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2022-2023学年广东省梅州市丰顺县三友中学八年级（下）开学数学试卷(解析版)
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这是一份2022-2023学年广东省梅州市丰顺县三友中学八年级（下）开学数学试卷(解析版)，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省梅州市丰顺县三友中学八年级（下）开学数学试卷
一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
1．若分式的值为零，则x的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．2
2．对于①a﹣2ab＝a（1﹣2b），②（a+2）（a﹣1）＝a2+a﹣2，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．①是因式分解，②是乘法运算
B．①是乘法运算，②是因式分解
C．①②都是因式分解
D．①②都是乘法运算
3．已知x＝﹣2时，分式无意义，则□可以是（ ）
A．2﹣x B．x﹣2 C．2x+4 D．x+4
4．周末李强和朋友到森林公园游玩，为测量园内湖岸A，B两点之间的距离，如图，李强在湖的一侧选取了一点O，测得OA＝20m，OB＝8m，则A，B间的距离可能是（ ）
A．10m B．22m C．30m D．32m
5．如图，已知BF＝DE，AB∥DC，要使△ABF≌△CDE，添加的条件可以是（ ）
A．BE＝DF B．AF＝CE C．AB＝CD D．∠B＝∠D
6．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q，作直线PQ交AB于点D，连接AD，若△ABC的周长为15，AB＝6，则△ADC的周长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，AC的长不可能的是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知Rt△ABC≌Rt△EDF，Rt△ABC的面积为12，Rt△EDF的一条直角边等于3，则另一直角边的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．点（2，﹣8）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（2，8） B．（﹣2，8） C．（﹣2，﹣8） D．（2，﹣8）
10．如图，AD是△ABC的角平分线，则（ ）
A．∠1＝∠BAC B．∠1＝∠ABC C．∠1＝∠BAC D．∠1＝∠ABC
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为12cm，则△ABC的周长是 ．
12．如图，某小区广场有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上，已知左边滑梯水平方向的长度AB与右边滑梯的高度DE相等．若右边滑梯与地面的夹角∠DFE＝55°，则∠ABC的度数为 °．
13．若分式的值为零，则a的值是 ．
14．生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获．如图是由一副三角板拼凑得到的，图中∠1＝ °．
15．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为12cm，则△ABC的周长是 ．
16．已知点A（a，﹣2）和点B（8，b）关于y轴对称，那么a+b＝ ．
17．在平面直角坐标系中，点P（1，﹣2）关于y轴的对称点在第 象限．
三、解答题：第18，19.20小题6分，第21，22，23小题9分，第24，25小题10分。
18．先化简，再求值：（a+）÷，其中a＝﹣2，b＝3．
19．“油纸伞”是汉族古老的传统工艺品之一（如图1），其制作工艺十分巧妙．如图2，伞圈D沿着伞柄AP滑动时，总有伞骨AB＝AC，BD＝CD．问：伞柄AP是否始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC？请说明理由.
20．如图，△ABC，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AD＝8，求CD的长．
21．列方程解应用题：某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所用时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产多少台机器？
22．在一次数学课上，张老师在屏幕上出示了一个例题：
如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件：①BD＝CE；②∠BDO＝∠CEO；③OB＝OC；④∠DBO＝∠ECO．要求，从这四个等式中选出两个作为已知条件，可判定AB＝AC．请写出你的选择，并证明．
23．如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB＝AC，D为AC上一动点，延长BD交CE于E，且CE⊥BD，若BD平分∠ABC，求证：CE＝BD．
24．问题提出：
如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA；
问题探究：
如图2，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为腰在第二象限作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，求点C的坐标；
问题解决：
古城西安已经全面迎来地铁时代！继西安地铁2号线于2011年9月16日通车试运行以来，共有八条线路开通运营，极大促进了西安市的交通运输，目前还有多条线路正在修建中．如图，地铁某线路原计划按OA﹣AB的方向施工，由于在AB方向发现一处地下古建筑，地铁修建须绕开此区域．经实地勘测，若将AB段绕点A顺时针或逆时针方向旋转45°至AC或AD方向，则可以绕开此区域．已知OA长为1千米，以点O为原点，OA所在直线为x轴，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，且射线AB与直线y＝﹣2x平行，请帮助施工队计算出AC和AD所在直线的解析式．
25．小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：
【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF；
【变式思考】如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，则∠CFE与∠CEF还相等吗？说明理由；
【探究延伸】如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，角平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由．
参考答案
一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
1．若分式的值为零，则x的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．2
【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零，分母不为零，进而得出答案．
解：∵分式的值为零，
∴|x|﹣1＝0，x+1≠0，
解得：x＝1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了分式的值为零，正确把握相关定义是解题关键．
2．对于①a﹣2ab＝a（1﹣2b），②（a+2）（a﹣1）＝a2+a﹣2，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．①是因式分解，②是乘法运算
B．①是乘法运算，②是因式分解
C．①②都是因式分解
D．①②都是乘法运算
【分析】根据因式分解，乘法运算的定义即可求解．
解：①a﹣2ab＝a（1﹣2b）是因式分解，
②（a+2）（a﹣1）＝a2+a﹣2是乘法运算．
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解，整式的乘法运算，熟知因式分解的定义“将一个多项式化为为几个整式的积的形式叫因式分解”是解题关键．
3．已知x＝﹣2时，分式无意义，则□可以是（ ）
A．2﹣x B．x﹣2 C．2x+4 D．x+4
【分析】当x＝﹣2时分式无意义，可知分母□的值应为0，再分别求出各选项的值即可得出答案．
解：当x＝﹣2时分式无意义，
所以分母□的值应为0，
当x＝﹣2时，2﹣x＝2﹣（﹣2）＝2+2＝4≠0，A选项不符合题意；
x﹣2＝﹣2﹣2＝﹣4≠0，B选项不符合题意；
2x+4＝2×（﹣2）+4＝﹣4+4＝0，C选项符合题意；
x+4＝﹣2+4＝2≠0，D选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分式有意义的条件是分母不等于零．
4．周末李强和朋友到森林公园游玩，为测量园内湖岸A，B两点之间的距离，如图，李强在湖的一侧选取了一点O，测得OA＝20m，OB＝8m，则A，B间的距离可能是（ ）
A．10m B．22m C．30m D．32m
【分析】根据三角形的三边关系确定AB的范围，据此即可判断．
解：OA﹣OB＜AB＜OA+OB，
则20﹣8＜AB＜20+8，即12＜AB＜28．
则符合条件的只有B．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．已知两边确定第三边的范围时，第三边的长大于已知两边的差，且小于已知两边的和．
5．如图，已知BF＝DE，AB∥DC，要使△ABF≌△CDE，添加的条件可以是（ ）
A．BE＝DF B．AF＝CE C．AB＝CD D．∠B＝∠D
【分析】根据AB∥DC，可得∠B＝∠D，又BF＝DE，所以添加AB＝CD，根据SAS可证△ABF≌△CDE．
解：应添加AB＝DC，理由如下：
∵AB∥DC，
∴∠B＝∠D．
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
故选：C．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q，作直线PQ交AB于点D，连接AD，若△ABC的周长为15，AB＝6，则△ADC的周长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】先根据题意得出MN是线段AB的垂直平分线，故可得出AD＝BD，据此可得出结论．
解：∵根据题意得出PQ是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴AD+CD＝BC．
∵△ABC的周长为15，AB＝6，
∴△ADC的周长＝AC+BC＝△ABC的周长﹣AB＝15﹣6＝9．
故选：D．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
7．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，AC的长不可能的是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据三角形的三边关系“三角形任意一边小于其它两边之和，大于两边之差”求出AC的取值范围，即可求出答案．
解：根据三角形的三边关系得3﹣2＜AC＜3+2，
即1＜AC＜5，
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，熟记“三角形任意一边小于其它两边之和，大于两边之差”是解决问题的关键．
8．已知Rt△ABC≌Rt△EDF，Rt△ABC的面积为12，Rt△EDF的一条直角边等于3，则另一直角边的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】由全等三角形的性质可得Rt△EDF的面积为12，根据三角形的面积公式即可求出Rt△EDF的另一直角边的长．
解：∵Rt△ABC≌Rt△EDF，Rt△ABC的面积为12，
∴Rt△EDF的面积为12，
设Rt△EDF的另一直角边的长为x．
∵Rt△EDF的一条直角边等于3，
∴×3x＝12，
∴x＝8，
故选：D．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和三角形的面积公式，掌握全等三角形的面积相等是解决问题的关键．
9．点（2，﹣8）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（2，8） B．（﹣2，8） C．（﹣2，﹣8） D．（2，﹣8）
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质分析得出答案．
解：点（2，﹣8）关于x轴对称的点的坐标为：（2，8）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
10．如图，AD是△ABC的角平分线，则（ ）
A．∠1＝∠BAC B．∠1＝∠ABC C．∠1＝∠BAC D．∠1＝∠ABC
【分析】根据角平分线的定义即可判断．
解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠BAC，
故选：A．
【点评】本题考查角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为12cm，则△ABC的周长是 18cm ．
【分析】由DE是AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AD＝CD，AE＝CE，又由AE＝3cm，△ABD的周长为12cm，即可求得AC与AB+BC的长，继而求得答案．
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，AE＝CE，
∵AE＝3cm，△ABD的周长为12cm，
∴AC＝2AE＝6cm，AB+B+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝12cm，
∴△ABC的周长是：AB+BC+AC＝12+6＝18（cm）．
故答案为：18cm．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
12．如图，某小区广场有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上，已知左边滑梯水平方向的长度AB与右边滑梯的高度DE相等．若右边滑梯与地面的夹角∠DFE＝55°，则∠ABC的度数为 35 °．
【分析】先根据BC＝EF，AC＝DF判断出Rt△ABC≌Rt△DEF，再根据全等三角形的性质和直角三角形的两锐角互余即可解答．
解：∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠ACB＝∠DFE＝55°，
∵∠ABC+∠BCA＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣55°＝35°．
故答案为：35．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形全等的判定是解决问题的关键．
13．若分式的值为零，则a的值是 2 ．
【分析】根据分式值为零的条件可得a2﹣4＝0，且a+2≠0，求出a的值即可．
解：由题意得：a2﹣4＝0，且a+2≠0，
解得：a＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
14．生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获．如图是由一副三角板拼凑得到的，图中∠1＝ 105 °．
【分析】由∠CAB＝45°，∠ABC＝60°，又由∠FBC＝90°，易得∠1度数．
解：
∵∠CAB＝45°，∠ABC＝60°，
∴∠EAB＝45°，
∵∠1是△ABE一个外角，
∴∠1＝∠EAB+∠ABC＝45°+60°＝105°，
故答案为：105．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质．
15．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为12cm，则△ABC的周长是 18cm ．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，
∴DA＝DC，AC＝6cm，
∵△ABD的周长为12cm，
∴AB+BD+AD＝12cm，
∴AB+BD+DC＝AB+BC＝12cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝12+6＝18（cm），
故答案为：18cm．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
16．已知点A（a，﹣2）和点B（8，b）关于y轴对称，那么a+b＝ ﹣10 ．
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
解：∵点A（a，﹣2）和B（8，b）关于y轴对称，
∴a＝﹣8，b＝﹣2，
那么a+b＝﹣8﹣2＝﹣10．
故答案为：﹣10．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，掌握对称点的坐标规律是关键．
17．在平面直角坐标系中，点P（1，﹣2）关于y轴的对称点在第 三 象限．
【分析】直接利用关于y轴对称点的性质（横坐标互为相反数，纵坐标不变）进而得出答案．
解：点P（1，﹣2）关于y轴的对称点为：（﹣1，﹣2），
故（﹣1，﹣2）在第三象限．
故答案为：三．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
三、解答题：第18，19.20小题6分，第21，22，23小题9分，第24，25小题10分。
18．先化简，再求值：（a+）÷，其中a＝﹣2，b＝3．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
解：原式＝•＝•＝a+b，
当a＝﹣2，b＝3时，原式＝1．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．“油纸伞”是汉族古老的传统工艺品之一（如图1），其制作工艺十分巧妙．如图2，伞圈D沿着伞柄AP滑动时，总有伞骨AB＝AC，BD＝CD．问：伞柄AP是否始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC？请说明理由.
【分析】理由SSS公理证明△ABD≌△ACD，根据全等三角形的性质证明结论．
解：AP平分∠BAC，
理由如下：在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD，
∴AP平分∠BAC．
【点评】本题考查的是三角形全等的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
20．如图，△ABC，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AD＝8，求CD的长．
【分析】根据题意得出∠A＝30°，根据角平分线的性质得出∠A＝∠ABD，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，得CD＝DB，即可得出CD＝4．
解：∵∠C＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴∠A＝∠ABD，
∴DB＝AD＝8，
∵∠C＝90°，
∠CBD＝30°，
∴CD＝DB，
∴CD＝4．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形以及等腰三角形的判定和性质，掌握直角三角形的性质是解题的关键．
21．列方程解应用题：某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所用时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产多少台机器？
【分析】设该工厂原来平均每天生产x台机器，则现在平均每天生产（x+50）台机器．由工程问题的数量关系根据现在生产600台机器所需的时间与原计划生产450台机器所需的时间相同建立方程求出其解即可．
解：设原来平均每天生产x台机器，现在平均每天生产（x+50）台机器．
得：，
解得：x＝150．
经检验，x＝150是原方程的根．
∴现在平均每天生产200台机器．
答：现在平均每天生产200台机器．
【点评】本题考查了分式方程的应用，分式方程的解法的运用，工程问题的数量关系工作总量÷工作效率＝工作时间的运用，解答时由工作时间之间的数量关系建立方程是关键．
22．在一次数学课上，张老师在屏幕上出示了一个例题：
如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件：①BD＝CE；②∠BDO＝∠CEO；③OB＝OC；④∠DBO＝∠ECO．要求，从这四个等式中选出两个作为已知条件，可判定AB＝AC．请写出你的选择，并证明．
【分析】利用③④作为已知条件，根据等腰三角形的性质可求得∠DBC＝∠ECB，进而可证明AB＝AC．
解：③④作为已知条件，
证明如下：
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠DBO＝∠ECO，
∴∠DBC＝∠ECB，
∴AB＝AC．
【点评】本题考查等腰三角形的性质与判定，灵活运用等腰三角形的性质与判定定理是解题的关键．
23．如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB＝AC，D为AC上一动点，延长BD交CE于E，且CE⊥BD，若BD平分∠ABC，求证：CE＝BD．
【分析】延长CE、BA交于点F．根据等角的余角相等，得∠ABD＝∠ACF；再根据ASA可以证明△ABD≌△ACF，则BD＝CF；根据ASA可以证明△BCE≌△BFE，则CE＝EF，从而证明结论．
【解答】证明：延长CE、BA交于点F．
∵CE⊥BD于E，∠BAC＝90°，
∴∠ABD＝∠ACF．
在△ABD与△ACF中，
∵，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD＝CF．
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠FBE．
在△BCE与△BFE中，
∵，
∴△BCE≌△BFE（ASA），
∴CE＝EF，
即CE＝CF，
∴CE＝BD．
【点评】此题考查了全等三角形的性质和判定；作出辅助线，证明三角形全等是正确解决本题的关键．
24．问题提出：
如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA；
问题探究：
如图2，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为腰在第二象限作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，求点C的坐标；
问题解决：
古城西安已经全面迎来地铁时代！继西安地铁2号线于2011年9月16日通车试运行以来，共有八条线路开通运营，极大促进了西安市的交通运输，目前还有多条线路正在修建中．如图，地铁某线路原计划按OA﹣AB的方向施工，由于在AB方向发现一处地下古建筑，地铁修建须绕开此区域．经实地勘测，若将AB段绕点A顺时针或逆时针方向旋转45°至AC或AD方向，则可以绕开此区域．已知OA长为1千米，以点O为原点，OA所在直线为x轴，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，且射线AB与直线y＝﹣2x平行，请帮助施工队计算出AC和AD所在直线的解析式．
【分析】问题提出：利用同角的余角相等和AAS证明△BEC≌△CDA即可；
问题探究：先求出A，B的坐标，过点C作CD⊥x轴，交x轴与点D，证明△ADC≌△BOA，即可得解；
问题解决：求出A点坐标和直线AB的解析式，延长AC交y轴与点C'，延长AD至点D'，使AD'＝AC'，设C'（0，y），过点D'分别作D'F⊥x轴，得到△C'OA≌△AFD'，表示出D'的坐标，利用C'，D'的中点在直线AB上，求出C'，D'的坐标，再用待定系数法求解析式即可．
【解答】问题提出：
证明：∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠BEC＝∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
∵CB＝CA，
∴△BEC≌△CDA（AAS）；
问题探究：
解：，
当x＝0时：y＝1；
当y＝0时：x＝﹣5；
∴A（﹣5，0），B（0，1），
∴OA＝5，OB＝1，
过点C作CD⊥x轴，交x轴与点D，
同上法可证：△AOB≌△CDA（AAS），
∴AD＝OB＝1，CD＝OA＝5，
∴OD＝OA+DA＝6，
∴C（﹣6，5）；
问题解决：
解：由题意得：A（﹣1，0），
∵射线AB与直线y＝﹣2x平行，
设直线AB的解析式为：y＝﹣2x+b，
则：0＝（﹣2）×（﹣1）+b，解得：b＝2；
∴y＝﹣2x﹣2；
延长AC交y轴与点C'，延长AD至点D'，使AD'＝AC'，设C'（0，y），过点D'分别作D'F⊥x轴，
由问题提出可知：△C'OA≌△AFD'（AAS），
∴AD'＝OC'＝y，D'F＝OA＝1，
∴D'（﹣y﹣1，1），
∴C'，D'的中点坐标为：，
由题意可知在直线AB上，
∴，
解得：y＝3，
∴C'（0，3），D'（﹣4，1），
设AC的解析式为：y＝k1x+b1，
则：，
解得：，
∴y＝3x+3；
设AD的解析式为：y＝k2x+b2，
则：，
解得：，
∴．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质以及一次函数与几何的综合应用．根据问题提出，理解并掌握一线三直角的全等模型，然后通过构建全等模型探究和解决问题是解题的关键．
25．小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：
【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF；
【变式思考】如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，则∠CFE与∠CEF还相等吗？说明理由；
【探究延伸】如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，角平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由．
【分析】【习题回顾】根据三角形的外角的性质证明；
【变式思考】根据角平分线的定义、直角三角形的性质解答；
【探究延伸】同（1）、（2）的方法相同．
【解答】【习题回顾】证明：∵∠ACB＝90°，CD是高，
∴∠B+∠CAB＝90°，∠ACD+∠CAB＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
∵AE是角平分线，
∴∠CAF＝∠DAF，
∵∠CFE＝∠CAF+∠ACD∠CEF＝∠DAF+∠B，
∴∠CEF＝∠CFE；
【变式思考】∠CEF＝∠CFE
证明：∵AF为∠BAG的角平分线，
∴∠GAF＝∠DAF，
∵CD为AB边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADF＝∠ACE＝90°，又∵∠CAE＝∠GAF，
∴∠CEF＝∠CFE；
【探究延伸】∠M+∠CFE＝90°，
证明：∵C、A、G三点共线 AE、AN为角平分线，
∴∠EAN＝90°，又∵∠GAN＝∠CAM，
∴∠M+∠CEF＝90°，
∵∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，∠ACD＝∠B，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴∠M+∠CFE＝90°．
【点评】本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
2022-2023学年广东省梅州市丰顺县三友中学八年级（下）开学数学试卷
一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
1．若分式的值为零，则x的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．2
2．对于①a﹣2ab＝a（1﹣2b），②（a+2）（a﹣1）＝a2+a﹣2，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．①是因式分解，②是乘法运算
B．①是乘法运算，②是因式分解
C．①②都是因式分解
D．①②都是乘法运算
3．已知x＝﹣2时，分式无意义，则□可以是（ ）
A．2﹣x B．x﹣2 C．2x+4 D．x+4
4．周末李强和朋友到森林公园游玩，为测量园内湖岸A，B两点之间的距离，如图，李强在湖的一侧选取了一点O，测得OA＝20m，OB＝8m，则A，B间的距离可能是（ ）
A．10m B．22m C．30m D．32m
5．如图，已知BF＝DE，AB∥DC，要使△ABF≌△CDE，添加的条件可以是（ ）
A．BE＝DF B．AF＝CE C．AB＝CD D．∠B＝∠D
6．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q，作直线PQ交AB于点D，连接AD，若△ABC的周长为15，AB＝6，则△ADC的周长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，AC的长不可能的是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知Rt△ABC≌Rt△EDF，Rt△ABC的面积为12，Rt△EDF的一条直角边等于3，则另一直角边的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．点（2，﹣8）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（2，8） B．（﹣2，8） C．（﹣2，﹣8） D．（2，﹣8）
10．如图，AD是△ABC的角平分线，则（ ）
A．∠1＝∠BAC B．∠1＝∠ABC C．∠1＝∠BAC D．∠1＝∠ABC
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为12cm，则△ABC的周长是 ．
12．如图，某小区广场有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上，已知左边滑梯水平方向的长度AB与右边滑梯的高度DE相等．若右边滑梯与地面的夹角∠DFE＝55°，则∠ABC的度数为 °．
13．若分式的值为零，则a的值是 ．
14．生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获．如图是由一副三角板拼凑得到的，图中∠1＝ °．
15．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为12cm，则△ABC的周长是 ．
16．已知点A（a，﹣2）和点B（8，b）关于y轴对称，那么a+b＝ ．
17．在平面直角坐标系中，点P（1，﹣2）关于y轴的对称点在第 象限．
三、解答题：第18，19.20小题6分，第21，22，23小题9分，第24，25小题10分。
18．先化简，再求值：（a+）÷，其中a＝﹣2，b＝3．
19．“油纸伞”是汉族古老的传统工艺品之一（如图1），其制作工艺十分巧妙．如图2，伞圈D沿着伞柄AP滑动时，总有伞骨AB＝AC，BD＝CD．问：伞柄AP是否始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC？请说明理由.
20．如图，△ABC，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AD＝8，求CD的长．
21．列方程解应用题：某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所用时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产多少台机器？
22．在一次数学课上，张老师在屏幕上出示了一个例题：
如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件：①BD＝CE；②∠BDO＝∠CEO；③OB＝OC；④∠DBO＝∠ECO．要求，从这四个等式中选出两个作为已知条件，可判定AB＝AC．请写出你的选择，并证明．
23．如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB＝AC，D为AC上一动点，延长BD交CE于E，且CE⊥BD，若BD平分∠ABC，求证：CE＝BD．
24．问题提出：
如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA；
问题探究：
如图2，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为腰在第二象限作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，求点C的坐标；
问题解决：
古城西安已经全面迎来地铁时代！继西安地铁2号线于2011年9月16日通车试运行以来，共有八条线路开通运营，极大促进了西安市的交通运输，目前还有多条线路正在修建中．如图，地铁某线路原计划按OA﹣AB的方向施工，由于在AB方向发现一处地下古建筑，地铁修建须绕开此区域．经实地勘测，若将AB段绕点A顺时针或逆时针方向旋转45°至AC或AD方向，则可以绕开此区域．已知OA长为1千米，以点O为原点，OA所在直线为x轴，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，且射线AB与直线y＝﹣2x平行，请帮助施工队计算出AC和AD所在直线的解析式．
25．小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：
【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF；
【变式思考】如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，则∠CFE与∠CEF还相等吗？说明理由；
【探究延伸】如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，角平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由．
参考答案
一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
1．若分式的值为零，则x的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．2
【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零，分母不为零，进而得出答案．
解：∵分式的值为零，
∴|x|﹣1＝0，x+1≠0，
解得：x＝1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了分式的值为零，正确把握相关定义是解题关键．
2．对于①a﹣2ab＝a（1﹣2b），②（a+2）（a﹣1）＝a2+a﹣2，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．①是因式分解，②是乘法运算
B．①是乘法运算，②是因式分解
C．①②都是因式分解
D．①②都是乘法运算
【分析】根据因式分解，乘法运算的定义即可求解．
解：①a﹣2ab＝a（1﹣2b）是因式分解，
②（a+2）（a﹣1）＝a2+a﹣2是乘法运算．
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解，整式的乘法运算，熟知因式分解的定义“将一个多项式化为为几个整式的积的形式叫因式分解”是解题关键．
3．已知x＝﹣2时，分式无意义，则□可以是（ ）
A．2﹣x B．x﹣2 C．2x+4 D．x+4
【分析】当x＝﹣2时分式无意义，可知分母□的值应为0，再分别求出各选项的值即可得出答案．
解：当x＝﹣2时分式无意义，
所以分母□的值应为0，
当x＝﹣2时，2﹣x＝2﹣（﹣2）＝2+2＝4≠0，A选项不符合题意；
x﹣2＝﹣2﹣2＝﹣4≠0，B选项不符合题意；
2x+4＝2×（﹣2）+4＝﹣4+4＝0，C选项符合题意；
x+4＝﹣2+4＝2≠0，D选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分式有意义的条件是分母不等于零．
4．周末李强和朋友到森林公园游玩，为测量园内湖岸A，B两点之间的距离，如图，李强在湖的一侧选取了一点O，测得OA＝20m，OB＝8m，则A，B间的距离可能是（ ）
A．10m B．22m C．30m D．32m
【分析】根据三角形的三边关系确定AB的范围，据此即可判断．
解：OA﹣OB＜AB＜OA+OB，
则20﹣8＜AB＜20+8，即12＜AB＜28．
则符合条件的只有B．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．已知两边确定第三边的范围时，第三边的长大于已知两边的差，且小于已知两边的和．
5．如图，已知BF＝DE，AB∥DC，要使△ABF≌△CDE，添加的条件可以是（ ）
A．BE＝DF B．AF＝CE C．AB＝CD D．∠B＝∠D
【分析】根据AB∥DC，可得∠B＝∠D，又BF＝DE，所以添加AB＝CD，根据SAS可证△ABF≌△CDE．
解：应添加AB＝DC，理由如下：
∵AB∥DC，
∴∠B＝∠D．
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
故选：C．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q，作直线PQ交AB于点D，连接AD，若△ABC的周长为15，AB＝6，则△ADC的周长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】先根据题意得出MN是线段AB的垂直平分线，故可得出AD＝BD，据此可得出结论．
解：∵根据题意得出PQ是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴AD+CD＝BC．
∵△ABC的周长为15，AB＝6，
∴△ADC的周长＝AC+BC＝△ABC的周长﹣AB＝15﹣6＝9．
故选：D．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
7．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，AC的长不可能的是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据三角形的三边关系“三角形任意一边小于其它两边之和，大于两边之差”求出AC的取值范围，即可求出答案．
解：根据三角形的三边关系得3﹣2＜AC＜3+2，
即1＜AC＜5，
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，熟记“三角形任意一边小于其它两边之和，大于两边之差”是解决问题的关键．
8．已知Rt△ABC≌Rt△EDF，Rt△ABC的面积为12，Rt△EDF的一条直角边等于3，则另一直角边的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】由全等三角形的性质可得Rt△EDF的面积为12，根据三角形的面积公式即可求出Rt△EDF的另一直角边的长．
解：∵Rt△ABC≌Rt△EDF，Rt△ABC的面积为12，
∴Rt△EDF的面积为12，
设Rt△EDF的另一直角边的长为x．
∵Rt△EDF的一条直角边等于3，
∴×3x＝12，
∴x＝8，
故选：D．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和三角形的面积公式，掌握全等三角形的面积相等是解决问题的关键．
9．点（2，﹣8）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（2，8） B．（﹣2，8） C．（﹣2，﹣8） D．（2，﹣8）
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质分析得出答案．
解：点（2，﹣8）关于x轴对称的点的坐标为：（2，8）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
10．如图，AD是△ABC的角平分线，则（ ）
A．∠1＝∠BAC B．∠1＝∠ABC C．∠1＝∠BAC D．∠1＝∠ABC
【分析】根据角平分线的定义即可判断．
解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠BAC，
故选：A．
【点评】本题考查角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为12cm，则△ABC的周长是 18cm ．
【分析】由DE是AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AD＝CD，AE＝CE，又由AE＝3cm，△ABD的周长为12cm，即可求得AC与AB+BC的长，继而求得答案．
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，AE＝CE，
∵AE＝3cm，△ABD的周长为12cm，
∴AC＝2AE＝6cm，AB+B+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝12cm，
∴△ABC的周长是：AB+BC+AC＝12+6＝18（cm）．
故答案为：18cm．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
12．如图，某小区广场有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上，已知左边滑梯水平方向的长度AB与右边滑梯的高度DE相等．若右边滑梯与地面的夹角∠DFE＝55°，则∠ABC的度数为 35 °．
【分析】先根据BC＝EF，AC＝DF判断出Rt△ABC≌Rt△DEF，再根据全等三角形的性质和直角三角形的两锐角互余即可解答．
解：∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠ACB＝∠DFE＝55°，
∵∠ABC+∠BCA＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣55°＝35°．
故答案为：35．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形全等的判定是解决问题的关键．
13．若分式的值为零，则a的值是 2 ．
【分析】根据分式值为零的条件可得a2﹣4＝0，且a+2≠0，求出a的值即可．
解：由题意得：a2﹣4＝0，且a+2≠0，
解得：a＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
14．生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获．如图是由一副三角板拼凑得到的，图中∠1＝ 105 °．
【分析】由∠CAB＝45°，∠ABC＝60°，又由∠FBC＝90°，易得∠1度数．
解：
∵∠CAB＝45°，∠ABC＝60°，
∴∠EAB＝45°，
∵∠1是△ABE一个外角，
∴∠1＝∠EAB+∠ABC＝45°+60°＝105°，
故答案为：105．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质．
15．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为12cm，则△ABC的周长是 18cm ．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，
∴DA＝DC，AC＝6cm，
∵△ABD的周长为12cm，
∴AB+BD+AD＝12cm，
∴AB+BD+DC＝AB+BC＝12cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝12+6＝18（cm），
故答案为：18cm．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
16．已知点A（a，﹣2）和点B（8，b）关于y轴对称，那么a+b＝ ﹣10 ．
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
解：∵点A（a，﹣2）和B（8，b）关于y轴对称，
∴a＝﹣8，b＝﹣2，
那么a+b＝﹣8﹣2＝﹣10．
故答案为：﹣10．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，掌握对称点的坐标规律是关键．
17．在平面直角坐标系中，点P（1，﹣2）关于y轴的对称点在第 三 象限．
【分析】直接利用关于y轴对称点的性质（横坐标互为相反数，纵坐标不变）进而得出答案．
解：点P（1，﹣2）关于y轴的对称点为：（﹣1，﹣2），
故（﹣1，﹣2）在第三象限．
故答案为：三．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
三、解答题：第18，19.20小题6分，第21，22，23小题9分，第24，25小题10分。
18．先化简，再求值：（a+）÷，其中a＝﹣2，b＝3．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
解：原式＝•＝•＝a+b，
当a＝﹣2，b＝3时，原式＝1．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．“油纸伞”是汉族古老的传统工艺品之一（如图1），其制作工艺十分巧妙．如图2，伞圈D沿着伞柄AP滑动时，总有伞骨AB＝AC，BD＝CD．问：伞柄AP是否始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC？请说明理由.
【分析】理由SSS公理证明△ABD≌△ACD，根据全等三角形的性质证明结论．
解：AP平分∠BAC，
理由如下：在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD，
∴AP平分∠BAC．
【点评】本题考查的是三角形全等的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
20．如图，△ABC，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AD＝8，求CD的长．
【分析】根据题意得出∠A＝30°，根据角平分线的性质得出∠A＝∠ABD，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，得CD＝DB，即可得出CD＝4．
解：∵∠C＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴∠A＝∠ABD，
∴DB＝AD＝8，
∵∠C＝90°，
∠CBD＝30°，
∴CD＝DB，
∴CD＝4．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形以及等腰三角形的判定和性质，掌握直角三角形的性质是解题的关键．
21．列方程解应用题：某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所用时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产多少台机器？
【分析】设该工厂原来平均每天生产x台机器，则现在平均每天生产（x+50）台机器．由工程问题的数量关系根据现在生产600台机器所需的时间与原计划生产450台机器所需的时间相同建立方程求出其解即可．
解：设原来平均每天生产x台机器，现在平均每天生产（x+50）台机器．
得：，
解得：x＝150．
经检验，x＝150是原方程的根．
∴现在平均每天生产200台机器．
答：现在平均每天生产200台机器．
【点评】本题考查了分式方程的应用，分式方程的解法的运用，工程问题的数量关系工作总量÷工作效率＝工作时间的运用，解答时由工作时间之间的数量关系建立方程是关键．
22．在一次数学课上，张老师在屏幕上出示了一个例题：
如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件：①BD＝CE；②∠BDO＝∠CEO；③OB＝OC；④∠DBO＝∠ECO．要求，从这四个等式中选出两个作为已知条件，可判定AB＝AC．请写出你的选择，并证明．
【分析】利用③④作为已知条件，根据等腰三角形的性质可求得∠DBC＝∠ECB，进而可证明AB＝AC．
解：③④作为已知条件，
证明如下：
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠DBO＝∠ECO，
∴∠DBC＝∠ECB，
∴AB＝AC．
【点评】本题考查等腰三角形的性质与判定，灵活运用等腰三角形的性质与判定定理是解题的关键．
23．如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB＝AC，D为AC上一动点，延长BD交CE于E，且CE⊥BD，若BD平分∠ABC，求证：CE＝BD．
【分析】延长CE、BA交于点F．根据等角的余角相等，得∠ABD＝∠ACF；再根据ASA可以证明△ABD≌△ACF，则BD＝CF；根据ASA可以证明△BCE≌△BFE，则CE＝EF，从而证明结论．
【解答】证明：延长CE、BA交于点F．
∵CE⊥BD于E，∠BAC＝90°，
∴∠ABD＝∠ACF．
在△ABD与△ACF中，
∵，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD＝CF．
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠FBE．
在△BCE与△BFE中，
∵，
∴△BCE≌△BFE（ASA），
∴CE＝EF，
即CE＝CF，
∴CE＝BD．
【点评】此题考查了全等三角形的性质和判定；作出辅助线，证明三角形全等是正确解决本题的关键．
24．问题提出：
如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA；
问题探究：
如图2，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为腰在第二象限作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，求点C的坐标；
问题解决：
古城西安已经全面迎来地铁时代！继西安地铁2号线于2011年9月16日通车试运行以来，共有八条线路开通运营，极大促进了西安市的交通运输，目前还有多条线路正在修建中．如图，地铁某线路原计划按OA﹣AB的方向施工，由于在AB方向发现一处地下古建筑，地铁修建须绕开此区域．经实地勘测，若将AB段绕点A顺时针或逆时针方向旋转45°至AC或AD方向，则可以绕开此区域．已知OA长为1千米，以点O为原点，OA所在直线为x轴，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，且射线AB与直线y＝﹣2x平行，请帮助施工队计算出AC和AD所在直线的解析式．
【分析】问题提出：利用同角的余角相等和AAS证明△BEC≌△CDA即可；
问题探究：先求出A，B的坐标，过点C作CD⊥x轴，交x轴与点D，证明△ADC≌△BOA，即可得解；
问题解决：求出A点坐标和直线AB的解析式，延长AC交y轴与点C'，延长AD至点D'，使AD'＝AC'，设C'（0，y），过点D'分别作D'F⊥x轴，得到△C'OA≌△AFD'，表示出D'的坐标，利用C'，D'的中点在直线AB上，求出C'，D'的坐标，再用待定系数法求解析式即可．
【解答】问题提出：
证明：∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠BEC＝∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
∵CB＝CA，
∴△BEC≌△CDA（AAS）；
问题探究：
解：，
当x＝0时：y＝1；
当y＝0时：x＝﹣5；
∴A（﹣5，0），B（0，1），
∴OA＝5，OB＝1，
过点C作CD⊥x轴，交x轴与点D，
同上法可证：△AOB≌△CDA（AAS），
∴AD＝OB＝1，CD＝OA＝5，
∴OD＝OA+DA＝6，
∴C（﹣6，5）；
问题解决：
解：由题意得：A（﹣1，0），
∵射线AB与直线y＝﹣2x平行，
设直线AB的解析式为：y＝﹣2x+b，
则：0＝（﹣2）×（﹣1）+b，解得：b＝2；
∴y＝﹣2x﹣2；
延长AC交y轴与点C'，延长AD至点D'，使AD'＝AC'，设C'（0，y），过点D'分别作D'F⊥x轴，
由问题提出可知：△C'OA≌△AFD'（AAS），
∴AD'＝OC'＝y，D'F＝OA＝1，
∴D'（﹣y﹣1，1），
∴C'，D'的中点坐标为：，
由题意可知在直线AB上，
∴，
解得：y＝3，
∴C'（0，3），D'（﹣4，1），
设AC的解析式为：y＝k1x+b1，
则：，
解得：，
∴y＝3x+3；
设AD的解析式为：y＝k2x+b2，
则：，
解得：，
∴．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质以及一次函数与几何的综合应用．根据问题提出，理解并掌握一线三直角的全等模型，然后通过构建全等模型探究和解决问题是解题的关键．
25．小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：
【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF；
【变式思考】如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，则∠CFE与∠CEF还相等吗？说明理由；
【探究延伸】如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，角平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由．
【分析】【习题回顾】根据三角形的外角的性质证明；
【变式思考】根据角平分线的定义、直角三角形的性质解答；
【探究延伸】同（1）、（2）的方法相同．
【解答】【习题回顾】证明：∵∠ACB＝90°，CD是高，
∴∠B+∠CAB＝90°，∠ACD+∠CAB＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
∵AE是角平分线，
∴∠CAF＝∠DAF，
∵∠CFE＝∠CAF+∠ACD∠CEF＝∠DAF+∠B，
∴∠CEF＝∠CFE；
【变式思考】∠CEF＝∠CFE
证明：∵AF为∠BAG的角平分线，
∴∠GAF＝∠DAF，
∵CD为AB边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADF＝∠ACE＝90°，又∵∠CAE＝∠GAF，
∴∠CEF＝∠CFE；
【探究延伸】∠M+∠CFE＝90°，
证明：∵C、A、G三点共线 AE、AN为角平分线，
∴∠EAN＝90°，又∵∠GAN＝∠CAM，
∴∠M+∠CEF＝90°，
∵∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，∠ACD＝∠B，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴∠M+∠CFE＝90°．
【点评】本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
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