高中数学高考50第八章 立体几何与空间向量 8 6 空间向量及其运算课件PPT

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NEIRONGSUOYIN
基础知识 自主学习
题型分类 深度剖析
1.空间向量的有关概念
ZHISHISHULI
2.空间向量中的有关定理
(1)共线向量定理空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p＝ ，其中x，y∈R，a，b为不共线向量.(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝ ，{a，b，c}叫做空间的一个基底.
3.空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念①两向量的夹角
则称a与b ，记作a⊥b.②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则 叫做向量a，b的数量积，记作 ，即 .
|a||b|cs〈a，b〉
a·b＝|a||b|cs〈a，b〉
(2)空间向量数量积的运算律①(λa)·b＝ ；②交换律：a·b＝ ；③分配律：a·(b＋c)＝ .
4.空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
a1b1＋a2b2＋a3b3
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
1.共线向量与共面向量相同吗？
提示　不相同.平行于同一平面的向量就为共面向量.
2.零向量能作为基向量吗？
提示　不能.由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量.
3.空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗？
提示　无关.这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简，不会影响结果.
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两个非零向量a，b共面.(　　)(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c).(　　)(3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.(　　)(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.(　　)
(6)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角.(　　)
3.[P98T3]正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为____.
＝12＋22＋12＋2(1×2×cs 120°＋0＋2×1×cs 120°)＝2，
4.在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是A.垂直 B.平行C.异面 D.相交但不垂直
5.已知a＝(2，3，1)，b＝(－4，2，x)，且a⊥b，则|b|＝_____.
解析　∵P，A，B，C四点共面，
题型一　空间向量的线性运算
解　因为P是C1D1的中点，
解　因为M是AA1的中点，
用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形.(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.
题型二　共线定理、共面定理的应用
例2　如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点.
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
由共面向量定理的推论知E，F，G，H四点共面.
(2)求证：BD∥平面EFGH.
所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.
证明三点共线和空间四点共面的方法比较
(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？
解　当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1内，当0∴MN∥平面ABB1A1.综上，当k＝0时，MN在平面ABB1A1内；当0题型三　空间向量数量积的应用
例3　如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点.
(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；
(2)求异面直线AN与CM所成角的余弦值.
跟踪训练3　如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.
A.(0，3，－6) B.(0，6，－20)C.(0，6，－6) D.(6，6，－6)
得x＝4a＋2b＝(8，12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0，6，－20).
2.在下列命题中：①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.其中正确命题的个数是A.0 B.1 C.2 D.3
解析　a与b共线，a，b所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a，b都共面，故②不正确；三个向量a，b，c中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.
3.已知向量a＝(2m＋1，3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，则实数m的值等于
解析　当m＝0时，a＝(1，3，－1)，b＝(2，0，0)，a与b不平行，∴m≠0，∵a∥b，
4.在空间直角坐标系中，已知A(1，－2，1)，B(2，2，2)，点P在z轴上，且满足|PA|＝|PB|，则P点坐标为A.(3，0，0) B.(0，3，0)C.(0，0，3) D.(0，0，－3)
解析　设P(0，0，z)，
5.已知a＝(1，0，1)，b＝(x，1，2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为
解析　∵a·b＝x＋2＝3，∴x＝1，∴b＝(1，1，2)，
6.如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是
7.已知a＝(2，1，－3)，b＝(－1，2，3)，c＝(7，6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝____.
解析　由题意知c＝xa＋yb，即(7，6，λ)＝x(2，1，－3)＋y(－1，2，3)，
8.已知a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，则c＝___________.
解得x＝2，y＝－4，此时a＝(2，4，1)，b＝(－2，－4，－1)，又因为b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2，2).
又VA⊄平面PMN，∴VA∥平面PMN.
(2)判断点M是否在平面ABC内.
∴M，A，B，C四点共面.∴点M在平面ABC内.
12.已知a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2).(1)求|2a＋b|；
解　2a＋b＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)，
＝(－3，－1，4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t，4－2t)，
A.钝角三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.不确定
∴AM⊥AD，△AMD为直角三角形.
当λ＝1时取最小值，此时Q点坐标为(1，1，2).
16.如图，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为棱AB，BB′的中点.(1)求证：CE⊥A′D；
根据题意得|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝c·a＝0，
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.