高中数学高考59第九章 平面解析几何 高考专题突破5 第3课时 证明与探索性问题无答案

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例1 (2017·全国Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：eq \f(x2,2)＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足eq \(NP,\s\up6(→))＝eq \r(2)eq \(NM,\s\up6(→)).
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线x＝－3上，且eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(PQ,\s\up6(→))＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
跟踪训练1 已知椭圆T：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个顶点A(0,1)，离心率e＝eq \f(\r(6),3)，圆C：x2＋y2＝4，从圆C上任意一点P向椭圆T引两条切线PM，PN.
(1)求椭圆T的方程；
(2)求证：PM⊥PN.
题型二 探索性问题
例2 在平面直角坐标系xOy中，曲线C：y＝eq \f(x2,4)与直线l：y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点，
(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由.
跟踪训练2 (2018·鞍山模拟)已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)过点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(\r(2),2)))，且离心率e＝eq \f(\r(2),2)，直线l与E相交于M，N两点，l与x轴、y轴分别相交于C，D两点，O为坐标原点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)判断是否存在直线l，满足2eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))，2eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(ON,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
1.(2018·吉林东北师范大学模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(1,2)))在C上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点A(－2,0)作直线AQ交椭圆C于另外一点Q，交y轴于点R，P为椭圆C上一点，且AQ∥OP，求证：eq \f(|AQ|·|AR|,|OP|2)为定值.
2.(2018·宿州检测)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，离心率e＝eq \f(\r(3),2)，以椭圆C的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4eq \r(5).
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若经过点P(1,0)的直线l交椭圆C于A，B两点，是否存在直线l0：x＝x0(x0>2)，使得A，B到直线l0的距离dA，dB满足eq \f(dA,dB)＝eq \f(|PA|,|PB|)恒成立，若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由.
3.(2018·三明质检)已知顶点是坐标原点的抛物线Γ的焦点F在y轴正半轴上，圆心在直线y＝eq \f(1,2)x上的圆E与x轴相切，且E，F关于点M(－1,0)对称.
(1)求E和Γ的标准方程；
(2)过点M的直线l与E交于A，B，与Γ交于C，D，求证：|CD|>eq \r(2)|AB|.
4.(2018·呼和浩特模拟)椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作垂直于x轴的直线与椭圆E在第一象限交于点P，若|PF1|＝eq \f(3,2)eq \r(2)，且a＝eq \r(2)b2.
(1)求椭圆E的方程；
(2)已知点P关于y轴的对称点Q在抛物线C：y2＝mx上，是否存在直线l与椭圆交于A，B，使得A，B的中点M落在直线y＝2x上，并且与抛物线C相切，若直线l存在，求出l的方程，若不存在，请说明理由.
5.已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(6),3)，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点，O为坐标原点.
(1)求直线ON的斜率kON；
(2)求证：对于椭圆C上的任意一点M，都存在θ∈[0,2π)，使得eq \(OM,\s\up6(→))＝cs θeq \(OA,\s\up6(→))＋sin θeq \(OB,\s\up6(→))成立.
6.如图，椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率是eq \f(\r(3),2)，点P(0，1)在短轴CD上，且eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))＝－1.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点.是否存在常数λ，使得eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＋λeq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.