8.17 仿射变换 讲义——高考数学一轮复习解题技巧方法

第17节  仿射变换

知识与方法

在椭圆中，我们运用坐标变换，则可以得到圆，这种操作叫做仿射变换，运用仿射变换，可以将某些椭圆问题转化到圆中来解决，从而使得问题简化，上述变换过程有如下对应关系：

总之，经过仿射变换，绝对量（如坐标、面积、斜率、线段的长等）都发生了变化，相对量（如点、线、面的位置关系，直线与椭圆的位置关系，共线线段长度之比等）却没有发生变化.

提醒：①仿射变换常用于解决面积问题（尤其是一个顶点为原点的三角形面积）、斜率问题、共线线段比例问题等；②需要注意的是，仿射变换的方法一般不推荐在解答题中使用，下面通过一些实例来分析在具体问题中如何操作.

典型例题

【例1】设直线与椭圆相交于A、B两点，则的面积的最大值为_______.

【例2】已知椭圆的左右顶点为A、B，P为椭圆C上不与A、B重合的动点，则直线、的斜率之积为_______.

【例3】已知过点的直线l与椭圆交于A、B两点，若M恰好为的中点，则直线l的方程为_______.

【例4】已知椭圆的A、B两点满足直线、的斜率之积为，其中O为原点，点P在射线上，且，若与椭圆交于另一点Q，则_______.

强化训练

1.（★★★★）已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，直线与椭圆C交于M、N两点，则四边形的面积的最大值是_______.

2.（★★★★）已知椭圆的左、右顶点分别为A和B，P为椭圆C上不与A、B重合的动点，过原点O作、的平行线与椭圆C交于M、N两点，则的面积为_______.

3.（★★★★）已知椭圆上有点，过P作两条倾斜角互补的直线交椭圆C于另外两点M、N，则直线的斜率为_______.

4.（★★★★）已知A、B、C是椭圆上的三个动点，则的面积的最大值为_______.

5.（★★★★）设A、B两点在椭圆上，且的中点为，若椭圆C外的点P满足、的中点都在椭圆C上，则直线的斜率为_______.

6.（★★★★）已知直线与椭圆相交于点T，O为原点，平行于的直线与直线l相交于点P，与椭圆C相交于A、B两点，若，则_______.