高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示课时作业

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示课时作业，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共15小题）
1. 下列不是向量的是
A. 力B. 速度C. 质量D. 加速度

2. 两个非零向量相等，则下面不一定成立的是
A. 它们的方向相同B. 它们的大小相同
C. 它们的起点和终点相同D. 它们的负向量相等

3. 已知 M−2,7，N10,−2，点 P 是线段 MN 上的点，且 PN=MP，则 P 点的坐标为
A. −14,16B. 22,−11C. 6,1D. 4,52

4. 若向量 a=1,1，b=2,5，c=3,x 满足 8a−b⋅c=30，则 x=
A. 6B. 5C. 4D. 3

5. 平面直角坐标系中，已知点 A，B，C 的坐标分别为 0,1，1,0，4,2，且四边形 ABCD 为平行四边形，那么 D 点的坐标为
A. 3,3B. −5,1C. 3,−1D. −3,3

6. 已知平行四边形三个顶点的坐标分别为 −1,0，3,0，1,−5，则第四个顶点的坐标是
A. 1,5 或 5,5
B. 1,5 或 −3,−5
C. 5,−5 或 −3,−5
D. 1,5 或 5,−5 或 −3,−5

7. 设 AB=2,3，BC=m,n，CD=−1,4，则 DA 等于
A. 1+m,7+nB. −1−m,−7−n
C. 1−m,7−nD. −1+m,−7+n

8. 已知 e1， e2 是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是
A. e1， e1+ e2B. e1−2 e2， e2−2 e1
C. e1−2 e2，4 e2−2 e1D. e1+ e2， e1− e2

9. 已知点 A，B，C 是函数 y=2sinωx+π3，ω>0 的图象和函数 y=2sinωx−π6，ω>0 图象的连续三个交点，若 △ABC 是锐角三角形，则 ω 的取值范围为
A. π2,+∞B. π4,+∞C. 0,π2D. 0,π4

10. 在 △ABC 中，已知 A2,3，B8,−4，点 G2,−1 在中线 AD 上，且 AG=2GD 而，则点 C 的坐标是
A. −4,2B. −4,−2C. 4,−2D. 4,2

11. 在 △ABC 中，A=π2，AB=AC=2，有下述四个结论：
①若 G 为 △ABC 的重心，则 AG=13AB+13AC；
②若 P 为 BC 边上的一个动点，则 AP⋅AB+AC 为定值 2；
③若 M，N 为边 BC 上的两个动点，且 MN=2，则 AM⋅AN 的最小值为 32；
④已知 P 为 △ABC 内一点，若 BP=1，且 AP=λAB+μAC，则 λ+3μ 的最大值为 2．
其中所有正确结论的编号是
A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④

12. 若直线 l:2x2b+a+ya+b=1 经过第一象限内的点 P1a,1b，则 ab 的最大值为
A. 76B. 4−22C. 5−23D. 6−32

13. 如图，四边形 ABCD 是正方形，延长 CD 至点 E，使得 DE=CD．若 P 为线段 DC 上的点，CP=PD，且 AP=mAE+nAB，则 m−n=
A. 1B. 2C. −1D. −12

14. 已知直角坐标系中点 A0,1，向量 AB=−4,−3，BC=−7,−4，则点 C 的坐标为
A. 11,8B. 3,2C. −11,−6D. −3,0

15. 已知向量 BA=12,32，BC=32,12，则 ∠ABC=
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 120∘

二、填空题（共6小题）
16. 已知点 A2,5 和点 B4,7，点 P 在 y 轴上，若 ∣PA∣+∣PB∣ 的值最小，则点 P 的坐标为 ．

17. 如图，四边形 ABCD 为正方形，△BCE 为等腰直角三角形．⑴ 图中与 AB 共线的向量有 ；⑵ 图中与 AB 相等的向量有 ；⑶ 图中与 AB 模相等的向量有 ；⑷ 图中与 EC 相等的向量有 ．

18. 已知 A，B 都是数轴上的点，A3，且 AB 的坐标为 −2，则点 B 的坐标为 ．

19. 在等腰梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB=4，CD=2，∠A=60∘，G 为对角线 AC 上一点，且 AG⋅AB=6，过 G 的直线分别交两腰 AD，BC 于 M，N 两点，若 AC=mAM+nAN，则 1m+1n+1 的最小值为 ．

20. 已知 a,b 是平面向量的一组基底，若 m=xa+yb，则称有序实数对 x,y 为向量 m 在基底 a,b 下的坐标．给定一个平面向量 p，已知 p 在基底 a,b 下的坐标为 1,2，那么 p 在基底 a−b,a+b 下的坐标为 ．

21. 已知点 O0,0，A12,5，B4,7，若 λOA−μOB=3AB（λ,μ∈R），则 λ+μ= ．

三、解答题（共6小题）
22. 已知 A3,−4，B6,−3，C5−m,−4−m，用向量方法求解：
（1）若 AB，BC，AC 能构成三角形，求实数 m 应满足的条件；
（2）在 △ABC 中，若 ∠A=π2，求实数 m 的值．

23. 在如图田字格中，以图中的结点为向量的起点或终点．
（1）写出与 A1A2 相等的向量；
（2）写出与 A1B2 平行的向量；
（3）写出 A1A3 的负向量．

24. 已知向量 AB=2−k,−1，AC=1,k．
（1）若 △ABC 为直角三角形，求 k 的值；
（2）若 △ABC 为等腰直角三角形，求 k 的值．

25. 已知 e1，e2 是平面内两个不共线的非零向量，AB=2e1+e2，BE=−e1+λe2，EC=−2e1+e2，且 A，E，C 三点共线．
（1）求实数 λ 的值；
（2）已知点 D2,4，e1=−2,−1，e2=−2,2，若 A，B，C，D 四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点 A 的坐标．

26. 已知数轴上四点 A，B，C，D 的坐标分别是 −4，−2，c，d．
（1）若 AC 的坐标为 5，求 c 的值；
（2）若 BD=6，求 d 的值；
（3）若 AC=−3AD，求证：3CD=−4AC．

27. 在平面直角从标系 xOy 中，设 A1,2，B4,5，OP=mOA+AB m∈R．
（1）求使得点 P 在函数 y=x2+x−3 的图象上的 m 的值．
（2）以 O，A，B，P 为顶点的四边形能否成为平行四边形?若能，求出相应的 m 的值；若不能，请说明理由．
答案
1. C
【解析】质量只有大小，没有方向，不是向量．
2. C
3. D
4. C
5. A
6. D
7. B
8. C
【解析】因为 4e2−2e1=−2e1−2e2，从而 e1−2e2 与 4e2−2e1 共线．
9. A
【解析】因为 △ABC 为对称图形，
所以 BM⊥AM，M 为 AC 中点，
若 △ABC 为锐角三角形，
所以 ∠ABM<45∘，
tan∠ABM AM AC=T，AM=12AC=12T，
y=2sinωx+π3=2sinωx−π6，
ωx+π3+ωx−π6=π，（ωx+π3 和 ωx−π6 关于 x=π2 对称），
2ωx=56π，ωx=512π 代入 y 中，
y=2sin512π−π6=2sinπ4=1，
所以根据对称性 BM=2y=2，
所以 AM解得 ω>π2．
10. B
【解析】依题意可知，点 G 是 △ABC 的重心，其坐标为 x1+x2+x33,y1+y2+y33．
11. A
12. B
13. D
【解析】由题意，设正方形 ABCD 的边长为 1，建立平面直角坐标系如图所示，
则 A0,0，B1,0，C1,1，D0,1，E−1,1，
所以 AB=1,0，AE=−1,1，AD=0,1，
所以 AP=mAE+nAB=n−m,m，
又因为 P 为 CD 的中点，
所以 AP=DP+AD=12AB+AD=12,0+0,1=12,1，
所以 n−m=12,m=1, 解得 m=1,n=32,
所以 m−n=−12．
14. C
15. A
【解析】由已知条件得 ∣BA∣=∣BC∣=1，BA⋅BC=34+34=32，
所以 cs∠ABC=BA⋅BC∣BA∣∣BC∣=32，又 ∠ABC∈0,π，
所以 ∠ABC=30∘．
16. 0,173
17. BE，DC，CD，EB，BA，AE，EA，DC，BE，DC，CD，BE，EB，BA，AD，DA，BC，CB，BD
【解析】由平面中的位置关系及大小确定向量间的关系．
18. 1
【解析】设点 B 的坐标为 x，则 AB 的坐标为 x−3=−2，解得 x=1．
19. 43
【解析】根据题意，如图：
作 DE∥BC，由于 ∠A=60∘，且 AE=AB−CD=2，
又因为 ABCD 为等腰梯形，
所以 AD=2，
又由 ∠ADC=120∘，则有 AC=23，
同时有 ∠CAD=∠CAB=30∘，
因为 AG⋅AB=6，则有 AG⋅AB=AGABcs∠CAB=6，
则有 AG=3，即 G 是 AC 的中点，
则有 AC=2AG，
又由 G，M，N 三点共线，
则有 AG=λAM+μANλ+μ=1，
而 AC=2AG 且 AC=mAM+nAN，
则有 m=2λ，n=2μ，
故有 m+n=2，
1m+1n+1=13×1m+1m+1m+n+1=13×2+n+1m+mn+1≥43,
当且仅当 m2=n+12 时，1m+1n+1 的最小值为 43．
20. −12,32
【解析】由 p 在基底 a,b 下的坐标为 1,2，得 p=a+2b．
设 p 在基底 a−b,a+b 下的坐标为 m,n，
则 p=ma−b+na+b，
所以 p=m+na+n−mb，
所以 m+n=1,n−m=2, 解得 m=−12,n=32,
所以 p 在基底 a−b,a+b 下的坐标为 −12,32．
21. −6
【解析】由已知得 λOA−μOB=λ12,5−μ4,7=12λ−4μ,5λ−7μ，
3AB=3−8,2=−24,6，
因为 λOA−μOB=3AB，
则 12λ−4μ=−24,5λ−7μ=6, 解得：λ=−3,μ=−3,
所以 λ+μ=−6，
故答案为：−6．
22. （1） AB=3,1，AC=2−m,−m，若 A，B，C 能构成三角形，则 AB 与 AC 不平行，
即 −3m≠2−m，m≠−1．
（2） 若 ∠A=π2，则 AB⋅AC=0，
即 32−m−m=0，m=32．
23. （1） A2A3，B1B2，B2B3，C1C2，C2C3．
（2） A1C3，A2B3，B1C2，B2C3，B2A1，B3A2，C2B1，C3B2，C3A1．
（3） A3A1，B3B1，C3C1．
24. （1） AB=2−k,−1，AC=1,k⇒BC=AC−AB=k−1,k+1．
若 ∠A=90∘，则 AB⊥AC⇒k=1；
若 ∠B=90∘，则 AB⊥BC⇒k2−2k+3=0，无解；
若 ∠C=90∘，则 AC⊥BC⇒k2+2k−1=0⇒k=−1±2．
综上所述，当 k=1 时，△ABC 是以 A 为直角顶点的直角三角形；
当 k=−1±2 时，△ABC 是以 C 为直角顶点的直角三角形．
（2） 当 k=1 时，AB=1,−1，AC=1,1⇒∣AB∣=∣AC∣=2；
当 k=−1+2 时，AC=1,−1+2，BC=−2+2,2⇒∣AC∣2=4−22，∣BC∣2=8−42，∣AC∣≠∣BC∣；
当 k=−1−2 时，AC=1,−1−2，BC=−2−2,−2⇒∣AC∣2=4+22，∣BC∣2=8+42，∣AC∣≠∣BC∣．
综上所述，当 k=1 时，△ABC 是以 BC 为斜边的等腰直角三角形．
25. （1） AE=AB+BE=2e1+e2+−e1+λe2=e1+1+λe2.
因为 A，E，C 三点共线，
所以存在实数 k，使得 AE=kEC，
即 e1+1+λe2=k−2e1+e2，
得 1+2ke1+1+λ−ke2=0，
因为 e1，e2 是平面内两个不共线的非零向量，
所以 1+2k=0,1+λ−k=0.
解得 k=−12，λ=−32．
（2） 因为 A，B，C，D 四点按顺时针顺序构成平行四边形，
所以 AD=BC，
设 Ax,y，则 AD=2−x,4−y，
因为 BC=BE+EC=−3e1−12e2=6,3+1,−1=7,2，
所以 2−x=7,4−y=2. 解得 x=−5,y=2.
所以点 A 的坐标为 −5,2．
26. （1） 因为 AC 的坐标为 5，
所以 c−−4=5，
所以 c=1．
（2） 因为 BD=6，所以 ∣d−−2∣=6，
即 d+2=6 或 d+2=−6，所以 d=4 或 d=−8．
（3） 因为 AC 的坐标为 c+4，AD 的坐标为 d+4，AC=−3AD，
所以 c+4=−3d+4，即 c=−3d−16．
所以 3CD 的坐标为 3d−c=3d−3c=3d−3−3d−16=12d+48，
−4AC 的坐标为 −4c−−4=−4c−16=−4−3d−16−16=12d+48，
所以 3CD=−4AC．
27. （1） 设 Px,x2+x−3．
依题意，有 x,x2+x−3=m1,2+3,3=m+3,2m+3，
所以 x=m+3,x2+x−3=2m+3,
解得 m=−2 或 m=−3．
（2） 能．
设 Px,y，
依题意，有 x,y=m+3,2m+3，
所以 x=m+3,y=2m+3.
①在平行四边形 OAPB 中，OA=BP，即 1,2=x−4,y−5，
所以 x=5，y=7，
所以 m=2．
②在平行四边开 OABP 中，OA=PB，
即 1,2+4−x,5−y，
所以 x=3，y=3，
所以 m=0．
综上，符合题意的 m 值为 0 或 2．