高中数学高考78第十三章 系列4选讲 13 1 坐标系与参数方程 第1课时 坐标系课件PPT
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题型分类 深度剖析
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:________________的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
ZHISHISHULI
2.极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O,自点O引一条射线Ox,同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.点O称为极点,射线Ox称为极轴.平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(ρ,θ)称为点M的极坐标.ρ称为点M的_____,θ称为点M的____.一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ,θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系.我们设定,极点的极坐标中,极径ρ=0,极角θ可取任意角.
(2)极坐标与直角坐标的互化设M为平面内的一点,它的直角坐标为(x,y),极坐标为(ρ,θ).由图可知下面关系式成立:___________或______________,这就是极坐标与直角坐标的互化公式.
3.常见曲线的极坐标方程
ρ=r(0≤θ<2π)
ρ=2rsin θ(0≤θ<π)
ρsin θ=a(0<θ<π)
1.平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系,在极坐标系中点与坐标也能建立一一对应关系吗?
提示 不能,极径需和极角结合才能唯一确定一个点.
2.由极坐标的意义可判断平面上点的极坐标唯一吗?
提示 平面上的点的极坐标不是唯一的,如果限定ρ取正值,θ∈[0,2π),平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ,θ)(ρ≠0)建立一一对应关系.
(2)在极坐标系中,曲线的极坐标方程不是唯一的.( )(3)极坐标方程θ=π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.( )
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
2.[P15T3]若以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为
解析 ∵y=1-x(0≤x≤1),∴ρsin θ=1-ρcs θ(0≤ρcs θ≤1);
3.[P15T4]在极坐标系中,圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标是
解析 方法一 由ρ=-2sin θ,得ρ2=-2ρsin θ,化成直角坐标方程为x2+y2=-2y,化成标准方程为x2+(y+1)2=1,
解析 先将极坐标化成直角坐标表示,
再化为极坐标为ρsin θ=1.
5.在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ,则曲线C的直角坐标方程为 .
解析 由ρ=2sin θ,得ρ2=2ρsin θ,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0.
6.在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sin θ和直线ρsin θ=a相交于A,B两点.当△AOB是等边三角形时,求a的值.
解 由ρ=4sin θ可得圆的直角坐标方程为x2+y2=4y,即x2+(y-2)2=4.由ρsin θ=a可得直线的直角坐标方程为y=a(a>0).设圆的圆心为O′,y=a与x2+(y-2)2=4的两交点A,B与O构成等边三角形,如图所示.由对称性知∠O′OB=30°,OD=a.
题型一 极坐标与直角坐标的互化
1.(1)化圆的直角坐标方程x2+y2=r2(r>0)为极坐标方程;
解 将x=ρcs θ,y=ρsin θ代入x2+y2=r2(r>0),得ρ2cs2θ+ρ2sin2θ=r2,即ρ=r.所以以极点为圆心,r为半径的圆的极坐标方程为ρ=r(0≤θ<2π).
(2)化曲线的极坐标方程ρ=8sin θ为直角坐标方程.
即x2+(y-4)2=16.方法二 方程ρ=8sin θ两边同时乘ρ,得ρ2=8ρsin θ,因为ρ2=x2+y2,ρsin θ=y,所以x2+y2-8y=0,即x2+(y-4)2=16.
2.在极坐标系中,已知曲线C1:ρcs θ- ρsin θ-1=0,C2:ρ=2cs θ.(1)求曲线C1,C2的直角坐标方程,并判断两曲线的形状;
由C2:ρ=2cs θ,得ρ2=2ρcs θ,∴x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1.∴C2是圆心为(1,0),半径为1的圆.
(2)若曲线C1,C2交于A,B两点,求两交点间的距离.
∴直线C1过圆C2的圆心.因此两交点A,B的连线是圆C2的直径.∴两交点A,B间的距离|AB|=2r=2.
(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件:①极点与原点重合;②极轴与x轴的正半轴重合;③取相同的单位长度.(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易,只要运用公式x=ρcs θ及y=ρsin θ直接代入并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些,解决此类问题常通过变形,构造形如ρcs θ,ρsin θ,ρ2的形式,进行整体代换.
题型二 求曲线的极坐标方程
例1 将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得到曲线C.(1)求曲线C的标准方程;
解 设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为曲线C上的点(x,y),
(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与直线l垂直的直线的极坐标方程.
化为极坐标方程,并整理得2ρcs θ-4ρsin θ=-3,
求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系,设P(ρ,θ)是曲线上任意一点.(2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式.(3)将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方程.
跟踪训练1 已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点,极轴为x轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,圆C的直角坐标方程为x2+y2+2x-2y=0,直线l的参数方程为 (t为参数),射线OM的极坐标方程为θ= .(1)求圆C和直线l的极坐标方程;
解 ∵ρ2=x2+y2,x=ρcs θ,y=ρsin θ,圆C的直角坐标方程为x2+y2+2x-2y=0,∴ρ2+2ρcs θ-2ρsin θ=0,
消去t后得y=x+1,
(2)已知射线OM与圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.
题型三 极坐标方程的应用
例2 (2018·福建福州四校联考)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (α为参数),直线C2的直角坐标方程为y= x.以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程;
得曲线C1的普通方程为(x-2)2+(y-2)2=1,则C1的极坐标方程为ρ2-4ρcs θ-4ρsin θ+7=0,
设A,B对应的极径分别为ρ1,ρ2,
极坐标应用中的注意事项(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件:①极点与原点重合;②极轴与x轴正半轴重合;③取相同的长度单位.(2)若把直角坐标化为极坐标求极角θ时,应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置),以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化,可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.(3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的,如果限定ρ取正值,θ∈[0,2π),平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ,θ)(ρ≠0)建立一一对应关系.
跟踪训练2 (2017·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcs θ=4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;
解 设点P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),点M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).
由|OM|·|OP|=16,得C2的极坐标方程ρ=4cs θ(ρ>0).因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).
(2)设点A的极坐标为 ,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.
解 设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).由题设知|OA|=2,ρB=4cs α,
1.在以直角坐标系中的原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,已知曲线的极坐标方程为ρ= .(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;
∴曲线的直角坐标方程为x2=4y+4.
(2)过极点O作直线l交曲线于点P,Q,若|OP|=3|OQ|,求直线l的极坐标方程.
解 设直线l的极坐标方程为θ=θ0(ρ∈R),
2.已知曲线C1的参数方程为 (t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=4cs θ.(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程;
两式相乘得x2-y2=4.
即ρ2cs 2θ=4,因为ρ=4cs θ,所以ρ2=4ρcs θ,则曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-4x=0.
(2)若射线θ= 分别与曲线C1,C2交于A,B两点(异于极点),求|AB|的值.
3.极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位,以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴.已知曲线C1的极坐标方程为 ,曲线C2的极坐标方程为ρsin θ=a(a>0),射线θ=φ,θ=φ+ ,θ=φ- ,θ=φ+ 与曲线C1分别交异于极点O的四点A,B,C,D.(1)若曲线C1关于曲线C2对称,求a的值,并把曲线C1和C2化成直角坐标方程;
化为直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=2.把C2的方程化为直角坐标方程为y=a,因为曲线C1关于曲线C2对称,故直线y=a经过圆心(1,1),解得a=1,故C2的直角坐标方程为y=1.
(2)求|OA|·|OC|+|OB|·|OD|的值.
所以|OA|·|OC|+|OB|·|OD|
4.(2018·宁夏石嘴山第三中学模拟)在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为 (α为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为ρ(sin θ+ cs θ)= .(1)求C的极坐标方程;
解 圆C的普通方程是(x-2)2+y2=4,又x=ρcs θ,y=ρsin θ,所以圆C的极坐标方程为ρ=4cs θ.
(2)射线OM:θ=θ1 与圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求|OP|·|OQ|的取值范围.
解 设P(ρ1,θ1),则有ρ1=4cs θ1,设Q(ρ2,θ1),且直线l的极坐标方程是
所以2≤|OP||OQ|≤3.即|OP||OQ|的取值范围是[2,3].
5.(2018·广东广州仲元中学模拟)如图,在直角坐标系xOy中,曲线C1: (α为参数).以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=8cs θ,直线l的极坐标方程为θ= (ρ∈R).(1)求曲线C1的极坐标方程与直线l的直角坐标方程;
解 依题意得,曲线C1的普通方程为(x-2)2+y2=7,曲线C1的极坐标方程为ρ2-4ρcs θ-3=0,
(2)若直线l与C1,C2在第一象限分别交于A,B两点,P为C2上的动点,求△PAB面积的最大值.
解 曲线C2的直角坐标方程为(x-4)2+y2=16,
6.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (a>b>0,φ为参数),在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2是圆心在极轴上,且经过极点的圆.已知曲线C1上的点M 对应的参数φ= ,射线θ=与曲线C2交于点D .(1)求曲线C1,C2的直角坐标方程;
设圆C2的半径为R,由题意,圆C2的极坐标方程为ρ=2Rcs θ(或(x-R)2+y2=R2),
即R=1,所以曲线C2的极坐标方程为ρ=2cs θ,所以曲线C2的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1.
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