2022-2023学年安徽省宿州市萧县城东初级中学九年级（下）开学数学试卷(解析版)

这是一份2022-2023学年安徽省宿州市萧县城东初级中学九年级（下）开学数学试卷(解析版)，共30页。试卷主要包含了选择题.，填空题.等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年安徽省宿州市萧县城东初级中学九年级（下）开学数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）.
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（　　）
A．20 B．24 C．28 D．30
3．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（　　）

A． B． C． D．
4．如图，反比例函数的图象经过A（﹣1，﹣2），则以下说法错误的是（　　）

A．k＝2 B．x＞0，y随x的增大而减小
C．图象也经过点B（2，1） D．当x＜﹣1时，y＜﹣2
5．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tan∠ACB的值为（　　）

A． B．3 C． D．
6．将函数y＝2x2+4x+1的图象向下平移两个单位，以下结论正确的是（　　）
A．开口方向改变 B．对称轴位置改变
C．y随x的变化情况不变 D．与y轴的交点不变
7．如图，在离铁塔100米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.4米，则铁塔的高BC为（　　）

A．（1.4+100tanα）米 B．米
C．米 D．（1.4+100sinα）米
8．已知三角形的三条边为a，b，c，且满足a2﹣10a+b2﹣16b+89＝0，则这个三角形的最大边c的取值范围是（　　）
A．c＞8 B．5＜c＜8 C．8＜c＜13 D．5＜c＜13
9．小明、小亮、小梅、小花四人共同探究函数y＝x2﹣4x+5的值的情况，他们作了如下分工：小明负责找函数值为1时的x值，小亮负责找函数值为0时的x值，小梅负责找最小值，小花负责找最大值．几分钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是（　　）
A．小明认为只有当x＝2时，函数值为1
B．小亮认为找不到实数x，使函数值为0
C．小花发现当x取大于2的实数时，函数值y随x的增大而增大，因此认为没有最大值
D．小梅发现函数值y随x的变化而变化，因此认为没有最小值
10．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝7cm．点P从点B开始沿边BA向点A以2cm/s的速度移动，同时点Q从点C开始沿边CB向点B以1cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点随即停止．当四边形APQC的面积为11cm2时，点P的运动时间为（　　）

A．1s B．1s或2.5s C．2s D．2s或5s
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）.
11．抛物线y＝（x+2）2+1的顶点坐标为　 　．
12．用几个小正方体堆一个几何体，从正面和从上面看到的形状图如图所示，则需要的小正方体个数最少为
　 　个．

13．如图，点A在x轴的负半轴上，点C在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AC交y轴于点B，若点B是AC的中点，△AOB的面积为，则k的值为 　 　．

14．已知四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，E为BC边上一动点且不与B、C重合，连接AE，如图，过点E作EN⊥AE交CD于点N．
①若BE＝1，那么CN的长 　 　；
②将△ECN沿EN翻折，点C恰好落在边AD上，那么BE的长 　 　．

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：cos60°﹣2sin245°+tan230°﹣sin30°．
16．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC及平面直角坐标系xOy．
（1）将△ABC绕O点逆时针旋转90°得到△A1B1C1，请作出△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，在第四象限将△ABC放大2倍得到△A2B2C2，请作出△A2B2C2．

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）请根据图象，直接写出时x的取值范围．

18．如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，再向东继续航行30m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD（结果取整数）．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，在△ABC中，BC＝3，D为AC延长线上一点，AC＝3CD，∠CBD＝∠A，过D作DH∥AB，交BC的延长线于点H．
（1）求证：△HCD∽△HDB；
（2）求BH的长．

20．某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A篮球、B乒乓球、C跳绳、D踢毽子，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 　 　人；将条形统计图补充完成；
（2）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）．


六、（本题满分12分）
21．如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE．
（1）求证：四边形BCDE为菱形；
（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．

七、（本题满分12分）
22．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），一次函数y＝kx+1的图象经过点B和二次函数图象上另一点A．其中点A的坐标为（4，3）．
（1）求二次函数和一次函数的解析式；
（2）若抛物线上的点P在第四象限内，过点P作x轴的垂线PQ，交直线AB于点Q，求线段PQ的最大值．

八、（本题满分14分）
23．如图，在正方形ABCD中，点E是边CD上的一点（不与点C，D重合），点F在边CB的延长线上，且AE＝AF，连接EF交AB于点M，交AC于点N．
（1）求证：AE⊥AF；
（2）若∠BAC＝2∠BAF，求证：AF2＝AMAB；
（3）若CE＝nDE，求的值（用含n的式子表示）．



参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．
2．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（　　）
A．20 B．24 C．28 D．30
【分析】根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为30%，然后根据概率公式计算n的值．
解：根据题意得＝30%，解得n＝30，
所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．
故选：D．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
3．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理逐个判断即可．
解：A．∵AB∥CD∥EF，
∴＝≠，故本选项不符合题意；
B．∵AB∥CD∥EF，
∴＝，故本选项符合题意；
C．∵AB∥CD∥EF，
∴＝，故本选项不符合题意；
D．∵AB∥CD∥EF，
∴＝，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
4．如图，反比例函数的图象经过A（﹣1，﹣2），则以下说法错误的是（　　）

A．k＝2 B．x＞0，y随x的增大而减小
C．图象也经过点B（2，1） D．当x＜﹣1时，y＜﹣2
【分析】把A（﹣1，﹣2）代入反比例函数的解析式能求出k，把A的坐标代入一次函数的解析式得出关于k的方程，求出方程的解即可．
解：把A（﹣1，﹣2）代入反比例函数的解析式得：k＝xy＝2，故A正确；
∵k＝2＞0，
∴y随x的增大而减小，
∴x＞0，y随x的增大而减小，故B正确；
∵反比例函数的解析式为y＝，
把x＝2代入求得y＝1，
∴图象也经过点B（2，1），故C正确；
由图象可知x＜﹣1时，则y＞﹣2，故D错误；
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，主要考查反比例函数的性质，题目较好，难度适中．
5．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tan∠ACB的值为（　　）

A． B．3 C． D．
【分析】连接格点AD，构造直角三角形，根据正切函数定义即可求出tan∠ACB的值．
解：连接格点AD，则AD⊥BC．
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，
∵AD＝3，CD＝1，
∴tan∠ACB＝＝＝3．
故选：B．

【点评】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
6．将函数y＝2x2+4x+1的图象向下平移两个单位，以下结论正确的是（　　）
A．开口方向改变 B．对称轴位置改变
C．y随x的变化情况不变 D．与y轴的交点不变
【分析】由于抛物线平移后的形状不变，对称轴不变，a不变，抛物线的增减性不变．
解：A、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，a不变，开口方向不变，故不符合题意．
B、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，顶点的横坐标不变，对称轴不变，故不符合题意．
C、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，抛物线的开口方向不变，对称轴不变，则y随x的变化情况不变，故符合题意．
D、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，与y轴的交点也向下平移两个单位，故不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，注意：抛物线平移后的形状不变，开口方向不变，顶点坐标改变．
7．如图，在离铁塔100米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.4米，则铁塔的高BC为（　　）

A．（1.4+100tanα）米 B．米
C．米 D．（1.4+100sinα）米
【分析】过点A作AE⊥BC，E为垂足，由锐角三角函数的定义求出BE的长，再由BC＝CE+BE即可得出结论．
解：过点A作AE⊥BC，E为垂足，如图所示：

则四边形ADCE为矩形，AE＝CD＝100米，
∴CE＝AD＝1.4米，
在△ABE中，
∵，
∴BE＝100tanα，
∴BC＝CE+BE＝（1.4+100tanα）米，
故选：A．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确作出辅助线，解题的关键是构造出直角三角形．
8．已知三角形的三条边为a，b，c，且满足a2﹣10a+b2﹣16b+89＝0，则这个三角形的最大边c的取值范围是（　　）
A．c＞8 B．5＜c＜8 C．8＜c＜13 D．5＜c＜13
【分析】由关系式a2﹣10a+b2﹣16b+89＝0，变形配方可求出a，b的值，利用三角形的三边关系及题目条件，可求出c的取值范围．
解：∵a2﹣10a+b2﹣16b+89＝0
a2﹣10a+25+b2﹣16b+64＝0
（a﹣5）2+（b﹣8）2＝0，
∵（a﹣5）2≥0，（b﹣8）2≥0，
∴a＝5，b＝8．
∴b﹣a＜c＜a+b，即3＜c＜15，
∵c是三角形的最大边，
∴c＞8，
∴8＜c＜13．
故选：C．
【点评】本题考查了配方法的应用，以及三角形三边关系的性质，综合性较强．
9．小明、小亮、小梅、小花四人共同探究函数y＝x2﹣4x+5的值的情况，他们作了如下分工：小明负责找函数值为1时的x值，小亮负责找函数值为0时的x值，小梅负责找最小值，小花负责找最大值．几分钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是（　　）
A．小明认为只有当x＝2时，函数值为1
B．小亮认为找不到实数x，使函数值为0
C．小花发现当x取大于2的实数时，函数值y随x的增大而增大，因此认为没有最大值
D．小梅发现函数值y随x的变化而变化，因此认为没有最小值
【分析】将二次函数解析式写成顶点式，根据二次函数的性质逐个选项分析即可．
解：∵y＝x2﹣4x+5
＝（x﹣2）2+1，
∴顶点坐标为：（2，1），
∴只有当x＝2时，函数值为1，故A正确；
∵抛物线开口向上，顶点纵坐标值1为最小值，故找不到实数x，使函数值为0，从而B正确；
∵对称轴为直线x＝2，抛物线开口向上，
∴当x取大于2的实数时，函数值y随x的增大而增大，因此没有最大值，故C正确；
∵顶点纵坐标值1为最小值，故D错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝7cm．点P从点B开始沿边BA向点A以2cm/s的速度移动，同时点Q从点C开始沿边CB向点B以1cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点随即停止．当四边形APQC的面积为11cm2时，点P的运动时间为（　　）

A．1s B．1s或2.5s C．2s D．2s或5s
【分析】设当四边形APQC的面积为11cm2时，点P的运动时间为xs，由题意：四边形APQC的面积为11 cm2，列出一元二次方程，解方程，即可解决问题．
解：由题意得：PB＝2xcm，CQ＝xcm，
则BQ＝BC﹣CQ＝（7﹣x）cm，
设当四边形APQC的面积为11cm2时，点P的运动时间为xs，
由题意得：×6×7﹣•2x（7﹣x）＝11，
整理得：x2﹣7x+10＝0，
解得：x1＝2，x2＝5（不符合题意舍去），
∴x＝2，
即当四边形APQC的面积为11cm2时，点P的运动时间为2s，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及三角形面积公式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．抛物线y＝（x+2）2+1的顶点坐标为　（﹣2，1）　．
【分析】已知抛物线的顶点式可直接写出顶点坐标．
解：由抛物线的顶点坐标可知，抛物线y＝（x+2）2+1的顶点坐标是（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，1）．
【点评】本题考查的是抛物线的顶点坐标，即抛物线y＝（x+a）2+h中，其顶点坐标为（﹣a，h）．
12．用几个小正方体堆一个几何体，从正面和从上面看到的形状图如图所示，则需要的小正方体个数最少为
　8　个．

【分析】从正面看到的图形可判断出该几何体共有2层，从上面看到的图形可判断出该几何体下面一层小正方体的数量为6，即可判断小正方体的个数．
解：综合主视图和俯视图，这个几何体的底层有6个小正方体，
第二层最少有2个，
因此搭成这样的一个几何体至少需要小正方体木块的个数为：6+2＝8个．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了几何体的三视图，考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
13．如图，点A在x轴的负半轴上，点C在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AC交y轴于点B，若点B是AC的中点，△AOB的面积为，则k的值为 　6　．

【分析】根据全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式可得S△CDB＝S△AOB＝S△BCO＝，进而得出S△COD＝3，由系数k的几何意义可得答案．
解：如图，过点C作CD⊥y轴于D，
∴∠CDB＝∠AOB＝90°，
∵点B是AC的中点，
∴AB＝CB，
在△ABO和△BCD中，
，
∴△CDB≌△AOB（AAS），
∴BD＝OB，
∴S△CDB＝S△AOB＝S△BCO＝，
∴S△COD＝3，
∴|k|＝S△COD＝3，
∴|k|＝6，
∵k＞0，
∴k＝6．
故答案为：6．

【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义以及全等三角形的判定和性质，理解反比例函数系数k的几何意义，掌握全等三角形的判定和性质是正确解答的前提．
14．已知四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，E为BC边上一动点且不与B、C重合，连接AE，如图，过点E作EN⊥AE交CD于点N．
①若BE＝1，那么CN的长 　　；
②将△ECN沿EN翻折，点C恰好落在边AD上，那么BE的长 　2或　．

【分析】①求出CE＝BC﹣BE＝3，证明△ABE∽△ECN，得出＝，即可得出结果；
②过点E作EF⊥AD于F，则四边形ABEF是矩形，得出AB＝EF＝2，AF＝BE，由折叠的性质得出CE＝C′E，CN＝C′N，∠EC′N＝∠C＝90°，证明△EC′F∽△NC′D，得出＝＝，则＝＝，由＝，得出＝，则＝＝，得出C′D＝BE，设BE＝x，则C′D＝AF＝x，C′F＝4﹣2x，CE＝4﹣x，则＝，＝，求出DN＝x（2﹣x），CN＝，由CN+DN＝CD＝2，即可得出结果；
解：①∵BE＝1，
∴CE＝BC﹣BE＝4﹣1＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠BEA＝90°，
∵EN⊥AE，
∴∠AEN＝90°，
∴∠BEA+∠NEC＝90°，
∴∠BAE＝∠NEC，
∴△ABE∽△ECN，
∴＝，
∴＝，
解得：CN＝；
故答案为：；
②过点E作EF⊥AD于F，如图所示：

则四边形ABEF是矩形，
∴AB＝EF＝2，AF＝BE，
由折叠的性质得：CE＝C′E，CN＝C′N，∠EC′N＝∠C＝90°，
∴∠NC′D+∠EC′F＝90°，
∵∠C′ND+∠NC′D＝90°，
∴∠EC′F＝∠C′ND，
∵∠D＝∠EFC′，
∴△EC′F∽△NC′D，
∴＝＝，
∴＝＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝＝，
∴C′D＝BE，
设BE＝x，则C′D＝AF＝x，C′F＝4﹣2x，CE＝4﹣x，
∴＝，＝，
∴DN＝x（2﹣x），CN＝，
∴CN+DN＝x（2﹣x）+＝CD＝2，
解得：x＝2或x＝，
∴BE＝2或BE＝．
故答案为：2或．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、折叠的性质、三角形面积的计算等知识，综合性强、涉及面广，难度大，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：cos60°﹣2sin245°+tan230°﹣sin30°．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．
解：原式＝﹣2×（）2+×（）2﹣
＝﹣2×+×﹣
＝﹣1+﹣
＝﹣．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
16．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC及平面直角坐标系xOy．
（1）将△ABC绕O点逆时针旋转90°得到△A1B1C1，请作出△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，在第四象限将△ABC放大2倍得到△A2B2C2，请作出△A2B2C2．

【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A1、B1、C1即可；
（2）把A、B、C点的横纵坐标都乘以2得到对应点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；
解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
．
【点评】本题考查了作图﹣位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）请根据图象，直接写出时x的取值范围．

【分析】（1）利用点A的坐标可求出反比例函数解析式，再把B（1，n）代入反比例函数解析式，即可求得n的值，于是得到一次函数的解析式；
（2）根据图象和A，B两点的坐标即可写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
解：（1）∵点A（﹣2，1）反比例函数的图象上，
∴m＝xy＝﹣2×1＝﹣2，
∴．
在中，当x＝1时，y＝﹣2，
∴点B（1，﹣2），
∵一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1），B（1，﹣2）两点，
∴，
解得：，
∴一次函数的表达式为：y＝﹣x﹣1．
（2）由图象可得，时x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜1．
【点评】本题主要是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
18．如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，再向东继续航行30m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD（结果取整数）．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）

【分析】在Rt△CAD中，利用锐角三角函数可得AD，Rt△CBD中，可得BD＝CD，进而可得CD的长．
解：在Rt△CAD中，，
则，
在Rt△CBD中，∠CBD＝45°，
∴BD＝CD，
∵AD＝AB+BD，
∴，
解得，CD＝45（m）．
答：这座灯塔的高度CD约为45m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，在△ABC中，BC＝3，D为AC延长线上一点，AC＝3CD，∠CBD＝∠A，过D作DH∥AB，交BC的延长线于点H．
（1）求证：△HCD∽△HDB；
（2）求BH的长．

【分析】（1）由DH∥AB，得∠HDC＝∠A，而∠CBD＝∠A，所以∠HDC＝∠CBD，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△HCD∽△HDB；
（2）由DH∥AB证明△DHC∽△ABC，得＝＝，HC＝BC＝1，则BH＝3+1＝4．
【解答】（1）证明：∵DH∥AB，
∴∠HDC＝∠A，
∵∠CBD＝∠A，
∴∠HDC＝∠CBD，
∵∠H＝∠H，
∴△HCD∽△HDB．
（2）解：∵AC＝3CD，
∴＝，
∵DH∥AB，
∴△DHC∽△ABC，
∴＝＝，
∵BC＝3，
∴HC＝BC＝×3＝1，
∴BH＝BC+HC＝3+1＝4，
∴BH的长为4．
【点评】此题重点考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明∠HDC＝∠CBD及△DHC∽△ABC是解题的关键．
20．某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A篮球、B乒乓球、C跳绳、D踢毽子，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 　200　人；将条形统计图补充完成；
（2）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）．


【分析】（1）由题意可知这次被调查的学生共有20÷＝200（人），首先求得C项目对应人数，继而可补全条形统计图；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解：（1）根据题意得：这次被调查的学生共有20÷＝200（人）．
C项目对应人数为：200﹣20﹣80﹣40＝60（人），
补充如图．

故答案为：200；
（2）列表如下：

甲
乙
丙
丁
甲
一
（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）
一
（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
一
（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）
一
∵共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种，
∴P（选中甲、乙）＝＝．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
六、（本题满分12分）
21．如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE．
（1）求证：四边形BCDE为菱形；
（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．

【分析】（1）由DE＝BC，DE∥BC，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明BE＝DE即可解决问题；
（2）在Rt△ACD中只要证明∠ADC＝60°，AD＝2即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵AD＝2BC，E为AD的中点，
∴DE＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵∠ABD＝90°，AE＝DE，
∴BE＝DE，
∴四边形BCDE是菱形．

（2）解：连接AC．
∵AD∥BC，AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA，
∴AB＝BC＝1，
∵AD＝2BC＝2，
∴sin∠ADB＝，
∴∠ADB＝30°，
∴∠DAC＝30°，∠ADC＝60°，
在Rt△ACD中，∵AD＝2，
∴CD＝1，AC＝．

【点评】本题考查菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．
七、（本题满分12分）
22．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），一次函数y＝kx+1的图象经过点B和二次函数图象上另一点A．其中点A的坐标为（4，3）．
（1）求二次函数和一次函数的解析式；
（2）若抛物线上的点P在第四象限内，过点P作x轴的垂线PQ，交直线AB于点Q，求线段PQ的最大值．

【分析】（1）先把A点坐标代入y＝kx+1可求出k，从而得到一次函数解析式为y＝x+1，则易得B（﹣2，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征，设P（x，x2﹣x﹣3），Q（x，x+1），则PQ＝x+1﹣（x2﹣x﹣3），把解析式配成顶点式得到PQ＝﹣（x﹣1）2+，然后根据二次函数的性质求PQ的最大值．
解：（1）把A（4，3）代入y＝kx+1得：
4k+1＝3，
解得：k＝，
∴一次函数解析式为y＝x+1，
当y＝0时，x+1＝0，
解得x＝﹣2，
则B（﹣2，0），
把B（﹣2，0），A（4，3）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得：
∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣3；
（2）设P（x，x2﹣x﹣3），则Q（x，x+1），
∴PQ＝x+1﹣（x2﹣x﹣3）
＝﹣x2+x+4
＝﹣（x﹣1）2+，
∴当x＝1时，PQ最大，最大值为．
【点评】本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征；会运用待定系数法求二次函数解析式．
八、（本题满分14分）
23．如图，在正方形ABCD中，点E是边CD上的一点（不与点C，D重合），点F在边CB的延长线上，且AE＝AF，连接EF交AB于点M，交AC于点N．
（1）求证：AE⊥AF；
（2）若∠BAC＝2∠BAF，求证：AF2＝AMAB；
（3）若CE＝nDE，求的值（用含n的式子表示）．

【分析】（1）根据正方形的性质得到AB＝AD，∠D＝∠ABC＝90°，根据全等三角形的性质得到∠FAB＝∠EAD，根据一季度性质即可得到结论；
（2）根据已知条件得到∠BAF＝22.5°，由（1）知，∠DAE＝∠BAF＝22.5°，求得∠BAF＝∠CAE，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）设DE＝1，CE＝n，根据全等三角形的性质得到BF＝DE＝1，根据勾股定理得到FE＝，证明△BFM∽△CFE，由相似三角形的性质得出，求出FM，证明△AEN∽△ACE，由相似三角形的性质得出，求出AE的长，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠D＝∠ABC＝90°，
∴∠D＝∠ABF＝90°，
在Rt△ABF与Rt△ADE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△ADE（HL），
∴∠FAB＝∠EAD，
∵∠EAD+∠BAE＝90°，
∴∠FAB+∠BAE＝90°，
∴∠FAE＝90°，
∴AE⊥AF；
（2）证明：∵∠BAC＝45°，∠BAC＝2∠BAF，
∴∠BAF＝22.5°，
由（1）知，∠DAE＝∠BAF＝22.5°，
∵∠DAC＝45°，
∴∠CAE＝22.5°，
∴∠BAF＝∠CAE，
∵AE＝AF，AE⊥AF，
∴∠AFE＝∠AEF＝45°，
∴∠AFM＝∠ACE，
∴△AFM∽△ACE，
∴，
∴AF2＝AC•AM，
∵AC＝AB，
∴AF2＝AM•AB；
（3）解：∵CE＝nDE，
∴设DE＝1，CE＝n，
由（1）知，Rt△ABF≌Rt△ADE，
∴BF＝DE＝1，
∴BC＝AB＝CD＝1+n，
∴FC＝n+2，
∴FE＝＝＝，
∵BM∥CE，
∴△BFM∽△CFE，
∴，
∴FM＝，
∵∠AEN＝∠ACE＝45°，
∠EAN＝∠CAE，
∴△AEN∽△ACE，
∴，
∵AE＝＝＝，
∴＝．

【点评】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握基本几何模型是解题的关键．