华师大版九年级上册第21章 二次根式21.1 二次根式综合训练题

考向03分式与二次根式—基础巩固

【知识梳理】

考点一、分式的有关概念及性质
1．分式
设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.
2.分式的基本性质
　　（M为不等于零的整式）.
3．最简分式
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.
方法指导：

分式的概念需注意的问题：
　　(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；
　　（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；
　　（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．
　　（4）分式有无意义的条件：在分式中，
　　　　 ①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0．
　　　　 ②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0．
　　　　 ③当B≠0且A = 0时，分式的值为零．

考点二、分式的运算
1．基本运算法则
　　分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:
　（1）加减运算     ±=      

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.

 　    ；

异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.

（2）乘法运算  

两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.

（3）除法运算  

两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.
　（4）乘方运算   （分式乘方）

分式的乘方，把分子分母分别乘方．
2．零指数    .
3．负整数指数 　
4．分式的混合运算顺序
　  先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．
5．约分
　  把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．

约分需明确的问题：
　　(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；
　　(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积．
    6．通分
　　根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．

通分注意事项：
　　(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积．
  　(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．
    (3)确定最简公分母的方法：
　　最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；
　　最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.
    方法指导：

分式运算的常用技巧

（1）顺序可加法：有些异分母式可加,最简公分母很复杂,如果采用先通分再可加的方法很繁琐.如果先把两个分式相加减,把所得结果与第三个分式可加减,顺序运算下去,极为简便.

(2)整体通分法：当整式与分式相加减时,一般情况下,常常把分母为1的整式看做一个整体进行通分,依此方法计算,运算简便.

(3)巧用裂项法：对于分子相同、分母是相邻两个连续整数的积的分式相加减，分式的项数是比较多的，无法进行通分，因此，常用分式进行裂项.

(4)分组运算法: 当有三个以上的异分母分式相加减时,可考虑分组,原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数,且值相同或为倍数关系,这样才能使运算简便.

(5)化简分式法：有些分式的分子、分母都异常时如果先通分，运算量很大.应先把每一个分别化简，再相加减.

（6）倒数法求值（取倒数法）.

（7）活用分式变形求值.

(8)设k求值法(参数法)

(9)整体代换法.

(10)消元代入法.

考点三、分式方程及其应用
1．分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法
解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．
3．分式方程的增根问题
(1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根；
(2)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．
4．分式方程的应用

列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．
方法指导：
解分式方程注意事项：

（1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；

（2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．

列分式方程解应用题的基本步骤：
　　(1)审——仔细审题，找出等量关系；
　　(2)设——合理设未知数；
　　(3)列——根据等量关系列出方程；
　　(4)解——解出方程；
　　(5)验——检验增根；
　　(6)答——答题．

考点四、二次根式的主要性质

1.；

2.；

3.；

4. 积的算术平方根的性质：；

5. 商的算术平方根的性质：.

6.若，则.

方法指导：

   与的异同点：

（1）不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数．但与都是非负数，即，．因而它的运算的结果是有差别的， ，而

（2）相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，

而.

考点五、二次根式的运算

1．二次根式的乘除运算

(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.

(2)注意知道每一步运算的算理；

(3)乘法公式的推广：

    2．二次根式的加减运算

先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；

3．二次根式的混合运算

(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；

(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.

方法指导：

怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.

1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；

2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；

3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.

(1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简.

例如，没有必要先对进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘法运算，，通过约分达到化简目的；

(2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用.

如：，利用了平方差公式.

所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化.

4．分母有理化

把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式.

常用的二次根式的有理化因式：

（1）互为有理化因式；

（2）互为有理化因式；一般地互为有理化因式；

（3）互为有理化因式；一般地互为有理化因式.

【基础巩固训练】

一、选择题

1. 下列各式与相等的是(    )

A．     B.      C.       D.

2．化简：（a+）（1﹣）的结果等于（　　）

A．a﹣2    B．a+2     C．   D．

3．若分式的值是0，则x为（    ）

A．0        B.1         C.-1        D.±1

4．下列计算正确的是 （    ）

5．在实施“中小学生蛋奶工程”中，某配送公司按上级要求，每周向学校配送鸡蛋10000 个，鸡蛋用甲、乙两种不同规格的包装箱进行包装，若单独使用甲型包装箱比单独使用 乙型包装箱可少用10个，每个甲型包装箱比每个乙型包装箱可多装50个鸡蛋，设每个 甲型包装箱可装x个鸡蛋，根据题意下列方程正确的是（　　）

A．－＝10    

 B．－＝10

C．－＝10     

D．－＝10

6．函数中自变量x的取值范围是（    ）

A. x≤2       B. x=3    

 C. x＜2且x≠3     D. x≤2且x≠3

二、填空题

7．下列分式中，不属于最简分式的，请在括号内写出化简后的结果，否则请在括号内打“√”．

①　 　  ②　 　  ③　 　  ④　 　  ⑤　 　．

8．化简的结果是__________.

9.某同学步行前往学校时的行进速度是6千米/时，从学校返回时行进速度为4千米/时，那么该同学往返学校的平均速度是____________千米/时.

10．在中，是最简二次根式的有      个.

11. 若最简二次根式是同类二次根式，则x的值为      .

12．（1）把化简的结果是      .

（2）估计的运算结果应在        之间.（填整数）

三、解答题

13．计算：（﹣）÷．

14.（1）已知：，求的值.

（2）已知：，求的值.

15．在“情系地震”捐款活动中，某同学对甲、乙两班捐款情况进行统计，得到如下三条信息.

信息1：甲班共捐款300 元， 乙班共挡捐款232 元.

信息2: 乙班平均每人捐款钱数是甲班平均每人捐款钱数的.

信息3 : 甲班比乙班多2人.

请根据以上三条信息,求出甲班平均每人捐款多少元.

16.已知.

答案与解析

一、选择题

1.【答案】C；

【解析】化简= . 

2.【答案】B；

【解析】•=•=a+2．故选B．

3.【答案】B；

【解析】分式的值为0，则解得.   

4.【答案】A；

【解析】根据具体选项，应先进行化简，再计算. A选项中，

B选若可化为，C选项逆用平方差公式可求得，而D选项应将分子、分母都乘，得.故选A.

5.【答案】B；

【解析】设每个甲型包装箱可装x个鸡蛋，

－＝10．

故选B．

6.【答案】A；

【解析】2-x≥0，∴x≤2，3不在x≤2的范围内.  

二、填空题

7．【答案】×，√，×，×，√；

【解析】①=；

   ②是最简分式；

   ③==；

 ④=﹣1；

 ⑤是最简分式；

只有②⑤是最简分式．故答案为：×，√，×，×，√．

8．【答案】；

【解析】找到最简公分母为（m+3）(m-3)，再通分.]

9．【答案】4.8；

  【解析】平均速度=总路程÷总时间，设从学校到家的路程为s,则.

10．【答案】3；

【解析】是最简二次根式.

11．【答案】-1；

   【解析】根据题意得x+3=3x+5，解得x=-1.

12．【答案】（1） ； （2）3和4； 

【解析】（1）

（2）

三、解答题

13.【答案与解析】

解：（﹣）÷

=[﹣]×

=[﹣]×

=×

=．

14.【答案与解析】

    （1）∵   ∴2=+1

原式======1

（2）∵

      ∴.

15.【答案与解析】

 设甲班平均每人捐款x元,则乙班平均每人捐款x元.

根据题意, 得,解这个方程得.

经检验,是原方程解.

    答：甲班平均每人捐款5元.

16.【答案与解析】

    由二次根式的定义及分式性质，得