，由可得，所以，故直线的方程为，整理得：，同理，直线的方程为，

联立解得：，，所以点Q的坐标Wie，

因为点Q在圆I上，所以①，

因为，所以，从而，

代入式①可得

解得：，又，所以，故，

从而直线与y轴的交点的坐标为.

【反思】对于开口向上（或向下）的抛物线的阿基米德三角形大题，通常采用设两个切点，写出切线方程并联立求出交点坐标，同时将切点弦所在直线与抛物线联立，结合韦达定理计算的方法来处理.

强化训练

1.（★★★）已知点在抛物线的准线上，过P作抛物线C的切线，切点分别为A和B，则直线的方程为______.

【解析】在准线上抛物线的焦点为，由阿基米德三角形性质，直线过F，且，而，所以直线的斜率为4，

故直线的方程为

【答案】

2.（★★★）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A、B两点，抛物线在A、B两点处的切线相交于点P，则面积的最小值为_______.

【解析】当过焦点时，阿基米德三角形面积的最小值为.

【答案】4

3.（★★★）已知抛物线和点，过C的焦点F且斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点，若，则_______.

【解析】由题意，，点P在抛物线的准线上，且，所以是阿基米德三角形，从而，直线PF的斜率，故直线的斜率为1.

【答案】1

4.（★★★）已知抛物线，过点作抛物线C的两条切线，切点分别为A和B，若经过P、A、B三点的圆被x轴截得的弦长为4，则______.

【解析】由题意，点P在抛物线C的准线上，则，，且过焦点，直线的斜率为，所以直线的斜率为，

其方程为，设，

联立消去y整理得：，所以，

，

从而中点为，，

因为，所以经过P、A、B三点的圆就是以为直径的圆，该圆的半，解得：.

【答案】

5.（★★★★）已知抛物线和点，若过某点C可作抛物线的两条切线，切点分别为A和B，且满足，则的面积为______.

【解析】P、A、B三点共线，设直线的方程为，设，，不妨设,

联立消去y整理得：，判别式，

由韦达定理，，又，所以，

联立可解得：，所以，设中点为D，则，

代入得，

由阿基米德三角形性质知轴且点C在直线上，

所以，

故.

【答案】

6.（★★★★★）已知动圆过点，且与直线相切.

（l）求动圆圆心的轨迹E的方程；

（2）设P为一动点，过P作曲线E的两条切线、，切点分别为A和B，且，直线与圆相交于C、D两点，设点P到直线的距离为d，是否存在点P，使得?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

【解析】（1）由题意，动圆圆心到点F的距离和到定直线l的距离相等,

所以动圆圆心的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为.

（2）显然直线的斜率存在，故可设其方程为，设，，

联立消去y整理得：，由韦达定理，，，

由得，所以，故直线的方程为，整理得：，同理，直线的方程为，联立解得：，，所以点P的坐标为，因为，

所以，故，从而过点F，

所以，

原点到直线的距离为，故，

点P到直线的距离，

所以等价于，

化简得：，无解，故不存在点P，使得|.