2023年中考数学考前强化复习《二次函数与三角形综合题》精选练习(含答案)

2023年中考数学考前强化复习

《二次函数与三角形综合题》精选练习

1.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(﹣1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C(0，4).

(1)求此抛物线的解析式；

(2)设点P(2，n)在此抛物线上，AP交y轴于点E，连接BE，BP，请判断△BEP的形状，并说明理由；

(3)设抛物线的对称轴交x轴于点D，在线段BC上是否存在点Q，使得△DBQ成为等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.

2.如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为(0，8)，点C的坐标为(6，0).抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过点A、C，与AB交于点D.

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合)，点Q为线段AC上一个动点，AQ＝CP，连接PQ，设CP＝m，△CPQ的面积为S.

①求S关于m的函数表达式；

②当S最大时，在抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由.

3.如图，关于x的二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，抛物线的对称轴与x轴交于点D.

(1)求二次函数的表达式；

(2)在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在.请求出点P的坐标；

(3)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从 点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M，N同时停止运动，问点M，N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积.

4.如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，其中点B(3，0)，与y轴交于点C(0，3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)将抛物线向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内(包括△OBC的边界)，求h的取值范围；

(3)设点P是抛物线上且在x轴上方的任一点，点Q在直线l：x＝﹣3上，△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由.

5.如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax＋b与x轴交于A、B(3，0)两点，与y轴交于点C，且OC＝3OA，设抛物线的顶点为D.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点(其中点M在点N的右侧)，在x轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

6.如图1，在平面直角坐标系中，矩形ABCO ，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过矩形ABCO的顶点B(4，3)，C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线交于第四象限的F点．

(1)求该抛物线解析式与F点坐标；

(2)如图2，动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE以每秒个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA ，垂足为H , 连结MP ，MH.设点P的运动时间为t秒．若△PMH是等腰三角形，求出此时t的值．

7.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(3，0)，B(1，0)，交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动(点P不与A重合)，过点P作PD∥y轴交直线AC于点D.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；

(3)△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；

(4)在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在，请求出点M的坐标，若不存在请说明理由.

8.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx﹣3的图象与x轴交于点A(1，0)和B(3，0)，与y轴交于点C，D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于E.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，在抛物线的对称轴DE上求作一点M，使△AMC的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值.

(3)如图2，点P是x轴上的动点，过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G，使△FCG是等腰三角形，直接写出P的横坐标.

9.如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为(0，8)，点C的坐标为(6，0).抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过点A、C，与AB交于点D.

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合)，点Q为线段AC上一个动点，AQ＝CP，连接PQ，设CP＝m，△CPQ的面积为S.

①求S关于m的函数表达式；

②当S最大时，在抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由.

10.如图1，在平面直角坐标系中，点A(﹣8，0)、B(2，0)，C为y轴正半轴上点，sin∠CAB＝，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、B、C三点.

(1)求点C的坐标及抛物线的函数关系式；

(2)连接AC，点D在线段AC上方的抛物线上，过点D作DH⊥x轴于点H，交AC于点E，连接DC、AD，设点D的横坐标为m.

①当m为何值时，△DEC恰好是以DE为底边的等腰三角形？

②若△ACD和△ABC面积满足S△ACD＝S△ABC，求点D的坐标；

(3)如图2，M为OA中点，设P为线段AC上一点(不含端点)，连接MP，动点G从点M出发，沿线段MP以每秒1个单位的速度运动到P，再沿着线段PC以每秒个单位的速度运动到C后停止.若点G在整个运动过程中用时最少，请求出最少时间和此时点P的坐标.

参考答案

1.解：(1)∵抛物线上A、B、C三点坐标代入抛物线解析式y＝ax2＋bx＋c

得，，解得，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋3x＋4.

(2)结论：△BEP为等腰直角三角形，理由如下：

∵点P(2，n)在此抛物线上，

∴n＝﹣4＋6＋4＝6，

∴P点坐标为(2，6).

设直线AP解析式为y＝kx＋b，

把A、P两点坐标代入可得

，解得，，

∴直线AP的解析式为y＝2x＋2，(

令x＝0可得y＝2，则E点坐标为(0，2).

∵B(4，0)，P(2，6)，

∴BP＝2，BE＝2，EP＝2，

∴BE2＋EP2＝20＋20＝40＝BP2，且BE＝EP，

∴△BEP为等腰直角三角形.  

(3)存在.

∵y＝﹣x2＋3x＋4＝﹣(x﹣)2＋，

∴顶点的坐标为(，)，

∵OB＝OC＝4，∴BC＝4，∠ABC＝45°.  

以下分两种情况：

①若BQ＝DQ，BQ1⊥DQ1，∠BDQ＝45°，如图，过点Q1作Q1M⊥OB，垂足为M，

∵BQ1＝DQ1，BD＝4﹣＝，

∴BM＝Q1M＝，OM＝4﹣＝，

∴Q1的坐标为Q1(，).   

②若DQ2＝BD＝，DQ2⊥BD，易得BC所在的直线解析式为y＝﹣x＋4，

代入x＝，得y＝﹣＋4＝，

∴DQ2＝BD＝，∴△BDQ2是等腰直角三角形，

所以Q2的坐标为Q2(，)，

综上所述，Q的坐标为Q1(，)或Q2(，).

2.解：(1)将A、C两点坐标代入抛物线，得

，解得：，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋x＋8；

(2)①∵OA＝8，OC＝6，

∴AC＝10，

过点Q作QE⊥BC与E点，则sin∠ACB＝＝＝，

∴＝，

∴QE＝(10﹣m)，

∴S＝•CP•QE＝m×(10﹣m)＝﹣m2＋3m；

②∵S＝•CP•QE＝m×(10﹣m)＝﹣m2＋3m＝﹣(m﹣5)2＋，

∴当m＝5时，S取最大值；

在抛物线对称轴l上存在点F，使△FDQ为直角三角形，

∵抛物线的解析式为y＝﹣x2＋x＋8的对称轴为x＝，

D的坐标为(3，8)，Q(3，4)，

当∠FDQ＝90°时，F1(，8)，

当∠FQD＝90°时，则F2(，4)，

当∠DFQ＝90°时，设F(，n)，

则FD2＋FQ2＝DQ2，即＋(8﹣n)2＋＋(n﹣4)2＝16，

解得：n＝6±，

∴F3(，6＋)，F4(，6﹣)，

满足条件的点F共有四个，坐标分别为

F1(，8)，F2(，4)，F3(，6＋)，F4(，6﹣).

3.解：(1)把A(1，0)和C(0，3)代入y＝x2＋bx＋c得

解得

∴二次函数的表达式为y＝x2－4x＋3.

(2)令y＝0，则x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，

∴B(3，0)，

∴BC＝3.

点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图，

①当CP＝CB时，PC＝3，

∴OP＝OC＋PC＝3＋3或OP＝PC－OC＝3－3

∴P1(0，3＋3)，P2(0，3－3)；

②当BP＝BC时，OP＝OB＝3，

∴P3(0，－3)；

③当PB＝PC时，

∵OC＝OB＝3，

∴此时P与O重合，

∴P4(0，0).

综上所述，点P的坐标为(0，3＋3)或(0，3－3)或(0，－3)或(0，0).

(3)如图，设A运动时间为t，由AB＝2，得BM＝2－t，则DN＝2t，

∴S△MNB＝×(2－t)×2t＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1，

即当M(2，0)，N(2，2)或(2，－2)时△MNB面积最大，最大面积是1.

4.解：(1)把点B(3，0)，点C(0，3)代入抛物线y＝﹣x2＋bx＋c中得：

，解得：，

∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2＋2x＋3；

(2)y＝﹣x2＋2x＋3＝﹣(x﹣1)2＋4，即抛物线的对称轴是：x＝1，

设原抛物线的顶点为D，

∵点B(3，0)，点C(0，3).

易得BC的解析式为：y＝﹣x＋3，

当x＝1时，y＝2，

如图1，当抛物线的顶点D(1，2)，此时点D在线段BC上，

抛物线的解析式为：y＝﹣(x﹣1)2＋2＝﹣x2＋2x＋1，

h＝3﹣1＝2，

当抛物线的顶点D(1，0)，此时点D在x轴上，

抛物线的解析式为：y＝﹣(x﹣1)2＋0＝﹣x2＋2x﹣1，

h＝3＋1＝4，

∴h的取值范围是2≤h≤4；

(3)设P(m，﹣m2＋2m＋3)，

如图2，△PQB是等腰直角三角形，且PQ＝PB，

过P作MN∥x轴，交直线x＝﹣3于M，过B作BN⊥MN，

易得△BNP≌△PMQ，

∴BN＝PM，即﹣m2＋2m＋3＝m＋3，解得：m1＝0(图3)或m2＝1，

∴P(1，4)或(0，3).

5.解：(1)由y＝ax2﹣2ax＋b可得抛物线对称轴为x＝1，由B(3，0)可得A(﹣1，0)；

∵OC＝3OA，

∴C(0，3)；

依题意有：，解得；

∴y＝﹣x2＋2x＋3.

(2)存在.①DC＝DP时，由C点(0，3)和x＝1可得对称点为P(2，3)；

设P2(x，y)，

∵C(0，3)，P(2，3)，

∴CP＝2，

∵D(1，4)，

∴CD＝＜2，

②由①此时CD⊥PD，

根据垂线段最短可得，PC不可能与CD相等；

②PC＝PD时，∵CP22＝(3﹣y)2＋x2，DP22＝(x﹣1)2＋(4﹣y)2

∴(3﹣y)2＋x2＝(x﹣1)2＋(4﹣y)2

将y＝﹣x2＋2x＋3代入可得：

，∴；∴P2(，).

综上所述，P(2，3)或(，).

(3)存在，且Q1(1，0)，Q2(2﹣，0)，Q3(2＋，0)，Q4(﹣，0)，Q5(，0)；

①若Q是直角顶点，由对称性可直接得Q1(1，0)；

②若N是直角顶点，且M、N在x轴上方时；

设Q2(x，0)(x＜1)，

∴MN＝2Q1O2＝2(1﹣x)，

∵△Q2MN为等腰直角三角形；

∴y＝2(1﹣x)即﹣x2＋2x＋3＝2(1﹣x)；

∵x＜1，

∴Q2(2-，0)；

由对称性可得Q3(，0)；

③若N是直角顶点，且M、N在x轴下方时；

同理设Q4(x，y)，(x＜1)[来源:学.科.网Z.X.X.K]

∴Q1Q4＝1﹣x，而Q4N＝2(Q1Q4)，

∵y为负，

∴﹣y＝2(1﹣x)，

∴﹣(﹣x2＋2x＋3)＝2(1﹣x)，

∵x＜1，

∴x＝﹣，

∴Q4(-，0)；

由对称性可得Q5(＋2，0).

6.解：(1)∵矩形ABCO，B点坐标为(4，3)，

∴C点坐标为(0，3)，

∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过矩形ABCO的顶点B，C，

∴解得：

∴该抛物线解析式y＝－x2＋2x＋3，

设直线AD的解析式为y＝k1x＋b1，

∵A(4，0)，B(2，3)，

∴ ∴

∴y＝－x＋6，联立

∵F点在第四象限，

∴F(6，－3)

(2)如图①过M作MN⊥OA交OA于N，

∵△AMN∽△AEO，∴＝＝，∴AN＝t，MN＝t，

①如图③，当PM＝HM时，M在PH的垂直平分线上，

∴MN＝PH，∴MN＝t＝，∴t＝1；

②如图①，当HM＝HP时，MH＝3，MN＝t，HN＝OA－AN－OH＝4－2t，

在Rt△HMN中，MN2＋HN2＝MH2，

∴(t)2＋(4－2t)2＝32，解得：t1＝2(舍去)，t2＝；

③如图②，如图④，当PH＝PM时，

∵PM＝3，MT＝|3－t|，PT＝BC－CP－BT＝|4－2t|，

∴在Rt△PMT中，MT2＋PT2＝PM2，

即(3－t)2＋(4－2t)2＝32，解得：t1＝，t2＝.

综上所述：t＝或或1或.

7.解：(1)把点A(3，0)和点B(1，0)代入抛物线y＝x2＋bx＋c，

得：解得

∴y＝x2﹣4x＋3.

(2)把x＝0代入y＝x2﹣4x＋3，得y＝3.∴C(0，3).

又∵A(3，0)，

设直线AC的解析式为：y＝kx＋m，把点A，C的坐标代入得：

∴直线AC的解析式为：y＝﹣x＋3.

PD＝﹣x＋3﹣(x2﹣4x＋3)＝﹣x2＋3x＝﹣(x﹣)2＋.

∵0＜x＜3，∴x＝时，PD最大为.

即点P在运动的过程中，线段PD长度的最大值为.

(3)∵PD与y轴平行，且点A在x轴上，

∴要使△APD为直角三角形，只有当点P运动到点B时，此时点P的坐标为：(1，0).

(4)∵点A，B关于抛物线的对称轴对称，

∴作直线CB，交抛物线的对称轴于点M，则此时点M即为使得|MA﹣MC|最大的点，

∴|MA﹣MC|＝|MC﹣MB|＝BC.

∵B(1，0)，C(0，3)，

∴设BC的解析式为y＝k′x＋n，

则∴

即y＝﹣3x＋3.当x＝2时，y＝﹣3.

∴M(2，﹣3).

8.解：(1)将A(1，0)和B(3，0)代入y＝ax2＋bx﹣3得：

，解得，

∴抛物线的解析式y＝﹣x2＋4x﹣3；

(2)连接BC交直线DE于M′，如答图1：

抛物线的解析式y＝﹣x2＋4x﹣3中令x＝0得y＝﹣3，令y＝0得x＝1或3，

∴C(0，﹣3)，A(1，0)，B(3，0)，且顶点D(2，1)，对称轴x＝2，

∴AC＝，BC＝3，

△AMC的周长最小，即是AM＋CM最小，而M在对称轴上，

∴AM＝BM，AM＋CM最小就是BM＋CM最小，

此时M与M′重合，AM＋CM最小值即是BC的长度即AM＋CM最小值为3，

∴△AMC的周长最小为3＋，

设直线BC解析式为y＝kx＋n，将C(0，﹣3)，B(3，0)代入得：

，解得，

∴直线BC解析式为y＝x﹣3，令x＝2得y＝1，

∴M(2，1)；

(3)设P(m，0)，

∵过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G，

∴F(m，﹣m2＋4m﹣3)，G(m，m﹣3)，

而C(0，﹣3)，

∴CF2＝m2＋(﹣m2＋4m)2，CG2＝m2＋m2＝2m2，FG2＝(﹣m2＋3m)2，

△FCG是等腰三角形，分三种情况：

①CF＝CG时，m2＋(﹣m2＋4m)2＝2m2，解得m＝0或m＝3或m＝5，

m＝0时F、G与C重合，舍去；m＝3时，F、G与B重合，舍去，

∴m＝5，P(5，0)，

②CF＝FG时，m2＋(﹣m2＋4m)2＝(﹣m2＋3m)2，解得m＝0(舍去)或m＝4，

∴P(4，0)，

③CG＝FG时，2m2＝(﹣m2＋3m)2，解得m＝0(舍去)或m＝3﹣或m＝3＋，

∴P(3﹣，0)或P(3＋，0)，

总上所述，△FCG是等腰三角形，P的坐标是：(5，0)或(4，0)或(3﹣，0)或(3＋，0).

9.解：(1)将A、C两点坐标代入抛物线，得

，解得：，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋x＋8；

(2)①∵OA＝8，OC＝6，∴AC＝10，过点Q作QE⊥BC与E点，

则sin∠ACB＝＝＝，

∴＝，∴QE＝(10﹣m)，

∴S＝•CP•QE＝m×(10﹣m)＝﹣m2＋3m；

②∵S＝•CP•QE＝m×(10﹣m)＝﹣m2＋3m＝﹣(m﹣5)2＋，

∴当m＝5时，S取最大值；

在抛物线对称轴l上存在点F，使△FDQ为直角三角形，

∵抛物线的解析式为y＝﹣x2＋x＋8的对称轴为x＝，

D的坐标为(3，8)，Q(3，4)，

当∠FDQ＝90°时，F1(，8)，

当∠FQD＝90°时，则F2(，4)，

当∠DFQ＝90°时，设F(，n)，

则FD2＋FQ2＝DQ2，

即＋(8﹣n)2＋＋(n﹣4)2＝16，解得：n＝6±，

∴F3(，6＋)，F4(，6﹣)，

满足条件的点F共有四个，坐标分别为

F1(，8)，F2(，4)，F3(，6＋)，F4(，6﹣).

10.解：(1)∵A(﹣8，0)，

∴OA＝8，

∵sin∠CAB＝，

∴OC＝6，AC＝10，即C(0，6).

设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，将A，B，C点坐标代入函数解析式，得

，解得，

抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x＋6；

(2)①∵A(﹣8，0)，C(0，6)，

∴AC的解析式为y＝x＋6，

设D(m，﹣m2﹣m＋6)，E(m， m＋6)，

∴DE=﹣m2﹣m＋6﹣(m＋6)＝﹣m2﹣3m，

过点C作CF⊥DH

，

∵DC＝EC，

∴DF=DE，

∴﹣m2﹣m＋6﹣6＝(﹣m2﹣3m)，

解得m1＝0(舍)m2＝﹣4，

当m＝﹣2时，△DEC恰好是以DE为底边的等腰三角形，

②S△ABC＝×10×6＝30，

∴(﹣m2﹣3m)×8＝×30，化简，得m2＋8m＋12＝0，

∴m1＝﹣2，m2＝﹣6，

∴D1(﹣2，9)，D2(﹣6，6)；

(3)∵M为OA的中点，

∴M(﹣4，0)，

∴t＝PM＋CP，

过C作CN∥AB，过点P作PE⊥CN

，

∵sin∠CAB＝，

∴sin∠PCE＝sin∠CAB＝，

∴PE＝CP，

∴t＝PM＋CP＝PM＋PE，

要使t最小，只要M，P，E三点共线即可，

过点M作MH⊥CN，交AC于点P1，

此时MH＝OC＝6，最少时间是6秒，

当x＝﹣4时，y＝×(﹣4)＋6＝3，P(﹣4，3).