2023年中考数学考前强化复习《几何旋转问题》精选练习(含答案)

2023年中考数学考前强化复习

《几何旋转问题》精选练习

一              、选择题

1.如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别(　　)

A.4，30°    B.2，60°      C.1，30°    D.3，60°

2.如图，∠ABC＝80°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，0.5OB长为半径作⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转(    )

A.50°     B.50°或110°    C.60°或120°    D.50°或100°

3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将其绕B点顺时针旋转一周，则分别以BA，BC为半径的圆形成一个圆环(阴影部分)，为求该圆环面积，只需测量一条线段长度即可，这条线段是(      )

A.AD             B.AB              C.AC               D.BD

4.如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b(a＞b)，M在BC边上，且BM＝b，连接AM，MF，MF交CG于点P， 将△ABM绕点A旋转至△ADN，将△MEF绕点F旋转至△NGF.

给出以下五个结论：

①∠AND＝∠MPC；②CP＝；③△ABM≌△NGF；④S四边形AMFN＝a2＋b2；⑤A，M，P，D四点共圆.

其中正确的个数是(    )

A.2          B.3         C.4       D.5

5.如图，把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是(  )

A.6             B.6                C.3             D.3＋3

6.如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线.将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG.

则下列结论：

①四边形AEGF是菱形； ②△AED≌△GED；③∠DFG＝112.5°；④BC＋FG＝1.5；

其中正确的结论是(    )

A.①②③④       B.①②③     C.①②      D.② 

7.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B，将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与AB，AC分别交于点E，F时，下列结论中错误的是（　　）

A．AE+AF=AC         B．∠BEO+∠OFC=180°

C．OE+OF=BC      D．S四边形AEOF=S△ABC

8.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至 y轴的正半轴上的A′处，若AO=OB=2，则阴影部分面积为（   ）

二              、填空题

9.如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′(点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点)，点B′恰好落在BC边上，则∠C＝    .

10.如图，将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在弧AC上，点C的对应点为E，则图中阴影部分的面积为          .

11.如图，将边长为的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形A′B′C′D′，则图中阴影部分面积为　   　平方单位.

12.如图，直线y＝x＋与x轴、y轴分别交于点A，B，当直线绕点A顺时针方向旋转到与x轴首次重合时，点B运动的路径的长度是       .

13.如图，菱形OABC的顶点A的坐标为(2，0)，∠COA＝60°，将菱形OABC绕坐标原点O逆时针旋转120°得到菱形ODEF，则图中阴影部分的面积为          ．

14.如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ(0°＜θ＜90°)，PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G.

则下列结论中正确的是      ．

(1)EF＝OE；

(2)S四边形OEBF：S正方形ABCD＝1：4；

(3)BE＋BF＝OA；

(4)在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE＝；

(5)OG•BD＝AE2＋CF2．

三              、解答题

15.已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠MON＝90°.

(1)如图1，连接AM，BN，求证：△AOM和△BON全等：

(2)如图2，将△MON绕点O顺时针旋转，当点N恰好在AB边上时，求证：BN2＋AN2＝2ON2.

16.如图，在等腰Rt△ACB中，∠ACB是直角，AC＝BC，把一个45°角的顶点放在C处，两边分别与AB交于E，F两点．

(1)将所得△ACE以C为中心，按逆时针方向旋转到△BCG，试求证：△EFC≌△GFC；

(2)若AB＝10，AE∶BF＝3∶4，求EF的长．

17.如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上(不与点A，B重合)，点F在BC边上(不与点B，C重合).

第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；

第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；

依此操作下去……

(1)图2中的三角形EFD是经过两次操作后得到的，其形状为       ，求此时线段EF的长；

(2)若经过三次操作可得到四边形EFGH.

①请判断四边形EFGH的形状为        ，此时AE与BF的数量关系是         .

②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围.

18.如图，△ABC是边长为4 cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6 cm，点D从点O出发，沿OM的方向以1 cm/s的速度运动，当D不与A点重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE.

(1)求证：△CDE是等边三角形；

(2)点D运动时间为t，当6<t<10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由；

(3)当点D在射线OM上运动时，是否存在以D，E，B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．

参考答案

1.B.

2.B

3.C.

4.D.

5.A

6.B.

7.C.

8.D.

9.答案为：105°.

10.答案为：＋.

11.答案为：6﹣2.

12.答案为：π.

13.答案为：4π﹣2．

14.答案为：(1)(2)(3)(5).

15.(1)证明：∵∠AOB＝∠MON＝90°，

∴∠AOB＋∠AON＝∠MON＋∠AON，

即∠AOM＝∠BON，

∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，

∴OA＝OB，OM＝ON，

∴△AOM≌△BON(SAS)，

∴AM＝BN；

(2)证明：连接AM，

∵∠AOB＝∠MON＝90°，

∴∠AOB-∠AON＝∠MON-∠AON，

即∠AOM＝∠BON，

∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，

∴OA＝OB，OM＝ON，

∴△AOM≌△BON(SAS)，

∴∠MAO＝∠NBO＝45°，AM＝BN，

∴∠MAN＝90°，

∴AM2＋AN2＝MN2，

∵△MON是等腰直角三角形，

∴MN2＝2ON2，

∴BN2＋AN2＝2ON2.

16.解：(1)由旋转知：△BCG≌△ACE.

∴CG＝CE，∠BCG＝∠ACE.

∵∠ACE＋∠BCF＝45°，

∴∠BCG＋∠BCF＝45°，

即∠GCF＝∠ECF＝45°，

而CF为公共边，

∴△EFC≌△GFC(SAS)；

(2)连接FG.

由△BCG≌△ACE知：∠CBG＝∠A＝45°，

∴∠GBF＝∠CBG＋∠CBF＝90°，

由△EFC≌△GFC知：EF＝GF.

设BG＝AE＝3x，BF＝4x，

则在Rt△GBF中，GF＝5x，

∴EF＝GF＝5x，

∴AB＝3x＋5x＋4x＝10，

∴AB＝，

∴EF＝5x＝.　

17.解：(1)等边三角形；

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝CD＝BC＝AB，∠A＝∠B＝∠C＝90°.

∵ED＝FD，

∴△ADE≌△CDF(HL)，

∴AE＝CF，BE＝BF.

∴△BEF是等腰直角三角形.

设BE的长为x，则EF＝x，AE＝4－x，

∵在Rt△AED中，AE2＋AD2＝DE2，DE＝EF，

∴(4－x)2＋42＝(x)2，解得x1＝－4＋4，x2＝－4－4(不合题意，舍去)，

∴EF＝x＝(－4＋4)＝－4＋4.

(2)①正方形，AE=BF；

②∵AE＝x，∴BE＝4－x.

∵在Rt△BEF中，EF2＝BF2＋BE2，AE＝BF，

∴y＝EF2＝(4－x)2＋x2＝2x2－8x＋16，

∵点E不与点A，B重合，点F不与点B，C重合，

∴0＜x＜4.

∵y＝2x2－8x＋16＝2(x－2)2＋8，

∴当x＝2时y有最小值8，

当x＝0或4时，有最大值16，

∴y的取值范围是8≤y＜16.

18.解：(1)∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，

∴∠DCE＝60°，DC＝EC，

∴△CDE是等边三角形；

(2)存在，当6＜t＜10时，

由旋转的性质得，BE＝AD，

∴C△DBE＝BE＋DB＋DE＝AB＋DE＝4＋DE，

由(1)知，△CDE是等边三角形，

∴DE＝CD，

∴C△DBE＝CD＋4，

由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，

此时，CD＝2 cm，

∴△BDE的最小周长＝CD＋4＝2＋4(cm)；

(3)存在．

①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，

∴当点D与点B重合时，不符合题意；

②当0≤t<6时，

由旋转可知，∠ABE＝60°，∠BDE<60°，

∴∠BED＝90°，

由(1)可知，△CDE是等边三角形，

∴∠DEC＝60°，

∴∠CEB＝30°.

∵∠CEB＝∠CDA，

∴∠CDA＝30°.

∵∠CAB＝60°，

∴∠ACD＝∠ADC＝30°，

∴DA＝CA＝4，

∴OD＝OA－DA＝6－4＝2，

∴t＝2÷1＝2 s；

③当6＜t＜10时，由∠DBE＝120°＞90°，

∴此时不存在；

④当t＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE＝60°，

又由(1)知∠CDE＝60°，

∴∠BDE＝∠CDE＋∠BDC＝60°＋∠BDC，

而∠BDC＞0°，

∴∠BDE＞60°，

∴∠BDE＝90°，∠BCD＝30°，

∴BD＝BC＝4，

∴OD＝14 cm，

∴t＝14÷1＝14 s，

综上所述：当t＝2或14 s时，以D，E，B为顶点的三角形是直角三角形．