2023年中考数学考前强化复习《直角三角形》精选练习(含答案)

2023年中考数学考前强化复习

《直角三角形》精选练习

一              、选择题

1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE是BC的垂直平分线，点E是垂足.已知DC＝8，AD＝4，则图中长为4的线段有(  )

A.4条        B.3条          C.2条          D.1条

2.直角三角形的三边为a﹣b，a，a＋b且a、b都为正整数，则三角形其中一边长可能为(　　)

A.61                         B.71                        C.81                             D.91

3.如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM＝4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为(　　)

A.2         B.2         C.4              D.4

4.如图，∠AOB＝150°，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E.若OD＝4，则PE的长为(　　)

A.2          B.2.5          C.3          D.4

5.如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，在斜边CB上取点M，N(不包含C、B两点)，且tanB＝tanC＝tan∠MAN＝1，设MN＝x，BM＝n，CN＝m，则以下结论能成立的是(　　)

A.m＝n         B.x＝m＋n         C.x＞m＋n         D.x2＝m2＋n2

6.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF＝(　　)

A.         B.         C.         D.

7.如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处.已知AB＝8，BC＝10，则tan∠EFC的值为(　　)

A.              B.               C.                D.

8.如图，圆柱形纸杯高8 cm，底面周长为12 cm，在纸杯内壁离杯底2 cm的点C处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁正好在纸杯外壁，离杯上沿2 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为(　　)

A.2       B.6       C.10      D.以上答案都不对

二              、填空题

9.如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，AB＝9cm，D是BC延长线上一点，且AC＝DC，则AD＝　     　cm.

10.如图，AC＝4，点B是线段AC的中点，直线l过点C且与AC的夹角为60°，则直线l上有点P，使得∠APB＝30°，则PC的长为        ．

11.如图，已知矩形ABCD中，点E是BC边上的点，BE＝2，EC＝1，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F.

则下列结论：①△ADF≌△EAB；②AF＝BE；③DF平分∠ADC；④sin∠CDF＝.

其中正确的结论是　   　.(把正确结论的序号都填上)

12.在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则sin∠BOD的值等于　   　.

13.如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若四边形ABCD的面积是24 cm2，则AC的长是________.(有一组邻边相等的长方形是正方形)

14.平面直角坐标系中的任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，x2)，把d(P1，P2)＝|x1﹣x2|＋|y1﹣y2|称为P1，P2两点间的直角距离．

(1)若点P1(1，2)，P2(3，4)，则d(P1，P2)＝　　　　　　；

(2)点M(2，3)到直线y＝x＋2上的点的最小直角距离是　　　　　　．

三              、解答题

15.如图所示，等边△ABC的边长为12cm，动点P以每秒2cm的速度从A向B匀速运动，动点Q以每秒1cm的速度从B向C匀速运动，两动点同时出发，当点P到达点B时，所有运动停止.设运动的时间为x秒.

(1)当运动时间为1秒时，PB＝　   　，BQ＝　   　；

(2)运动多少秒后，△PBQ恰好为等边三角形？

(3)运动多少秒后，△PBQ恰好为直角三角形？

16.如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m.假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
 

17.如图,在矩形ABCD中,AE平分∠BAD,交BC于E，过E做EF⊥AD于F,连接BF交AE于P,连接PD．

（1）求证：四边形ABEF是正方形；

（2）如果AB=4，AD=7，求tan∠ADP的值．

18.如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD＝60km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？

参考答案

1.B

2.C.

3.C.

4.A.

5.D.

6.D.

7.A

8.C.

9.答案为：18.

10.答案为：4或2．

11.答案为：①②.

12.答案为：.

13.答案为：4 cm.

14.答案为：4；1．

15.解：(1)由题意t＝1时，PA＝2cm，BQ＝1cm，

∵AB＝12cm，∴PB＝10cm.

(2)当BP＝BQ时，∵∠B＝60°，

∴△PBQ是等边三角形，

∴12﹣2t＝t，解得t＝4s，

答：运动4s时，△PBQ是等边三角形.

(3)①当∠PQB＝90°时，∵∠B＝60°，

∴∠BPQ＝30°，

∴PB＝2BQ，

∴12﹣2t＝2t，解得t＝3，

②当∠BPQ＝90°时，∵∠BQP＝30°，

∴BQ＝2PB，

∴t＝2(12﹣2t)，

解得t＝4.8，

综上所述，当t＝3s或4.8s时，△PBQ是直角三角形.

16.解：作AB⊥MN，垂足为B
 

在 RtΔABP中，∵∠ABP＝90°，∠APB＝30°， AP＝160，
∴ AB＝AP＝80
∵点 A到直线MN的距离小于100m，

∴这所中学会受到噪声的影响.
如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，

那么AC＝100(m)，

由勾股定理得： BC2＝1002﹣802＝3600，

∴ BC＝60.
同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，

那么AD＝100(m)，BD＝60(m)，

∴CD＝120(m).
拖拉机行驶的速度为：18km/h＝5m/s，t＝120m÷5m/s＝24s.
答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒.

17.（1）证明：∵四边形ABCDABCD是矩形，

∴∠FAB=∠ABE=90°，AF∥BE，

∵EF⊥AD，

∴∠FAB=∠ABE=∠AFE=90°，

∴四边形ABEF是矩形，

∵AE平分∠BAD，AF∥BE，

∴∠FAE=∠BAE=∠AEB，

∴AB=BE，

∴四边形ABEF是正方形；

（2）解：过点P作PH⊥AD于H，如图所示：

∵四边形ABEF是正方形，

∴BP=PF，BA⊥AD，∠PAF=45°，

∴AB∥PH，

∵AB=4，∴AH=PH=2，

∵AD=7，∴DH=AD﹣AH=7﹣2=5，

在Rt△PHD中，∠PHD=90°．∴tan∠ADP==．

18.解：∵AB＝100km，AD＝60km，

∴在Rt△ABD中，根据勾股定理，

得BD＝80km，

则台风中心经过80÷20＝4小时从B移动到D点；

如图，∵距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，

∴人们要在台风中心到达E点之前撤离，

∵BE＝BD﹣DE＝80﹣30＝50km，

∴游人在＝2.5小时内撤离才可脱离危险．