2023 年数学中考一轮复习专题训练 勾股定理的应用 解答综合练习题(含解析)

2022-2023学年数学中考复习《勾股定理的应用》解答综合练习题（附答案）

1．生态兴则文明兴，生态衰则文明衰．“十三五”以来，青岛市坚持生态优先、绿色发展理念，持续改善生态环境．如图现有施工遗留的一处空地，计划改造成绿地公园，已知∠A＝90°，AB＝AD＝3米，BC＝10米，CD＝8米，已知每平方米的改造费用为200元，请问改造该区域需要花费多少元？

2．小亮用11块高度都是2cm的相同长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个正方形ABCD木板，截面如图所示．两木墙高分别为AE与CF，点B在EF上，求正方形ABCD木板的面积．

3．如图，一架梯子AB斜靠在一竖直的墙OA上，这时AO＝3m，∠OAB＝30°，梯子顶端A沿墙下滑至点C，使∠OCD＝60°，同时，梯子底端B也外移至点D．求BD的长度．（结果保留根号）[补充：直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半]

4．如图，四边形ABCD为某街心公园的平面图，经测量AC＝BC＝AD＝80米，BD＝80米，且∠C＝90°．

（1）求∠DAC的度数；

（2）若直线CA为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个监控装置来监控道路CA的车辆通行情况，已知摄像头能监控的最大距离为80米，求被监控到的道路长度为多少米？

5．为了提高人民群众的防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂上了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．如图，在一条笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离（AB的长）为800米，若在宣讲车P周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN方向行驶．

（1）请问村庄能否听到宣传？请说明理由；

（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是300米/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？

6．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当他把绳子拉直后，下端刚好接触地面，被拉直的绳子下端拉开5m（绳子下端与旗杆根部的距离），请你帮小明计算旗杆的高．

7．《九章算术》中“勾股”一章有记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问葭长几何．其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，求芦苇的长度．（1丈＝10尺）

解决下列问题：

（1）示意图中，线段AF的长为 　   　尺，线段EF的长为 　   　尺；

（2）求芦苇的长度．

8．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”（注：1步＝5尺）

译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，问绳索有多长．”

9．如图，一游船在水面上，河岸离水面的高度为5m工作人员站在岸边用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长BC为13m，工作人员以0.5m/s的速度拉绳子，10s后船移动到D点的位置（B，D，A三点在同一直线上），请你计算船向岸边移动的距离．（假设绳子是直的，结果保留根号）

10．育英中学有两个课外小组的同学同时步行到校外去采集植物标本，第一组的步行速度为30 m/min，第二组的步行速度为40 m/min，半时后，两组同学同时停下来，这时两组同学相距1500 m．

（1）试判断这两组同学行走的方向是否成直角；

（2）如果接下来这两组同学以原来的速度相向而行，多长时间后能相遇？

11．一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．

（1）若轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间为3小时，求轮船速度．

（2）C岛在A港的什么方向？

12．为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在图中AB所在的直线上建一图书馆，本社区有两所学校，分别在点C和点D处，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B．已知AB＝25km，CA＝15km，DB＝10km．问：图书室E应建在距点A多少米处，才能使它到两所学校的距离相等？

13．一棵高12m的大树被折断，折断处A距地面4.5m（点B为大树顶端着地处）．在大树倒下的方向停着一辆小轿车，小轿车距大树底部C的距离为6.5m，倒下的大树会砸到小轿车吗？通过计算说明理由．

14．学校校内有一块如图所示的三角形空地ABC，其中AB＝13米，BC＝14米，AC＝15米，AD⊥BC于点D，若BD的长度为x米．

（1）在Rt△ABD中，AD2＝　  ，在Rt△ACD中，AD2＝　 （用含x的代数式表示）；

（2）学校计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为60元，学校修建这个花园需要投资多少元？

15．如图，北泉路OM和长春路ON相交成30°角；沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点160米的A处坐落着向阳桥中学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁100米内受到噪声影响，已知有一台拖拉机正沿ON方向行驶，速度为5米秒．

（1）向阳桥中学是否受到噪声的影响，并说明理由；

（2）若向阳桥中学要受到噪声的影响，则这台拖拉机沿ON方向行驶时给向阳桥中学带来噪声影响的时间是多少？

16．甲同学在拼图探索活动中发现；用4个形状大小完全相同的直角三角形（直角边长分别为a，b，斜边长为c，可以拼成像图1那样的正方形，并由此得出了关于a2，b2，c2.的一个等式．

（1）请你写出这一结论：　   　，并给出验证过程；

（2）试用上述结论解决问题：如图2如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，分别以四边向外作正方形甲、乙，丙、丁，若甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，求“丁”的面积．

17．我市《道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过60km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测点A正前方30m的C处，2秒后又行驶到与车速检测点A相距50m的B处．请问这辆小汽车超速了吗？若超速，请求出超速了多少？

18．八（1）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝CE的高度，他们进行了如下操作：

①测得BD的长度为24米；

②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为30米；

③牵线放风筝的小明身高AB为1.68米．

（1）求风筝的高度CE；

（2）若小亮让风筝沿CD方向下降了8米到点M（即CM＝8米），则他往回收线多少米？

19．如图，一艘轮船以30海里/小时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以60海里/小时的速度由南向北移动，距台风中心20海里的圆形区域（包括边界）都属于台风区，当轮船到A处时，测得台风中心移动到位于点A正南方向的B处，且AB＝40海里．若轮船以原方向、原速度继续航行，求轮船从A点出发到最初遇到台风的时间．

20．有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆低端的距离或者∠1的大小来调整晾杆的高度，图2是晾衣架的侧面的平面示意图，AB和CD分别是两根长度不等的支撑杆，AO＝70cm，BO＝DO＝80cm．

（1）当BD＝120cm，求交叉点O离地面的高度；

（2）当∠1＝90°时，较高支撑杆的高AE多高？

参考答案

1．解：如图，连接BD，

在Rt△ABD中，由勾股定理得，

BD＝（米），

∵BD2+CD2＝62+82＝100，CB2＝100，

∴BD2+CD2＝CB2，

∴∠BDC＝90°，

∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BDC＝+＝9+24＝33（平方米），

∴200×33＝6600（元），

∴改造该区域需要花费6600元．

2．解：∵AE⊥EF，CF⊥EF，

∴∠AEB＝∠BFC＝90°，

∴∠EAB+∠ABE＝90°．

∵∠ABC＝90°，

∴∠ABE+∠CBF＝90°．

∴∠EAB＝∠CBF，

∵AB＝BC，

在△ABE和△BCF中，

，

∴△ABE≌△BCF（AAS），

∴AE＝BF＝2×5＝10（cm），

∵CF＝2×6＝12（cm）．

在Rt△BCF中，BC2＝BF2+CF2＝102+122＝244，

∴S正方形ABCD＝BC2＝244cm2，

即正方形ABCD木板的面积为244cm2．

3．解：在Rt△ABO中，∵AO＝3m，∠OAB＝30°，

∴OB＝＝m，

∴AB＝2m，

根据勾股定理知BO＝，

∵∠OCD＝60°，

∴∠ODC＝30°，

在△AOB和△DOC中，

，

∴△AOB≌△DOC（AAS），

∴OA＝OD，OC＝OB，

∴BD＝OD﹣OB＝3﹣．

4．解：（1）∵AC＝BC＝AD＝80米，BD＝80米，∠C＝90°．

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴AB＝＝＝80（米），∠CAB＝∠ABC＝45°，

∵BD＝80米，

在△ABD中，有AD2+AB2＝802+（80）2＝（80）2＝BD2，

∴△ABD是直角三角形，

∴∠BAD＝90°，

∴∠DAC＝90°+45°＝135°；

（2）过点D作DE⊥AC，交CA的延长线于E，作点A关于DE的对称点F，连接DF，如图：

由轴对称的性质，得：DF＝DA＝80，AE＝EF，

由（1）知，∠CAD＝135°，

∴∠DAE＝45°，

∴△ADE是等腰直角三角形，即AE＝DE，

在Rt△ADE中，有AE2+DE2＝802，

解得：AE＝40（米），

∴AF＝80（米），

∴被监控到的道路长度为80米．

5．解：（1）村庄能听到宣传，

理由：∵村庄A到公路MN的距离为800米＜1000米，

∴村庄能听到宣传；

（2）如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶QD点结束对村庄的影响，

则AP＝AQ＝1000米，AB＝800米，

∴BP＝BQ＝＝600（米），

∴PQ＝1200米，

∴影响村庄的时间为：1200÷300＝4（分钟），

∴村庄总共能听到4分钟的宣传．

6．解：如图，AB表示旗杆，AC表示拉展的绳子，设AB的长是xm，则AC的长是（x+1）m，

在Rt△ABC中AB2+BC2＝AC2，

∴x2+52＝（x+1）2，

整理得：x2+52＝x2+2x+1，

解得：x＝12，

答：旗杆的高是12m．

7．解：（1）由题意可得：AF＝AB＝5尺，EF＝1尺，

故答案为：5，1；

（2）设芦苇长EG＝AG＝x尺，

则水深FG＝（x﹣1）尺，

在Rt△AFG中，

52+（x﹣1）2＝x2，

解得：x＝13，

则EG＝13（尺），

答：芦苇长13尺．

8．解：设绳索有x尺长，

由题意得：102+（x+1﹣5）2＝x2，

解得：x＝14.5，

即绳索长14.5尺．

9．解：在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m，

∴AB＝＝12（m），

∵此人以0.5m/s的速度收绳，10s后船移动到点D的位置，

∴CD＝13﹣0.5×10＝8（m），

∴AD＝＝＝（m），

∴BD＝AB﹣AD＝（12﹣）（m）．

答：船向岸边移动了（12﹣）m．

10．解：（1）半小时以后，第一组的路程：30×30＝900（m），

第二组的路程：40×30＝1200（m），

∵9002+12002＝15002，

∴两组同学行走的夹角成直角；

（2）设xmin后两组相遇，

根据题意得30x+40x＝1500，

解得：x＝（min）．

答：经过min后才能相遇．

11．解：（1）由题意AD＝60km，

Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，得602+BD2＝1002．

∴BD＝80（km）．

∴CD＝BC﹣BD＝125﹣80＝45（km）．

∴AC＝＝75（km）．

75÷3＝25（km/h）．

答：轮船速度为25km/h；

（2）∵AB2+AC2＝1002+752＝15625，BC2＝1252＝15625，

∴AB2+AC2＝BC2．

∴∠BAC＝90°．

∴∠NAC＝180°﹣90°﹣48°＝42°．

∴C岛在A港的北偏西42°．

12．解：设AE＝xkm，则BE＝（25﹣x）km；

在Rt△ACE中，由勾股定理得：CE2＝AE2+AC2＝x2+152；

同理可得：DE2＝（25﹣x）2+102；

若CE＝DE，则x2+152＝（25﹣x）2+102；

解得：x＝10．

答：图书室E应该建在距A点10km处，才能使它到两所学校的距离相等．

13．解：倒下的大树不会砸到小轿车，

理由是：

在Rt△ABC中，

∵AC＝4.5m，AB＝12﹣4.5＝7.5（m），

∴BC＝＝＝6（m）．

又∵6＜6.5，

∴倒下的大树不会砸到小轿车．

14．解：（1）∵BC＝14米，BD＝x米，

∴CD＝（14﹣x）米，

∴在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝169﹣x2，

在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2＝152﹣（14﹣x）2＝29﹣x2+28x，

故答案为：169﹣x2，29﹣x2+28x；

（2）在Rt△ABD与Rt△ACD中，

∵AD2＝AB2﹣BD2，AD2＝AC2﹣CD2，

∴169﹣x2＝29﹣x2+28x，

解得x＝5，

∴AD2＝AB2﹣BD2＝132﹣52＝144，

∴AD＝12（米），

∴学校修建这个花园的费用为：×14×12×60＝5040（元）．

答：学校修建这个花园需要投资5040元．

15．解：（1）向阳桥中学会受到噪声影响，

理由：如图所示，过点A作AC⊥ON于点C，

∵∠MON＝30°，OA＝160米，

∴AC＝OA＝80米，

∵80m＜100m，

∴向阳桥中学会受到噪声影响；

（2）以A为圆心，半径长为100m画圆与ON交B，D两点，连接AB，AD，在B到D范围内，向阳桥中学都会受到影响，

∴AB＝AD＝100米，

由勾股定理得：BC＝＝＝60（米），

∴BD＝2BC＝120米，

∴影响的时间应是：t＝＝24（秒）；

答：拖拉机沿ON方向行驶时给向阳桥中学带来噪声影响的时间是24秒．

16．解：（1）结论：a2+b2＝c2．

验证：∵阴影部分的面积＝4×ab＝2ab，

阴影部分的面积＝（a+b）2﹣c2，

∴（a+b）2﹣c2＝2ab，

即a2+b2＝c2．

故答案为：a2+b2＝c2．

（2）连接AC，

由勾股定理得AB2+BC2＝AC2，AD2+CD2＝AC2，

∴甲的面积+乙的面积＝丙的面积+丁的面积，

∵甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，

∴丁的面积为30+16﹣17＝29．

17．解：这辆小汽车超速了，

理由：

由已知得AB＝50m，AC＝30m，

在直角三角形ABC中，

AB2＝AC2+BC2，

∴BC2＝AB2﹣AC2＝502﹣302＝402，

∴BC＝40m，

又＝72km/h＞60km/h，

∴这辆小汽车超速了：72﹣60＝12（km/h）．

18．解：（1）由题意可知AB⊥AE，CE⊥AE，BD⊥CE，

∴∠BAE＝∠AED＝∠BDE＝90°，

∴四边形ABDE是矩形，

∴DE＝AB＝1.68米，

∵∠BDC＝90°，BC＝30米，BD＝24米，

∴CD＝＝＝18（米），

∴CE＝CD+DE＝18+1.68＝19.68米，

答：风筝的高度CE为19.68米．

（2）如图，连接BM，则DM＝CD﹣CM＝18﹣8＝10（米），

∴BM＝＝＝26（米），

∴30﹣26＝4（米），

答：他往回收线4米．

19．解：如图，若轮船在t小时后到达A1时，最初遇到台风，此时台风中心到达B1，

则A1B1＝20海里，A1A＝30t，AB1＝40﹣60t，

由勾股定理知，（30t）2+（40﹣60t）2＝202，

解得：t1＝，t2＝，

则轮船从A点出发到最初遇到台风的时间是小时．

20．解：（1）设交叉点O离地面的高度为hcm，

∵BO＝DO＝80cm，BD＝120cm，

∴h＝＝20（cm），

答：交叉点O离地面的高度为20cm；

（2）∵∠1＝90°，OB＝OD，

∴△BOD是等腰直角三角形，

∴∠B＝45°，

∵AE⊥BE，

∴△ABE是等腰直角三角形，

∵AB＝AO+BO＝150（cm），

∴AE＝AB＝75（cm），

答：较高支撑杆的高AE为75cm．