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2022-2023学年广东省梅州市丰顺县潭江中学八年级（下）开学数学试卷(解析版)
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这是一份2022-2023学年广东省梅州市丰顺县潭江中学八年级（下）开学数学试卷(解析版)，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省梅州市丰顺县潭江中学八年级（下）开学数学试卷
一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
1．如果计算（x+a）（x﹣2）的结果是一个二项式，那么a的值是（ ）
A．1 B．2或0 C．3 D．4
2．已知三角形的两边长分别为3cm和6cm，则此三角形的第三边的长可能是（ ）
A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm
3．在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（1，2）
4．如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．北斗三号系统产生的时间基准可达到300万年误差1秒，创造了卫星授时的“中国精度”．北斗卫星授时精度为10ns（1s＝109ns），这个精度以s为单位表示为（ ）
A．10﹣10s B．10﹣9s C．10﹣8s D．1010s
6．下列运算中正确的是（ ）
A．x2•x5＝x10 B．（﹣x2）4＝﹣x8
C．（﹣xy2）2＝xy4 D．x5÷x3＝x2
7．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，a）和点B（b，﹣3）关于y轴对称，则ab的值（ ）
A．﹣1 B．1 C．6 D．﹣6
8．如图，AD是∠BAC的角平分线，点P在AD上，PM⊥AB于点M，PM＝3，则点P到AC的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2+1）（22+1）（24+1）…（216+1）的结果为（ ）
A．232﹣1 B．232+1 C．232 D．216
10．已知a，b为实数，下列说法：①若ab＜0，且a，b互为相反数，则＝﹣1；②若|a﹣b|+a﹣b＝0，则a﹣b＝0；③若a＜b，ab＜0且|a|＜|b|，则a+b＜0；④若a+b＜0，ab＞0，则|﹣2a﹣3b|＝2a+3b；⑤若|a|＞|b|，则（a+b）（a﹣b）＜0，其中正确个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11．在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于x轴对称点的坐标是（ ， ）．
12．已知am＝2，an＝3，则a2m+n的值为 ．
13．计算：m4÷m2＝ ．
14．如果2、5、m是某三角形三边的长，则等于 ．
15．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．△ABC的面积为20，AB＝12，BC＝8，则DE的长为 ．
16．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A2022B2022A2023的边长为 ．
17．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且CD＝3，则点D到AB边的距离为 ．
三、解答题：第18，19.20小题6分，第21，22，23小题9分，第24，25小题10分。
18．先化简，再求值：÷﹣•，其中x＝2．
19．先化简，再求值：，其中a＝﹣2．
20．如图，点B、C、D、F在一条直线上，FD＝BC，DE＝CA，EF＝AB，求证：EF∥AB．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝130°，求∠BAC的度数．
22．在①∠C＝∠F，②∠A＝∠E，③DF＝CB这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，点A、D、B、E在同一条直线上，AD＝BE，∠ADF＝∠CBE，若 ，求证：FE＝AC．（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．）
23．如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，AD、BC的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为两个排污口．已知AE＝BE，∠AEB＝90°，AD⊥DC，BC⊥DC，点D、E、C在同一直线上，AD＝150米，BC＝350米，求两个排污口之间的水平距离DC．
24．如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，分别交BC、AB于D、E，连接CE，BF平分∠ABC，交CE于F，若BE＝AC，∠ACE＝12°，求∠EFB的度数．
25．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知：二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴
解得：n＝﹣7，m＝﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x﹣5），求另一个因式以及k的值．
参考答案
一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
1．如果计算（x+a）（x﹣2）的结果是一个二项式，那么a的值是（ ）
A．1 B．2或0 C．3 D．4
【分析】先根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项，根据结果是一个二项式，即可求出a的值．
解：∵（x+a）（x﹣2）＝x2+（a﹣2）x﹣2a是一个二项式，
∴a﹣2＝0或﹣2a＝0，
∴a＝2或0．
故选：B．
【点评】本题考查了多项式乘多项式和多项式的定义，注意二项式的意思是什么．
2．已知三角形的两边长分别为3cm和6cm，则此三角形的第三边的长可能是（ ）
A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm
【分析】首先设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得6﹣3＜x＜6+3，再解不等式即可．
解：设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得：
6﹣3＜x＜6+3，
解得：3＜x＜9，各选项中，只有8cm符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
3．在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（1，2）
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得对应点坐标．
解：点A（﹣1，2）关于x轴对称的点的坐标为（﹣1，﹣2），
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点关于x轴对称的点的变化规律．
4．如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据线段垂直平分线性质得出BE＝AE，再求出BC即可．
解：∵DE是AB的垂直平分线，AE＝4，
∴BE＝AE＝4，
∵EC＝2，
∴BC＝BE+CE＝4+2＝6，
故选：C．
【点评】本题考查了垂直平分线的性质，能熟记线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解此题的关键．
5．北斗三号系统产生的时间基准可达到300万年误差1秒，创造了卫星授时的“中国精度”．北斗卫星授时精度为10ns（1s＝109ns），这个精度以s为单位表示为（ ）
A．10﹣10s B．10﹣9s C．10﹣8s D．1010s
【分析】由1s＝109ns，并根据同底数幂的除法运算法则进行计算．
解：∵1s＝109ns，
∴10ns＝10÷109
＝10﹣8s，
故选：C．
【点评】本题考查负整数指数幂，理解1s＝109ns，掌握同底数幂的除法运算法则是解题关键．
6．下列运算中正确的是（ ）
A．x2•x5＝x10 B．（﹣x2）4＝﹣x8
C．（﹣xy2）2＝xy4 D．x5÷x3＝x2
【分析】利用同底数幂的除法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
解：A、x2•x5＝x7，故A不符合题意；
B、（﹣x2）4＝x8，故B不符合题意；
C、（﹣xy2）2＝x2y4，故C不符合题意；
D、x5÷x3＝x2，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键对相应的运算法则的掌握．
7．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，a）和点B（b，﹣3）关于y轴对称，则ab的值（ ）
A．﹣1 B．1 C．6 D．﹣6
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
解：∵点A（﹣2，a）和点B（b，﹣3）关于y轴对称，
∴a＝﹣3，b＝2，
∴ab＝（﹣3）×2＝﹣6．
故选：D．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
8．如图，AD是∠BAC的角平分线，点P在AD上，PM⊥AB于点M，PM＝3，则点P到AC的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】过点P作PN⊥AC于N，根据角平分线的性质解答即可．
解：过点P作PN⊥AC于N，
∵AD是∠BAC的角平分线，PM⊥AB，PN⊥AC，PM＝3，
∴PN＝PM＝3，即点P到AC的距离是3，
故选：C．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
9．（2+1）（22+1）（24+1）…（216+1）的结果为（ ）
A．232﹣1 B．232+1 C．232 D．216
【分析】配上因式（2﹣1），连续利用平方差公式进行计算即可．
解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）…（216+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）…（216+1）
＝（24﹣1）（24+1）…（216+1）
＝（28﹣1）…（216+1）
＝232﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
10．已知a，b为实数，下列说法：①若ab＜0，且a，b互为相反数，则＝﹣1；②若|a﹣b|+a﹣b＝0，则a﹣b＝0；③若a＜b，ab＜0且|a|＜|b|，则a+b＜0；④若a+b＜0，ab＞0，则|﹣2a﹣3b|＝2a+3b；⑤若|a|＞|b|，则（a+b）（a﹣b）＜0，其中正确个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】分别根据绝对值的性质，相反数的定义对各小题进行逐一分析即可．
解：①∵ab＜0，且a，b互为相反数，
∴＝﹣1，本小题符合题意；
②∵|a﹣b|+a﹣b＝0，∴|a﹣b|＝b﹣a，∴a﹣b＜0，本小题不符合题意；
③∵a＜b，ab＜0，
∴a＜0＜b．
∵|a|＜|b|，
∴a+b＞0，本小题不符合题意；
④∵a+b＜0，ab＞0，
∴a＜0，b＜0，
∴﹣2a﹣3b＞0，
∴|﹣2a﹣3b|＝﹣2a﹣3b，本小题不符合题意；
⑤∵|a|＞|b|，
∴a2＞b2．
∵（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
∴（a+b）（a﹣b）＞0，本小题不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查的是实数，熟知绝对值的性质，相反数的定义是解题的关键．
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11．在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于x轴对称点的坐标是（ 1 ， ﹣2 ）．
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），据此即可求得点A（1，2）关于x轴对称的点的坐标．
解：∵点（1，2）关于x轴对称，
∴对称的点的坐标是（1，﹣2）．
故答案为（1，﹣2）．
【点评】本题主要考查了直角坐标系点的对称性质，比较简单．
12．已知am＝2，an＝3，则a2m+n的值为 12 ．
【分析】利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则进行整理，再代入相应的值运算即可．
解：当am＝2，an＝3时，
a2m+n
＝a2m×an
＝（am）2×an
＝22×3
＝4×3
＝12，
故答案为：12．
【点评】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
13．计算：m4÷m2＝ m2 ．
【分析】利用同底数幂的除法的法则进行运算即可．
解：m4÷m2
＝m4﹣2
＝m2．
故答案为：m2．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法，解答的关键是熟记同底数幂的除法的法则：底数不变，指数相减．
14．如果2、5、m是某三角形三边的长，则等于 4 ．
【分析】根据三角形三边的关系得到3＜m＜7，再根据二次根式的性质得原式＝|m﹣3|+|m﹣7|，然后根据m的取值范围去绝对值后合并即可．
解：∵2、5、m为三角形三边，
∴3＜m＜7，
∴原式＝|m﹣3|+|m﹣7|＝m﹣3﹣（m﹣7）＝m﹣3﹣m+7＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，二次根式的性质与化简：及绝对值的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
15．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．△ABC的面积为20，AB＝12，BC＝8，则DE的长为 2 ．
【分析】作DF⊥BC于F，根据角平分线的性质得到DF＝DE，根据三角形面积公式计算即可．
解：作DF⊥BC于F，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DF＝DE，
∴×AB×DE+×BC×DF＝20，即×12×DE+×8×DF＝20，
∴DF＝DE＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
16．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A2022B2022A2023的边长为 22022 ．
【分析】由OA1＝2，可求得，△A1B1A2的边长为2，△A2B2A3，的边长为2×2＝22，△A3B3A4的边长为22×2＝23…，可归纳得△AnBnAn+1＝2n，即可求得此题结果．
解：由OA1＝2，可求得，
△A1B1A2的边长＝OA1＝2，△A2B2A3，的边长＝OA2＝2×2＝22，△A3B3A4的边长＝OA3＝22×2＝23…，可归纳得△AnBnAn+1＝2n，
∴△A2022B2022A2023的边长为22022，
故答案为：22022．
【点评】此题考查了图形变化类规律归纳能力，关键是能根据图形进行猜想、验证、归纳规律．
17．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且CD＝3，则点D到AB边的距离为 3 ．
【分析】过点D作DE⊥AB，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD．
解：如图，过点D作DE⊥AB，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD＝3，
故，点D到AB边的距离是3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
三、解答题：第18，19.20小题6分，第21，22，23小题9分，第24，25小题10分。
18．先化简，再求值：÷﹣•，其中x＝2．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．
解：原式＝•（x+3）（x﹣3）﹣•
＝x+3﹣1
＝x+2，
当x＝2时，
原式＝2+2＝4．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
19．先化简，再求值：，其中a＝﹣2．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把a的值代入计算即可．
解：原式＝÷（﹣）
＝÷
＝•（a+1）
＝，
当a＝﹣2时，原式＝＝﹣1．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20．如图，点B、C、D、F在一条直线上，FD＝BC，DE＝CA，EF＝AB，求证：EF∥AB．
【分析】利用SSS证明△FDE≌△BCA，得∠F＝∠B，即可证明．
【解答】证明：在△FDE与△BCA中，
，
∴△FDE≌△BCA（SSS），
∴∠F＝∠B，
∴EF∥AB．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定等知识，证明△FDE≌△BCA是解题的关键．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝130°，求∠BAC的度数．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AE⊥BC，再求出∠CDE，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠DCE，根据角平分线的定义求出∠ACB，再根据等腰三角形两底角相等列式进行计算即可求出∠BAC．
解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一），
∵∠ADC＝130°，
∴∠CDE＝50°，
∴∠DCE＝90°﹣∠CDE＝40°，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠DCE＝80°．
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠ACB）＝20．
【点评】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形两底角相等的性质，角平分线的定义，是基础题，准确识图并熟记性质是解题的关键．
22．在①∠C＝∠F，②∠A＝∠E，③DF＝CB这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，点A、D、B、E在同一条直线上，AD＝BE，∠ADF＝∠CBE，若 ∠A＝∠E（答案不唯一） ，求证：FE＝AC．（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．）
【分析】由“ASA”可证△ABC≌△EDF，可得EF＝AC．
解：若∠A＝∠E，
∵AD＝BE，
∴AB＝DE，
∵∠ADF＝∠CBE，
∴∠FDE＝∠CBA，
在△ABC和△EDF中，
，
∴△ABC≌△EDF（ASA），
∴EF＝AC．
故答案为：∠A＝∠E（答案不唯一）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
23．如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，AD、BC的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为两个排污口．已知AE＝BE，∠AEB＝90°，AD⊥DC，BC⊥DC，点D、E、C在同一直线上，AD＝150米，BC＝350米，求两个排污口之间的水平距离DC．
【分析】根据ASA证明△ADE与△ECB全等，再利用全等三角形的性质解答即可．
解：∵∠AEB＝90°，AD⊥DC，BC⊥DC，
∴∠AEB＝∠ADE＝∠BCE＝90°，
∴∠AED+∠DAE＝90°，∠AED+∠BEC＝90°，∠BEC+∠EBC＝90°，
∴∠DAE＝∠CEB，∠AED＝∠EBC，
又∵AE＝BE，
∴△ADE≌△ECB（ASA），
∴AD＝CE，DE＝BC，
又∵AD＝150米，BC＝350米，
∴DC＝DE+CE＝BC+AD＝350+150＝500（米）．
答：两个排污口之间的水平距离DC为500米．
【点评】此题考查全等三角形的应用，关键是根据ASA证明△ADE与△ECB全等．
24．如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，分别交BC、AB于D、E，连接CE，BF平分∠ABC，交CE于F，若BE＝AC，∠ACE＝12°，求∠EFB的度数．
【分析】根据线段垂直平分线上的性质得到EB＝EC，根据等腰三角形的性质得到∠EBC＝∠ECB，根据三角形内角和定理、三角形的外角性质计算即可．
解：∵DE垂直平分BC，
∴EB＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵EB＝EC，BE＝AC，
∴AC＝EC，
∴∠AEC＝∠EAC＝×（180°﹣12°）＝84°，
∴∠EBC＝∠ECB＝∠AEC＝42°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠EBF＝∠CBF＝21°，
∴∠EFB＝∠AEC﹣∠EBF＝63°．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
25．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知：二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴
解得：n＝﹣7，m＝﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x﹣5），求另一个因式以及k的值．
【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式x2﹣4x+m的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式．所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2，因式是（x﹣5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是2，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．
解：设另一个因式为（2x+a），得2x2+3x﹣k＝（x﹣5）（2x+a）
则2x2+3x﹣k＝2x2+（a﹣10）x﹣5a
∴，
解得：a＝13，k＝65
故另一个因式为（2x+13），k的值为65．
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键．
2022-2023学年广东省梅州市丰顺县潭江中学八年级（下）开学数学试卷
一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
1．如果计算（x+a）（x﹣2）的结果是一个二项式，那么a的值是（ ）
A．1 B．2或0 C．3 D．4
2．已知三角形的两边长分别为3cm和6cm，则此三角形的第三边的长可能是（ ）
A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm
3．在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（1，2）
4．如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．北斗三号系统产生的时间基准可达到300万年误差1秒，创造了卫星授时的“中国精度”．北斗卫星授时精度为10ns（1s＝109ns），这个精度以s为单位表示为（ ）
A．10﹣10s B．10﹣9s C．10﹣8s D．1010s
6．下列运算中正确的是（ ）
A．x2•x5＝x10 B．（﹣x2）4＝﹣x8
C．（﹣xy2）2＝xy4 D．x5÷x3＝x2
7．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，a）和点B（b，﹣3）关于y轴对称，则ab的值（ ）
A．﹣1 B．1 C．6 D．﹣6
8．如图，AD是∠BAC的角平分线，点P在AD上，PM⊥AB于点M，PM＝3，则点P到AC的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2+1）（22+1）（24+1）…（216+1）的结果为（ ）
A．232﹣1 B．232+1 C．232 D．216
10．已知a，b为实数，下列说法：①若ab＜0，且a，b互为相反数，则＝﹣1；②若|a﹣b|+a﹣b＝0，则a﹣b＝0；③若a＜b，ab＜0且|a|＜|b|，则a+b＜0；④若a+b＜0，ab＞0，则|﹣2a﹣3b|＝2a+3b；⑤若|a|＞|b|，则（a+b）（a﹣b）＜0，其中正确个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11．在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于x轴对称点的坐标是（ ， ）．
12．已知am＝2，an＝3，则a2m+n的值为 ．
13．计算：m4÷m2＝ ．
14．如果2、5、m是某三角形三边的长，则等于 ．
15．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．△ABC的面积为20，AB＝12，BC＝8，则DE的长为 ．
16．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A2022B2022A2023的边长为 ．
17．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且CD＝3，则点D到AB边的距离为 ．
三、解答题：第18，19.20小题6分，第21，22，23小题9分，第24，25小题10分。
18．先化简，再求值：÷﹣•，其中x＝2．
19．先化简，再求值：，其中a＝﹣2．
20．如图，点B、C、D、F在一条直线上，FD＝BC，DE＝CA，EF＝AB，求证：EF∥AB．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝130°，求∠BAC的度数．
22．在①∠C＝∠F，②∠A＝∠E，③DF＝CB这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，点A、D、B、E在同一条直线上，AD＝BE，∠ADF＝∠CBE，若 ，求证：FE＝AC．（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．）
23．如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，AD、BC的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为两个排污口．已知AE＝BE，∠AEB＝90°，AD⊥DC，BC⊥DC，点D、E、C在同一直线上，AD＝150米，BC＝350米，求两个排污口之间的水平距离DC．
24．如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，分别交BC、AB于D、E，连接CE，BF平分∠ABC，交CE于F，若BE＝AC，∠ACE＝12°，求∠EFB的度数．
25．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知：二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴
解得：n＝﹣7，m＝﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x﹣5），求另一个因式以及k的值．
参考答案
一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
1．如果计算（x+a）（x﹣2）的结果是一个二项式，那么a的值是（ ）
A．1 B．2或0 C．3 D．4
【分析】先根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项，根据结果是一个二项式，即可求出a的值．
解：∵（x+a）（x﹣2）＝x2+（a﹣2）x﹣2a是一个二项式，
∴a﹣2＝0或﹣2a＝0，
∴a＝2或0．
故选：B．
【点评】本题考查了多项式乘多项式和多项式的定义，注意二项式的意思是什么．
2．已知三角形的两边长分别为3cm和6cm，则此三角形的第三边的长可能是（ ）
A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm
【分析】首先设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得6﹣3＜x＜6+3，再解不等式即可．
解：设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得：
6﹣3＜x＜6+3，
解得：3＜x＜9，各选项中，只有8cm符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
3．在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（1，2）
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得对应点坐标．
解：点A（﹣1，2）关于x轴对称的点的坐标为（﹣1，﹣2），
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点关于x轴对称的点的变化规律．
4．如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据线段垂直平分线性质得出BE＝AE，再求出BC即可．
解：∵DE是AB的垂直平分线，AE＝4，
∴BE＝AE＝4，
∵EC＝2，
∴BC＝BE+CE＝4+2＝6，
故选：C．
【点评】本题考查了垂直平分线的性质，能熟记线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解此题的关键．
5．北斗三号系统产生的时间基准可达到300万年误差1秒，创造了卫星授时的“中国精度”．北斗卫星授时精度为10ns（1s＝109ns），这个精度以s为单位表示为（ ）
A．10﹣10s B．10﹣9s C．10﹣8s D．1010s
【分析】由1s＝109ns，并根据同底数幂的除法运算法则进行计算．
解：∵1s＝109ns，
∴10ns＝10÷109
＝10﹣8s，
故选：C．
【点评】本题考查负整数指数幂，理解1s＝109ns，掌握同底数幂的除法运算法则是解题关键．
6．下列运算中正确的是（ ）
A．x2•x5＝x10 B．（﹣x2）4＝﹣x8
C．（﹣xy2）2＝xy4 D．x5÷x3＝x2
【分析】利用同底数幂的除法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
解：A、x2•x5＝x7，故A不符合题意；
B、（﹣x2）4＝x8，故B不符合题意；
C、（﹣xy2）2＝x2y4，故C不符合题意；
D、x5÷x3＝x2，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键对相应的运算法则的掌握．
7．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，a）和点B（b，﹣3）关于y轴对称，则ab的值（ ）
A．﹣1 B．1 C．6 D．﹣6
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
解：∵点A（﹣2，a）和点B（b，﹣3）关于y轴对称，
∴a＝﹣3，b＝2，
∴ab＝（﹣3）×2＝﹣6．
故选：D．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
8．如图，AD是∠BAC的角平分线，点P在AD上，PM⊥AB于点M，PM＝3，则点P到AC的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】过点P作PN⊥AC于N，根据角平分线的性质解答即可．
解：过点P作PN⊥AC于N，
∵AD是∠BAC的角平分线，PM⊥AB，PN⊥AC，PM＝3，
∴PN＝PM＝3，即点P到AC的距离是3，
故选：C．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
9．（2+1）（22+1）（24+1）…（216+1）的结果为（ ）
A．232﹣1 B．232+1 C．232 D．216
【分析】配上因式（2﹣1），连续利用平方差公式进行计算即可．
解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）…（216+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）…（216+1）
＝（24﹣1）（24+1）…（216+1）
＝（28﹣1）…（216+1）
＝232﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
10．已知a，b为实数，下列说法：①若ab＜0，且a，b互为相反数，则＝﹣1；②若|a﹣b|+a﹣b＝0，则a﹣b＝0；③若a＜b，ab＜0且|a|＜|b|，则a+b＜0；④若a+b＜0，ab＞0，则|﹣2a﹣3b|＝2a+3b；⑤若|a|＞|b|，则（a+b）（a﹣b）＜0，其中正确个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】分别根据绝对值的性质，相反数的定义对各小题进行逐一分析即可．
解：①∵ab＜0，且a，b互为相反数，
∴＝﹣1，本小题符合题意；
②∵|a﹣b|+a﹣b＝0，∴|a﹣b|＝b﹣a，∴a﹣b＜0，本小题不符合题意；
③∵a＜b，ab＜0，
∴a＜0＜b．
∵|a|＜|b|，
∴a+b＞0，本小题不符合题意；
④∵a+b＜0，ab＞0，
∴a＜0，b＜0，
∴﹣2a﹣3b＞0，
∴|﹣2a﹣3b|＝﹣2a﹣3b，本小题不符合题意；
⑤∵|a|＞|b|，
∴a2＞b2．
∵（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
∴（a+b）（a﹣b）＞0，本小题不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查的是实数，熟知绝对值的性质，相反数的定义是解题的关键．
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11．在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于x轴对称点的坐标是（ 1 ， ﹣2 ）．
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），据此即可求得点A（1，2）关于x轴对称的点的坐标．
解：∵点（1，2）关于x轴对称，
∴对称的点的坐标是（1，﹣2）．
故答案为（1，﹣2）．
【点评】本题主要考查了直角坐标系点的对称性质，比较简单．
12．已知am＝2，an＝3，则a2m+n的值为 12 ．
【分析】利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则进行整理，再代入相应的值运算即可．
解：当am＝2，an＝3时，
a2m+n
＝a2m×an
＝（am）2×an
＝22×3
＝4×3
＝12，
故答案为：12．
【点评】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
13．计算：m4÷m2＝ m2 ．
【分析】利用同底数幂的除法的法则进行运算即可．
解：m4÷m2
＝m4﹣2
＝m2．
故答案为：m2．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法，解答的关键是熟记同底数幂的除法的法则：底数不变，指数相减．
14．如果2、5、m是某三角形三边的长，则等于 4 ．
【分析】根据三角形三边的关系得到3＜m＜7，再根据二次根式的性质得原式＝|m﹣3|+|m﹣7|，然后根据m的取值范围去绝对值后合并即可．
解：∵2、5、m为三角形三边，
∴3＜m＜7，
∴原式＝|m﹣3|+|m﹣7|＝m﹣3﹣（m﹣7）＝m﹣3﹣m+7＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，二次根式的性质与化简：及绝对值的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
15．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．△ABC的面积为20，AB＝12，BC＝8，则DE的长为 2 ．
【分析】作DF⊥BC于F，根据角平分线的性质得到DF＝DE，根据三角形面积公式计算即可．
解：作DF⊥BC于F，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DF＝DE，
∴×AB×DE+×BC×DF＝20，即×12×DE+×8×DF＝20，
∴DF＝DE＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
16．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A2022B2022A2023的边长为 22022 ．
【分析】由OA1＝2，可求得，△A1B1A2的边长为2，△A2B2A3，的边长为2×2＝22，△A3B3A4的边长为22×2＝23…，可归纳得△AnBnAn+1＝2n，即可求得此题结果．
解：由OA1＝2，可求得，
△A1B1A2的边长＝OA1＝2，△A2B2A3，的边长＝OA2＝2×2＝22，△A3B3A4的边长＝OA3＝22×2＝23…，可归纳得△AnBnAn+1＝2n，
∴△A2022B2022A2023的边长为22022，
故答案为：22022．
【点评】此题考查了图形变化类规律归纳能力，关键是能根据图形进行猜想、验证、归纳规律．
17．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且CD＝3，则点D到AB边的距离为 3 ．
【分析】过点D作DE⊥AB，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD．
解：如图，过点D作DE⊥AB，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD＝3，
故，点D到AB边的距离是3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
三、解答题：第18，19.20小题6分，第21，22，23小题9分，第24，25小题10分。
18．先化简，再求值：÷﹣•，其中x＝2．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．
解：原式＝•（x+3）（x﹣3）﹣•
＝x+3﹣1
＝x+2，
当x＝2时，
原式＝2+2＝4．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
19．先化简，再求值：，其中a＝﹣2．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把a的值代入计算即可．
解：原式＝÷（﹣）
＝÷
＝•（a+1）
＝，
当a＝﹣2时，原式＝＝﹣1．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20．如图，点B、C、D、F在一条直线上，FD＝BC，DE＝CA，EF＝AB，求证：EF∥AB．
【分析】利用SSS证明△FDE≌△BCA，得∠F＝∠B，即可证明．
【解答】证明：在△FDE与△BCA中，
，
∴△FDE≌△BCA（SSS），
∴∠F＝∠B，
∴EF∥AB．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定等知识，证明△FDE≌△BCA是解题的关键．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝130°，求∠BAC的度数．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AE⊥BC，再求出∠CDE，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠DCE，根据角平分线的定义求出∠ACB，再根据等腰三角形两底角相等列式进行计算即可求出∠BAC．
解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一），
∵∠ADC＝130°，
∴∠CDE＝50°，
∴∠DCE＝90°﹣∠CDE＝40°，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠DCE＝80°．
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠ACB）＝20．
【点评】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形两底角相等的性质，角平分线的定义，是基础题，准确识图并熟记性质是解题的关键．
22．在①∠C＝∠F，②∠A＝∠E，③DF＝CB这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，点A、D、B、E在同一条直线上，AD＝BE，∠ADF＝∠CBE，若 ∠A＝∠E（答案不唯一） ，求证：FE＝AC．（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．）
【分析】由“ASA”可证△ABC≌△EDF，可得EF＝AC．
解：若∠A＝∠E，
∵AD＝BE，
∴AB＝DE，
∵∠ADF＝∠CBE，
∴∠FDE＝∠CBA，
在△ABC和△EDF中，
，
∴△ABC≌△EDF（ASA），
∴EF＝AC．
故答案为：∠A＝∠E（答案不唯一）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
23．如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，AD、BC的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为两个排污口．已知AE＝BE，∠AEB＝90°，AD⊥DC，BC⊥DC，点D、E、C在同一直线上，AD＝150米，BC＝350米，求两个排污口之间的水平距离DC．
【分析】根据ASA证明△ADE与△ECB全等，再利用全等三角形的性质解答即可．
解：∵∠AEB＝90°，AD⊥DC，BC⊥DC，
∴∠AEB＝∠ADE＝∠BCE＝90°，
∴∠AED+∠DAE＝90°，∠AED+∠BEC＝90°，∠BEC+∠EBC＝90°，
∴∠DAE＝∠CEB，∠AED＝∠EBC，
又∵AE＝BE，
∴△ADE≌△ECB（ASA），
∴AD＝CE，DE＝BC，
又∵AD＝150米，BC＝350米，
∴DC＝DE+CE＝BC+AD＝350+150＝500（米）．
答：两个排污口之间的水平距离DC为500米．
【点评】此题考查全等三角形的应用，关键是根据ASA证明△ADE与△ECB全等．
24．如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，分别交BC、AB于D、E，连接CE，BF平分∠ABC，交CE于F，若BE＝AC，∠ACE＝12°，求∠EFB的度数．
【分析】根据线段垂直平分线上的性质得到EB＝EC，根据等腰三角形的性质得到∠EBC＝∠ECB，根据三角形内角和定理、三角形的外角性质计算即可．
解：∵DE垂直平分BC，
∴EB＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵EB＝EC，BE＝AC，
∴AC＝EC，
∴∠AEC＝∠EAC＝×（180°﹣12°）＝84°，
∴∠EBC＝∠ECB＝∠AEC＝42°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠EBF＝∠CBF＝21°，
∴∠EFB＝∠AEC﹣∠EBF＝63°．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
25．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知：二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴
解得：n＝﹣7，m＝﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x﹣5），求另一个因式以及k的值．
【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式x2﹣4x+m的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式．所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2，因式是（x﹣5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是2，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．
解：设另一个因式为（2x+a），得2x2+3x﹣k＝（x﹣5）（2x+a）
则2x2+3x﹣k＝2x2+（a﹣10）x﹣5a
∴，
解得：a＝13，k＝65
故另一个因式为（2x+13），k的值为65．
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键．
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