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2022-2023学年广东省梅州市五华县华阳中学九年级（下）开学数学试卷(解析版)
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这是一份2022-2023学年广东省梅州市五华县华阳中学九年级（下）开学数学试卷(解析版)，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省梅州市五华县华阳中学九年级（下）开学数学试卷
一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
1．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，2）
3．与点P（﹣3，4）关于原点对称的点Q的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣4） B．（3，﹣4） C．（3，4） D．（4，﹣3）
4．抛物线y＝2（x﹣1）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3）
5．下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知x1，x2是方程x2﹣x﹣10＝0的两个实根，则x13﹣10x1+x2的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．21
7．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣x+m2﹣4＝0的常数项为0，则m的值等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．﹣4
8．关于二次函数y＝x2﹣6x+a+27，下列说法错误的是（ ）
A．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点（4，5），则a＝﹣5
B．当x＝12时，y有最小值a﹣9
C．x＝2对应的函数值比最小值大7
D．当a＜0时，图象与x轴有两个不同的交点
9．在关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0中，若a与c异号，则方程（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：
①2a+b＝0；②abc＜0；③9a+3b+c＞0；④3a+c＜0；⑤若m≠1，则m（am+b）﹣a＜b．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11．如图，已知点P是圆O上一点，以点P为圆心，OP为半径作弧，交圆O于点Q，则的度数为 度．
12．一个不透明的袋子里装有2个黄球，3个红球和5个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 ．
13．点M（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是 ．
14．在一个不透明的口袋中，装有2个黄球，3个红球和5个白球，它们除颜色外其他均相同，从袋中任意摸出一个球，是白球的概率是 ．
15．已知抛物线y＝x2﹣3x+m与x轴只有一个公共点，则m＝ ．
16．如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为6，点A（0，3），点B（5，0），点C（0，12），将线段OC绕点O顺时针旋转α（0°≤α≤90°），得线段OC′，OC′与弧MN交于点P，连PA，PB．则2PA+PB的最小值为 ．
17．如图是由四个直角边长分别为2和4的全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”飞镖板，小明站在投镖线上向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上），则针扎在阴影部分的概率是 ．
三、解答题：第18，19.20小题6分，第21，22，23小题9分，第24，25小题10分。
18．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE＝90°，AB＝1，求BD的长．
19．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A1B1C，再连接AA1，若∠1＝20°，求∠B的度数？
20．如图，在平面直角坐标系中，存在点A（﹣3，1）、点B（﹣2，0）．
（1）画出△ABO关于原点O对称的△A′B′D（点A与A′是对应点，点B与B′是对应点），并写出点A′、B′的坐标；
（2）连接AB′、BA′，求四边形ABA′B′的面积．
21．一个两位数，其个位上的数与十位上的数的和等于6，而个位与十位上的数的积等于这两位数的三分之一，求这个两位数．
22．田忌赛马的故事为我们熟知．小亮与小齐学习概率初步知识后设计了如下游戏：小亮手中有方块10、8、6三张扑克牌，小齐手中有方块9、7、5三张扑克牌．每人从各自手中取出一张牌进行比较，数字大的为本“局”获胜，每次取得牌不能放回．
（1）若每人随机取手中的一张牌进行比赛，求小齐本“局”获胜的概率；
（2）若比赛采用三局两胜制，即胜2局或3局者为本次比赛获胜者．当小亮的三张牌出牌顺序为先出6，再出8，最后出10时，小齐随机出牌应对，求小齐本次比赛获胜的概率．
23．如图：已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A的直线交两圆于C、D两点，过B 的直线交两圆于E、F两点，CD与EF交于点G，连接DF、CE．G为CD的中点．求证：CE＝DF．
24．如图1，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线l．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点E是对称轴l右侧抛物线上一点，且S△ADE＝2S△AOC，求点E的坐标；
（3）如图2，连接DC并延长交x轴于点F，设P为线段BF上一动点（不与B、F重合），过点P作PQ∥BD交直线BC于点Q，将直线PQ绕点P沿顺时针方向旋转45°后，所得的直线交DF于点R，连接QR．请直接写出当△PQR与△PFR相似时点P的坐标．
25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，＝，过点C作CE⊥AD，垂足为E，若AE＝3，DE＝，求∠ABC的度数．
参考答案
一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
1．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，2）
【分析】由二次函数的顶点式即可得出结果．
解：∵抛物线的顶点式为：y＝﹣（x+1）2﹣2，
∴顶点坐标为：（﹣1，﹣2），
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的顶点式．
3．与点P（﹣3，4）关于原点对称的点Q的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣4） B．（3，﹣4） C．（3，4） D．（4，﹣3）
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
解：与点P（﹣3，4）关于原点对称的点Q的坐标为（3，﹣4），
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
4．抛物线y＝2（x﹣1）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3）
【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
解：由y＝2（x﹣1）2+3，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，3），
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，记住：顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．
5．下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．
解：A、图形不是中心对称图形；
B、图形是中心对称图形；
C、图形不是中心对称图形；
D、图形不是中心对称图形，
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后能与自身重合．
6．已知x1，x2是方程x2﹣x﹣10＝0的两个实根，则x13﹣10x1+x2的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．21
【分析】根据题意利用根与系数关系求出两根之和与两根之积，原式变形后代入计算即可求出值．
解：∵x1，x2是方程x2﹣x﹣10＝0的两个实根，
∴x12﹣x1﹣10＝0，即x12＝x1+10，x1+x2＝1，x1x2＝﹣10，
则原式＝x1•x12﹣10x1+x2
＝x1•（x1+10）﹣10x1+x2
＝x12+10x1﹣10x1+x2
＝x12+x2
＝x1+x2+10
＝1+10
＝11．
故选：C．
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
7．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣x+m2﹣4＝0的常数项为0，则m的值等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．﹣4
【分析】根据一元二次方程的定义和常数项的定义得出m﹣2≠0且m2﹣4＝0，再求出m即可．
解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣x+m2﹣4＝0的常数项为0，
∴m﹣2≠0且m2﹣4＝0，
解得：m＝﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式和一元二次方程的定义，能得出m﹣2≠0和m2﹣4＝0是解此题的关键，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）．
8．关于二次函数y＝x2﹣6x+a+27，下列说法错误的是（ ）
A．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点（4，5），则a＝﹣5
B．当x＝12时，y有最小值a﹣9
C．x＝2对应的函数值比最小值大7
D．当a＜0时，图象与x轴有两个不同的交点
【分析】求出二次函数平移之后的表达式，将（4，5）代入，求出a即可判断A；将函数表达式化为顶点式，即可判断B；求出当x＝2时的函数值，减去函数最小值即可判断C；写出函数对应方程的根的判别式，根据a值判断判别式的值，即可判断D．
解：A、将二次函数向上平移10个单位，再向左平移2个单位后，
表达式为：，
若过点（4，5），
则，解得：a＝﹣5，故选项正确；
B、∵，开口向上，
∴当x＝12 时，y有最小值a﹣9，故选项正确；
C、当x＝2时，y＝a+16，最小值为a﹣9，a+16﹣（a﹣9）＝25，即x＝2对应的函数值比最小值大25，故选项错误；
D、△＝，当a＜0时，9﹣a＞0，
即方程有两个不同的实数根，即二次函数图象与x轴有两个不同的交点，故选项正确，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，涉及到二次函数的基本知识点，解题的关键是掌握二次函数的性质，以及与一元二次方程的关系．
9．在关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0中，若a与c异号，则方程（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【分析】由于a与c异号，则ac＞0，从而可判断Δ＞0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．
解：∵a与c异号，
∴ac＜0，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：
①2a+b＝0；②abc＜0；③9a+3b+c＞0；④3a+c＜0；⑤若m≠1，则m（am+b）﹣a＜b．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，可判断①，由抛物线开口方向，b＝﹣2a，抛物线与y轴交点位置可判断②，由图象可得x＝﹣1，y＜0，根据抛物线对称性可得x＝3，y＜0，进而判断③④，由x＝1时y取最大值可判断⑤．
解：∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，①正确，符合题意．
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵b＝﹣2a，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，②正确，符合题意．
由图象可得x＝﹣1时，y＜0，根据抛物线对称性可得x＝3时，y＜0，
∴9a+3b+c＜0，③错误，不符合题意．
∵x＝﹣1，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∵b＝﹣2a，
∴3a+c＜0，④正确，符合题意．
∵x＝1时，y取最大值，
∴am2+bm+c≤a+b+c，
∴m（am+b）﹣a＜b（m≠1），⑤正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11．如图，已知点P是圆O上一点，以点P为圆心，OP为半径作弧，交圆O于点Q，则的度数为 60 度．
【分析】连接OP、OQ、PQ，根据等边三角形的性质得到∠POQ＝60°，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理解答即可．
解：如图，连接OP、OQ、PQ，
由题意得：OP＝OQ＝PQ，
∴△OPQ为等边三角形，
∴∠POQ＝60°，
∴的度数为60°，
故答案为：60．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦之间的关系、等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线、得出△OPQ为等边三角形是解题的关键．
12．一个不透明的袋子里装有2个黄球，3个红球和5个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 ．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
解：∵袋子中装有10个小球，其中红球有3个，
∴从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是．
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．点M（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是 （3，﹣2） ．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
解：平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），
∴点M（﹣3，2）关于原点中心对称的点的坐标是（3，﹣2）．
故答案为：（3，﹣2）．
【点评】本题考查了关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．
14．在一个不透明的口袋中，装有2个黄球，3个红球和5个白球，它们除颜色外其他均相同，从袋中任意摸出一个球，是白球的概率是 ．
【分析】由题意可得，共有10可能的结果，其中从口袋中任意摸出一个球是白球的有5情况，利用概率公式即可求得答案．
解：∵从装有2个黄球、3个红球和5个白球的袋中任意摸出一个球有10种等可能结果，
其中摸出的球是白球的结果有5种，
∴从袋中任意摸出一个球，是白球的概率是＝，
故答案为
【点评】此题考查了概率公式，明确概率的意义是解答问题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．已知抛物线y＝x2﹣3x+m与x轴只有一个公共点，则m＝ ．
【分析】令y＝0，则关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0的根的判别式Δ＝0，据此列出关于m的新方程，通过解新方程即可求得m的值．
解：令y＝0，则当抛物线y＝x2﹣3x+m与x轴只有一个公共点时，关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的根的判别式Δ＝0，即（﹣3）2﹣4m＝0，
解得：m＝．
故答案是：．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，运用“二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点个数与系数的关系：当b2﹣4ac＝0时，只有一个交点”求解即可．
16．如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为6，点A（0，3），点B（5，0），点C（0，12），将线段OC绕点O顺时针旋转α（0°≤α≤90°），得线段OC′，OC′与弧MN交于点P，连PA，PB．则2PA+PB的最小值为 13 ．
【分析】根据题意可得，OA＝3，OP＝6，OC＝12，连接CP，可以证明△COP∽△POA，可得＝，即CP＝2AP，所以当C，P，B三点共线时，CP+PB最小，进而可得2PA+PB的最小值．
解：根据题意可知：
OA＝3，OP＝6，OC＝12，
连接CP，
∵∠COP为公共角，＝＝，
∴△COP∽△POA，
∴＝，
∴2PA+PB＝CP+PB，
∵CP+PB≥BC，
∴C，P，B三点共线时，CP+PB最小，
∴在Rt△COB中，BC＝＝13，
即2PA+PB的最小值为13．
故答案为：13．
【点评】本题考查了坐标与图形变换﹣旋转、最小值问题，解决本题的关键是C，P，B三点共线时，CP+PB最小．
17．如图是由四个直角边长分别为2和4的全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”飞镖板，小明站在投镖线上向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上），则针扎在阴影部分的概率是 ．
【分析】根据几何概率的求法，针头扎在阴影部分的概率为阴影部分与正方形的面积比，根据题意，可得阴影部分正方形的面积与大正方形的面积，进而可得答案．
解：根据题意，“赵爽弦图”中，四个全等的直角三角形的直角边长分别为2和4，
则阴影部分的正方形的边长为4﹣2＝2，即面积为4．
由勾股定理，可得大正方形的边长为，即面积为20．
故针扎在阴影部分的概率为．
故答案为：．
【点评】考查了概率的求法，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比；难点是得到两个正方形的边长．
三、解答题：第18，19.20小题6分，第21，22，23小题9分，第24，25小题10分。
18．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE＝90°，AB＝1，求BD的长．
【分析】由旋转的性质得：AB＝AD＝1，∠BAD＝∠CAE＝90°，再根据勾股定理即可求出BD．
解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转的到△ADE，点C和点E是对应点，
∴AB＝AD＝1，∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴BD＝＝．
∴BD的长为．
【点评】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理，掌握旋转的性质是解决问题的关键．
19．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A1B1C，再连接AA1，若∠1＝20°，求∠B的度数？
【分析】由将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A1B1C，再连接AA1，可得△ACA1是等腰直角三角形，又由∠1＝20°，即可求得∠CA1B1，继而求得答案．
解：根据旋转的性质可得：AC＝A1C，∠ACA1＝90°，∠B＝∠A1B1C，
∴∠CAA1＝∠CA1A＝45°，
∵∠1＝20°，
∴∠CA1B1＝∠CA1A﹣∠1＝45°﹣20°＝25°，
∴∠A1B1C＝90°﹣∠CA1B1＝65°，
∴∠B＝65°．
【点评】此题考查了旋转的性质以及等腰直角三角形性质．此题难度不大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．
20．如图，在平面直角坐标系中，存在点A（﹣3，1）、点B（﹣2，0）．
（1）画出△ABO关于原点O对称的△A′B′D（点A与A′是对应点，点B与B′是对应点），并写出点A′、B′的坐标；
（2）连接AB′、BA′，求四边形ABA′B′的面积．
【分析】（1）首先找出A、B的对称点，再顺次连接即可；
（2）计算出△ABB′的面积，四边形的面积等于△ABB′的面积的2倍．
解：（1）：如图所示：A′（3，﹣1）；B′（2，0）；
（2）∵（﹣2，0），B′（2，0），
∴BB′＝4，
四边形ABA′B′的面积：×4×1×2＝4．
【点评】此题主要考查了作图﹣﹣旋转变换，关键是掌握关于中心对称的点的坐标变化规律．
21．一个两位数，其个位上的数与十位上的数的和等于6，而个位与十位上的数的积等于这两位数的三分之一，求这个两位数．
【分析】设这个两位数十位上的数字为x，则个位上的数字为（6﹣x），根据个位与十位上的数的积等于这两位数的三分之一，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
解：设这个两位数十位上的数字为x，则个位上的数字为（6﹣x），
依题意，得：x（6﹣x）＝（10x+6﹣x），
整理，得：x2﹣3x+2＝0，
解得：x1＝1，x2＝2，
当x＝1时，10x+6﹣x＝15；
当x＝2时，10x+6﹣x＝24．
答：这个两位数为15或24．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．田忌赛马的故事为我们熟知．小亮与小齐学习概率初步知识后设计了如下游戏：小亮手中有方块10、8、6三张扑克牌，小齐手中有方块9、7、5三张扑克牌．每人从各自手中取出一张牌进行比较，数字大的为本“局”获胜，每次取得牌不能放回．
（1）若每人随机取手中的一张牌进行比赛，求小齐本“局”获胜的概率；
（2）若比赛采用三局两胜制，即胜2局或3局者为本次比赛获胜者．当小亮的三张牌出牌顺序为先出6，再出8，最后出10时，小齐随机出牌应对，求小齐本次比赛获胜的概率．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小齐本“局”获胜的情况，利用概率公式即可求得答案；
（2）据题意，小亮出牌顺序为6、8、10时，小齐随机出牌的情况有：（9，7，5），（9，5，7），（7，9，5），（7，5，9），（5，9，7），（5，7，9），又由小齐获胜的情况只有（7，9，5）一种，利用概率公式即可求得答案．
解：（1）画树状图得：
∵每人随机取一张牌共有9种情况，小齐获胜的情况有（8，9），（6，9），（6，7）共3种，
∴小齐获胜的概率为P1＝；
（2）据题意，小亮出牌顺序为6、8、10时，
小齐随机出牌的情况有6种情况：（9，7，5），（9，5，7），（7，9，5），（7，5，9），（5，9，7），（5，7，9），7 分
∵小齐获胜的情况只有（7，9，5）一种，
∴小齐获胜的概率为P2＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率与列举法求概率的知识．此题难度适中，注意理解题意是解此题的关键，注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．如图：已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A的直线交两圆于C、D两点，过B 的直线交两圆于E、F两点，CD与EF交于点G，连接DF、CE．G为CD的中点．求证：CE＝DF．
【分析】根据圆周角定理得到∠C＝∠D，于是得到△CEG≌△DFG，根据全等三角形的性质即可得到结论．
解：在⊙O1中，∠C和∠ABE所对的都是弧AE，
∴∠C＝∠B，
同理可在⊙O2中得出：∠D＝∠B，
∴∠C＝∠D
在△CEG和△DFG中
∴△CEG≌△DFG（ASA）
∴CE＝DF．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和圆周角定理，通过圆周角得出三角形全等是本题解题的关键．
24．如图1，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线l．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点E是对称轴l右侧抛物线上一点，且S△ADE＝2S△AOC，求点E的坐标；
（3）如图2，连接DC并延长交x轴于点F，设P为线段BF上一动点（不与B、F重合），过点P作PQ∥BD交直线BC于点Q，将直线PQ绕点P沿顺时针方向旋转45°后，所得的直线交DF于点R，连接QR．请直接写出当△PQR与△PFR相似时点P的坐标．
【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得二次函数的表达式；
（2）设E（m，m2﹣2m﹣3），过点E作EM∥x轴，交AD于点M，由条件可得△AOC的面积，从而可求得△ADE的面积，利用待定系数法可求得直线AD的解析式，则可用m表示出EM的长，从而可用m表示出△ADE的面积，从而可得到关于m的方程，可求得m的值；
（3）由C、D坐标可求得直线CD的解析式，从而可求得F点坐标，可求得OF＝OC，可得∠RFP＝∠RPQ＝45°，由△PQR 与△PFR 相似得到：△PQR∽△FRP 或△PQR∽△FPR，结合相似三角形的对应边成比例得到点P的坐标．
解：（1）将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得，解得，
∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设E（m，m2﹣2m﹣3），过点E作EM∥x轴，交AD于点M，（如图1）
由y＝x2﹣2x﹣3＝（ x﹣1）2﹣4得顶点D（1，﹣4），C（0，﹣3），
∴，
∴S△ADE＝2S△AOC＝3，
∵A（﹣1，0）、D（1，﹣4），
∴直线AD为：y＝﹣2x﹣2，
∵E（m，m2﹣2m﹣3），
∴M（，m2﹣2m﹣3），
∴EM＝，
∴S△ADE×4×EM＝2EM＝m2﹣1＝3，
解得m＝±2（其中m＝﹣2舍去），
∴E（2﹣3）；
（3）∵C（0，﹣3），D（1，﹣4），
∴直线CD的解析式为：y＝﹣x﹣3．
当y＝0时，x＝﹣3，
故F（﹣3，0），
∴OF＝OC＝3，
∴∠OFC＝45°，即∠PFR＝45°．
∵PQ∥BD，
∴∠FPQ≠90°，
∴∠FPR≠45°，
∴当△PQR 与△PFR 相似时：△PQR∽△FRP，△PQR∽△FPR，
则点P的坐标是：P1（，0）、P2（0，0）．
【点评】本题考查了二次函数综合题，解题时综合运用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，三角形面积的求法以及相似三角形的性质，注意分类讨论数学思想的应用，难度较大．
25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，＝，过点C作CE⊥AD，垂足为E，若AE＝3，DE＝，求∠ABC的度数．
【分析】作BF⊥CE于F，首先证得Rt△BCF≌Rt△CDE，从而判定四边形ABFE是矩形，然后利用锐角三角函数在Rt△CDE中求得∠D＝60°，从而确定答案．
解：作BF⊥CE于F，
∵∠BCF+∠DCE＝90°，∠D+∠DCE＝90°，
∴∠BCF＝∠D．
又BC＝CD，
∴Rt△BCF≌Rt△CDE．
∴BF＝CE．
又∵∠BFE＝∠AEF＝∠A＝90°，
∴四边形ABFE是矩形．
∴BF＝AE．
∴AE＝CE＝3，
在Rt△CDE中
∵
∴∠D＝60°
∵∠ABC+∠D＝180°
∴∠ABC＝120°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
2022-2023学年广东省梅州市五华县华阳中学九年级（下）开学数学试卷
一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
1．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，2）
3．与点P（﹣3，4）关于原点对称的点Q的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣4） B．（3，﹣4） C．（3，4） D．（4，﹣3）
4．抛物线y＝2（x﹣1）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3）
5．下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知x1，x2是方程x2﹣x﹣10＝0的两个实根，则x13﹣10x1+x2的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．21
7．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣x+m2﹣4＝0的常数项为0，则m的值等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．﹣4
8．关于二次函数y＝x2﹣6x+a+27，下列说法错误的是（ ）
A．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点（4，5），则a＝﹣5
B．当x＝12时，y有最小值a﹣9
C．x＝2对应的函数值比最小值大7
D．当a＜0时，图象与x轴有两个不同的交点
9．在关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0中，若a与c异号，则方程（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：
①2a+b＝0；②abc＜0；③9a+3b+c＞0；④3a+c＜0；⑤若m≠1，则m（am+b）﹣a＜b．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11．如图，已知点P是圆O上一点，以点P为圆心，OP为半径作弧，交圆O于点Q，则的度数为 度．
12．一个不透明的袋子里装有2个黄球，3个红球和5个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 ．
13．点M（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是 ．
14．在一个不透明的口袋中，装有2个黄球，3个红球和5个白球，它们除颜色外其他均相同，从袋中任意摸出一个球，是白球的概率是 ．
15．已知抛物线y＝x2﹣3x+m与x轴只有一个公共点，则m＝ ．
16．如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为6，点A（0，3），点B（5，0），点C（0，12），将线段OC绕点O顺时针旋转α（0°≤α≤90°），得线段OC′，OC′与弧MN交于点P，连PA，PB．则2PA+PB的最小值为 ．
17．如图是由四个直角边长分别为2和4的全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”飞镖板，小明站在投镖线上向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上），则针扎在阴影部分的概率是 ．
三、解答题：第18，19.20小题6分，第21，22，23小题9分，第24，25小题10分。
18．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE＝90°，AB＝1，求BD的长．
19．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A1B1C，再连接AA1，若∠1＝20°，求∠B的度数？
20．如图，在平面直角坐标系中，存在点A（﹣3，1）、点B（﹣2，0）．
（1）画出△ABO关于原点O对称的△A′B′D（点A与A′是对应点，点B与B′是对应点），并写出点A′、B′的坐标；
（2）连接AB′、BA′，求四边形ABA′B′的面积．
21．一个两位数，其个位上的数与十位上的数的和等于6，而个位与十位上的数的积等于这两位数的三分之一，求这个两位数．
22．田忌赛马的故事为我们熟知．小亮与小齐学习概率初步知识后设计了如下游戏：小亮手中有方块10、8、6三张扑克牌，小齐手中有方块9、7、5三张扑克牌．每人从各自手中取出一张牌进行比较，数字大的为本“局”获胜，每次取得牌不能放回．
（1）若每人随机取手中的一张牌进行比赛，求小齐本“局”获胜的概率；
（2）若比赛采用三局两胜制，即胜2局或3局者为本次比赛获胜者．当小亮的三张牌出牌顺序为先出6，再出8，最后出10时，小齐随机出牌应对，求小齐本次比赛获胜的概率．
23．如图：已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A的直线交两圆于C、D两点，过B 的直线交两圆于E、F两点，CD与EF交于点G，连接DF、CE．G为CD的中点．求证：CE＝DF．
24．如图1，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线l．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点E是对称轴l右侧抛物线上一点，且S△ADE＝2S△AOC，求点E的坐标；
（3）如图2，连接DC并延长交x轴于点F，设P为线段BF上一动点（不与B、F重合），过点P作PQ∥BD交直线BC于点Q，将直线PQ绕点P沿顺时针方向旋转45°后，所得的直线交DF于点R，连接QR．请直接写出当△PQR与△PFR相似时点P的坐标．
25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，＝，过点C作CE⊥AD，垂足为E，若AE＝3，DE＝，求∠ABC的度数．
参考答案
一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
1．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，2）
【分析】由二次函数的顶点式即可得出结果．
解：∵抛物线的顶点式为：y＝﹣（x+1）2﹣2，
∴顶点坐标为：（﹣1，﹣2），
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的顶点式．
3．与点P（﹣3，4）关于原点对称的点Q的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣4） B．（3，﹣4） C．（3，4） D．（4，﹣3）
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
解：与点P（﹣3，4）关于原点对称的点Q的坐标为（3，﹣4），
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
4．抛物线y＝2（x﹣1）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3）
【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
解：由y＝2（x﹣1）2+3，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，3），
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，记住：顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．
5．下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．
解：A、图形不是中心对称图形；
B、图形是中心对称图形；
C、图形不是中心对称图形；
D、图形不是中心对称图形，
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后能与自身重合．
6．已知x1，x2是方程x2﹣x﹣10＝0的两个实根，则x13﹣10x1+x2的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．21
【分析】根据题意利用根与系数关系求出两根之和与两根之积，原式变形后代入计算即可求出值．
解：∵x1，x2是方程x2﹣x﹣10＝0的两个实根，
∴x12﹣x1﹣10＝0，即x12＝x1+10，x1+x2＝1，x1x2＝﹣10，
则原式＝x1•x12﹣10x1+x2
＝x1•（x1+10）﹣10x1+x2
＝x12+10x1﹣10x1+x2
＝x12+x2
＝x1+x2+10
＝1+10
＝11．
故选：C．
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
7．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣x+m2﹣4＝0的常数项为0，则m的值等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．﹣4
【分析】根据一元二次方程的定义和常数项的定义得出m﹣2≠0且m2﹣4＝0，再求出m即可．
解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣x+m2﹣4＝0的常数项为0，
∴m﹣2≠0且m2﹣4＝0，
解得：m＝﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式和一元二次方程的定义，能得出m﹣2≠0和m2﹣4＝0是解此题的关键，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）．
8．关于二次函数y＝x2﹣6x+a+27，下列说法错误的是（ ）
A．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点（4，5），则a＝﹣5
B．当x＝12时，y有最小值a﹣9
C．x＝2对应的函数值比最小值大7
D．当a＜0时，图象与x轴有两个不同的交点
【分析】求出二次函数平移之后的表达式，将（4，5）代入，求出a即可判断A；将函数表达式化为顶点式，即可判断B；求出当x＝2时的函数值，减去函数最小值即可判断C；写出函数对应方程的根的判别式，根据a值判断判别式的值，即可判断D．
解：A、将二次函数向上平移10个单位，再向左平移2个单位后，
表达式为：，
若过点（4，5），
则，解得：a＝﹣5，故选项正确；
B、∵，开口向上，
∴当x＝12 时，y有最小值a﹣9，故选项正确；
C、当x＝2时，y＝a+16，最小值为a﹣9，a+16﹣（a﹣9）＝25，即x＝2对应的函数值比最小值大25，故选项错误；
D、△＝，当a＜0时，9﹣a＞0，
即方程有两个不同的实数根，即二次函数图象与x轴有两个不同的交点，故选项正确，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，涉及到二次函数的基本知识点，解题的关键是掌握二次函数的性质，以及与一元二次方程的关系．
9．在关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0中，若a与c异号，则方程（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【分析】由于a与c异号，则ac＞0，从而可判断Δ＞0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．
解：∵a与c异号，
∴ac＜0，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：
①2a+b＝0；②abc＜0；③9a+3b+c＞0；④3a+c＜0；⑤若m≠1，则m（am+b）﹣a＜b．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，可判断①，由抛物线开口方向，b＝﹣2a，抛物线与y轴交点位置可判断②，由图象可得x＝﹣1，y＜0，根据抛物线对称性可得x＝3，y＜0，进而判断③④，由x＝1时y取最大值可判断⑤．
解：∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，①正确，符合题意．
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵b＝﹣2a，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，②正确，符合题意．
由图象可得x＝﹣1时，y＜0，根据抛物线对称性可得x＝3时，y＜0，
∴9a+3b+c＜0，③错误，不符合题意．
∵x＝﹣1，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∵b＝﹣2a，
∴3a+c＜0，④正确，符合题意．
∵x＝1时，y取最大值，
∴am2+bm+c≤a+b+c，
∴m（am+b）﹣a＜b（m≠1），⑤正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11．如图，已知点P是圆O上一点，以点P为圆心，OP为半径作弧，交圆O于点Q，则的度数为 60 度．
【分析】连接OP、OQ、PQ，根据等边三角形的性质得到∠POQ＝60°，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理解答即可．
解：如图，连接OP、OQ、PQ，
由题意得：OP＝OQ＝PQ，
∴△OPQ为等边三角形，
∴∠POQ＝60°，
∴的度数为60°，
故答案为：60．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦之间的关系、等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线、得出△OPQ为等边三角形是解题的关键．
12．一个不透明的袋子里装有2个黄球，3个红球和5个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 ．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
解：∵袋子中装有10个小球，其中红球有3个，
∴从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是．
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．点M（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是 （3，﹣2） ．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
解：平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），
∴点M（﹣3，2）关于原点中心对称的点的坐标是（3，﹣2）．
故答案为：（3，﹣2）．
【点评】本题考查了关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．
14．在一个不透明的口袋中，装有2个黄球，3个红球和5个白球，它们除颜色外其他均相同，从袋中任意摸出一个球，是白球的概率是 ．
【分析】由题意可得，共有10可能的结果，其中从口袋中任意摸出一个球是白球的有5情况，利用概率公式即可求得答案．
解：∵从装有2个黄球、3个红球和5个白球的袋中任意摸出一个球有10种等可能结果，
其中摸出的球是白球的结果有5种，
∴从袋中任意摸出一个球，是白球的概率是＝，
故答案为
【点评】此题考查了概率公式，明确概率的意义是解答问题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．已知抛物线y＝x2﹣3x+m与x轴只有一个公共点，则m＝ ．
【分析】令y＝0，则关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0的根的判别式Δ＝0，据此列出关于m的新方程，通过解新方程即可求得m的值．
解：令y＝0，则当抛物线y＝x2﹣3x+m与x轴只有一个公共点时，关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的根的判别式Δ＝0，即（﹣3）2﹣4m＝0，
解得：m＝．
故答案是：．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，运用“二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点个数与系数的关系：当b2﹣4ac＝0时，只有一个交点”求解即可．
16．如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为6，点A（0，3），点B（5，0），点C（0，12），将线段OC绕点O顺时针旋转α（0°≤α≤90°），得线段OC′，OC′与弧MN交于点P，连PA，PB．则2PA+PB的最小值为 13 ．
【分析】根据题意可得，OA＝3，OP＝6，OC＝12，连接CP，可以证明△COP∽△POA，可得＝，即CP＝2AP，所以当C，P，B三点共线时，CP+PB最小，进而可得2PA+PB的最小值．
解：根据题意可知：
OA＝3，OP＝6，OC＝12，
连接CP，
∵∠COP为公共角，＝＝，
∴△COP∽△POA，
∴＝，
∴2PA+PB＝CP+PB，
∵CP+PB≥BC，
∴C，P，B三点共线时，CP+PB最小，
∴在Rt△COB中，BC＝＝13，
即2PA+PB的最小值为13．
故答案为：13．
【点评】本题考查了坐标与图形变换﹣旋转、最小值问题，解决本题的关键是C，P，B三点共线时，CP+PB最小．
17．如图是由四个直角边长分别为2和4的全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”飞镖板，小明站在投镖线上向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上），则针扎在阴影部分的概率是 ．
【分析】根据几何概率的求法，针头扎在阴影部分的概率为阴影部分与正方形的面积比，根据题意，可得阴影部分正方形的面积与大正方形的面积，进而可得答案．
解：根据题意，“赵爽弦图”中，四个全等的直角三角形的直角边长分别为2和4，
则阴影部分的正方形的边长为4﹣2＝2，即面积为4．
由勾股定理，可得大正方形的边长为，即面积为20．
故针扎在阴影部分的概率为．
故答案为：．
【点评】考查了概率的求法，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比；难点是得到两个正方形的边长．
三、解答题：第18，19.20小题6分，第21，22，23小题9分，第24，25小题10分。
18．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE＝90°，AB＝1，求BD的长．
【分析】由旋转的性质得：AB＝AD＝1，∠BAD＝∠CAE＝90°，再根据勾股定理即可求出BD．
解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转的到△ADE，点C和点E是对应点，
∴AB＝AD＝1，∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴BD＝＝．
∴BD的长为．
【点评】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理，掌握旋转的性质是解决问题的关键．
19．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A1B1C，再连接AA1，若∠1＝20°，求∠B的度数？
【分析】由将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A1B1C，再连接AA1，可得△ACA1是等腰直角三角形，又由∠1＝20°，即可求得∠CA1B1，继而求得答案．
解：根据旋转的性质可得：AC＝A1C，∠ACA1＝90°，∠B＝∠A1B1C，
∴∠CAA1＝∠CA1A＝45°，
∵∠1＝20°，
∴∠CA1B1＝∠CA1A﹣∠1＝45°﹣20°＝25°，
∴∠A1B1C＝90°﹣∠CA1B1＝65°，
∴∠B＝65°．
【点评】此题考查了旋转的性质以及等腰直角三角形性质．此题难度不大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．
20．如图，在平面直角坐标系中，存在点A（﹣3，1）、点B（﹣2，0）．
（1）画出△ABO关于原点O对称的△A′B′D（点A与A′是对应点，点B与B′是对应点），并写出点A′、B′的坐标；
（2）连接AB′、BA′，求四边形ABA′B′的面积．
【分析】（1）首先找出A、B的对称点，再顺次连接即可；
（2）计算出△ABB′的面积，四边形的面积等于△ABB′的面积的2倍．
解：（1）：如图所示：A′（3，﹣1）；B′（2，0）；
（2）∵（﹣2，0），B′（2，0），
∴BB′＝4，
四边形ABA′B′的面积：×4×1×2＝4．
【点评】此题主要考查了作图﹣﹣旋转变换，关键是掌握关于中心对称的点的坐标变化规律．
21．一个两位数，其个位上的数与十位上的数的和等于6，而个位与十位上的数的积等于这两位数的三分之一，求这个两位数．
【分析】设这个两位数十位上的数字为x，则个位上的数字为（6﹣x），根据个位与十位上的数的积等于这两位数的三分之一，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
解：设这个两位数十位上的数字为x，则个位上的数字为（6﹣x），
依题意，得：x（6﹣x）＝（10x+6﹣x），
整理，得：x2﹣3x+2＝0，
解得：x1＝1，x2＝2，
当x＝1时，10x+6﹣x＝15；
当x＝2时，10x+6﹣x＝24．
答：这个两位数为15或24．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．田忌赛马的故事为我们熟知．小亮与小齐学习概率初步知识后设计了如下游戏：小亮手中有方块10、8、6三张扑克牌，小齐手中有方块9、7、5三张扑克牌．每人从各自手中取出一张牌进行比较，数字大的为本“局”获胜，每次取得牌不能放回．
（1）若每人随机取手中的一张牌进行比赛，求小齐本“局”获胜的概率；
（2）若比赛采用三局两胜制，即胜2局或3局者为本次比赛获胜者．当小亮的三张牌出牌顺序为先出6，再出8，最后出10时，小齐随机出牌应对，求小齐本次比赛获胜的概率．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小齐本“局”获胜的情况，利用概率公式即可求得答案；
（2）据题意，小亮出牌顺序为6、8、10时，小齐随机出牌的情况有：（9，7，5），（9，5，7），（7，9，5），（7，5，9），（5，9，7），（5，7，9），又由小齐获胜的情况只有（7，9，5）一种，利用概率公式即可求得答案．
解：（1）画树状图得：
∵每人随机取一张牌共有9种情况，小齐获胜的情况有（8，9），（6，9），（6，7）共3种，
∴小齐获胜的概率为P1＝；
（2）据题意，小亮出牌顺序为6、8、10时，
小齐随机出牌的情况有6种情况：（9，7，5），（9，5，7），（7，9，5），（7，5，9），（5，9，7），（5，7，9），7 分
∵小齐获胜的情况只有（7，9，5）一种，
∴小齐获胜的概率为P2＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率与列举法求概率的知识．此题难度适中，注意理解题意是解此题的关键，注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．如图：已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A的直线交两圆于C、D两点，过B 的直线交两圆于E、F两点，CD与EF交于点G，连接DF、CE．G为CD的中点．求证：CE＝DF．
【分析】根据圆周角定理得到∠C＝∠D，于是得到△CEG≌△DFG，根据全等三角形的性质即可得到结论．
解：在⊙O1中，∠C和∠ABE所对的都是弧AE，
∴∠C＝∠B，
同理可在⊙O2中得出：∠D＝∠B，
∴∠C＝∠D
在△CEG和△DFG中
∴△CEG≌△DFG（ASA）
∴CE＝DF．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和圆周角定理，通过圆周角得出三角形全等是本题解题的关键．
24．如图1，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线l．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点E是对称轴l右侧抛物线上一点，且S△ADE＝2S△AOC，求点E的坐标；
（3）如图2，连接DC并延长交x轴于点F，设P为线段BF上一动点（不与B、F重合），过点P作PQ∥BD交直线BC于点Q，将直线PQ绕点P沿顺时针方向旋转45°后，所得的直线交DF于点R，连接QR．请直接写出当△PQR与△PFR相似时点P的坐标．
【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得二次函数的表达式；
（2）设E（m，m2﹣2m﹣3），过点E作EM∥x轴，交AD于点M，由条件可得△AOC的面积，从而可求得△ADE的面积，利用待定系数法可求得直线AD的解析式，则可用m表示出EM的长，从而可用m表示出△ADE的面积，从而可得到关于m的方程，可求得m的值；
（3）由C、D坐标可求得直线CD的解析式，从而可求得F点坐标，可求得OF＝OC，可得∠RFP＝∠RPQ＝45°，由△PQR 与△PFR 相似得到：△PQR∽△FRP 或△PQR∽△FPR，结合相似三角形的对应边成比例得到点P的坐标．
解：（1）将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得，解得，
∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设E（m，m2﹣2m﹣3），过点E作EM∥x轴，交AD于点M，（如图1）
由y＝x2﹣2x﹣3＝（ x﹣1）2﹣4得顶点D（1，﹣4），C（0，﹣3），
∴，
∴S△ADE＝2S△AOC＝3，
∵A（﹣1，0）、D（1，﹣4），
∴直线AD为：y＝﹣2x﹣2，
∵E（m，m2﹣2m﹣3），
∴M（，m2﹣2m﹣3），
∴EM＝，
∴S△ADE×4×EM＝2EM＝m2﹣1＝3，
解得m＝±2（其中m＝﹣2舍去），
∴E（2﹣3）；
（3）∵C（0，﹣3），D（1，﹣4），
∴直线CD的解析式为：y＝﹣x﹣3．
当y＝0时，x＝﹣3，
故F（﹣3，0），
∴OF＝OC＝3，
∴∠OFC＝45°，即∠PFR＝45°．
∵PQ∥BD，
∴∠FPQ≠90°，
∴∠FPR≠45°，
∴当△PQR 与△PFR 相似时：△PQR∽△FRP，△PQR∽△FPR，
则点P的坐标是：P1（，0）、P2（0，0）．
【点评】本题考查了二次函数综合题，解题时综合运用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，三角形面积的求法以及相似三角形的性质，注意分类讨论数学思想的应用，难度较大．
25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，＝，过点C作CE⊥AD，垂足为E，若AE＝3，DE＝，求∠ABC的度数．
【分析】作BF⊥CE于F，首先证得Rt△BCF≌Rt△CDE，从而判定四边形ABFE是矩形，然后利用锐角三角函数在Rt△CDE中求得∠D＝60°，从而确定答案．
解：作BF⊥CE于F，
∵∠BCF+∠DCE＝90°，∠D+∠DCE＝90°，
∴∠BCF＝∠D．
又BC＝CD，
∴Rt△BCF≌Rt△CDE．
∴BF＝CE．
又∵∠BFE＝∠AEF＝∠A＝90°，
∴四边形ABFE是矩形．
∴BF＝AE．
∴AE＝CE＝3，
在Rt△CDE中
∵
∴∠D＝60°
∵∠ABC+∠D＝180°
∴∠ABC＝120°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
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