初中数学4.1 一元二次方程达标测试

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考向07一元二次方程、分式方程的解法及应用—能力提升【知识梳理】考点一、一元二次方程1.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式为(a≠0)．2.一元二次方程的解法    （1）直接开平方法：把方程变成的形式，当m＞0时，方程的解为；当m＝0时，方程的解；当m＜0时，方程没有实数解．    （2）配方法：通过配方把一元二次方程变形为的形式，再利用直接开平方法求得方程的解．（3）公式法：对于一元二次方程，当时，它的解为．    （4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解．方法指导：直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．3．一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式为．△>0方程有两个不相等的实数根；△＝0方程有两个相等的实数根；△<0方程没有实数根．上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边．方法指导：    △≥0方程有实数根.4．一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程(a≠0)的两个根是，那么．考点二、分式方程    1.分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．方法指导：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.
　　（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程. 2.分式方程的解法去分母法，换元法．3.解分式方程的一般步骤
　　　(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；
　　　(2)解这个整式方程；
　　　(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根.口诀：“一化二解三检验”.方法指导：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．考点三、一元二次方程、分式方程的应用1．应用问题中常用的数量关系及题型    (1)数字问题(包括日历中的数字规律)    关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律．    (2)体积变化问题    关键是寻找其中的不变量作为等量关系.    (3)打折销售问题    其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝×100%．    明确这几个关系式是解决这类问题的关键．    (4)关于两个或多个未知量的问题    重点是寻找到多个等量关系，能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程.    (5)行程问题    对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题．    注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇.    (6)和、差、倍、分问题    增长量＝原有量×增长率；    现有量＝原有量+增长量；    现有量＝原有量-降低量．2．解应用题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；(3)找出相等关系，并用它列出方程；(4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．方法指导： 方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．      注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意． 【能力提升训练】一、选择题
1. 已知方程有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是（   ）A．      B．     C．     D．2．方程x2+ax+1=0和x2﹣x﹣a=0有一个公共根，则a的值是（　　）A．0    B．1      C．2        D．33．若方程的两根为、，则的值为(    ). A．3        B．－3     C．    D． 4．如果关于x的方程    A.   B.   C.   D. 35．如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（　　）A．1米      B．1.5米     C．2米      D．2.5米6．关于的方程有实数根，则整数的最大值是（    ）A．6     B．7   C．8   D．9二、填空题7．方程﹣1=的解为　    　8．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是            ．9．已知x1=－1是方程的一个根，则m的值为        ；方程的另一根x2=         .10．某市政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过两次降价，由每盒72元调至56元．若每次平均降价的百分率为，由题意可列方程为_____       ___．11．若关于ｘ的方程　－１＝０有增根，则ａ的值为        .12．当 k的值是               时，方程 = 只有一个实数根.三、解答题13．解下列分式方程：（1）；   （2）．    14. 若关于x 的方程  － ＝ 只有一个解，试求ｋ值与方程的解．        15．某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2010年，A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2012年该市计划投资“改水工程”1176万元．（1）求A市投资“改水工程”的年平均增长率；（2）从2010年到2012年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？      16. 从甲、乙两题中选做一题，如果两题都做，只以甲题计分．题甲：若关于的一元二次方程有实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）设，求t的最小值．                           题乙：如图（16），在矩形ABCD中，P是BC边上一点，连结DP并延长，交AB的延长线于点Q．（1）若，求的值；（2）若点P为BC边上的任意一点，求证．　　我选做的是_______题．                      答案与解析一、选择题
1.【答案】D；【解析】将－a代入中，则a2－ab+a=0，则a－b+1=0∴a－b=－1（恒为常数）.2.【答案】C；【解析】∵方程x2+ax+1=0和x2﹣x﹣a=0有一个公共根，∴（a+1）x+a+1=0，解得x=﹣1，当x=﹣1时，a=2，故选C．3.【答案】B；【解析】.4.【答案】B；【解析】把方程两边都乘以        若方程有增根，则x=3,即5+m=3,m=-2. 5.【答案】A；【解析】如图将路平移，设路宽为x米，可列方程为：（30－x）（20－x）=551，解得：x=1或者x=49（舍去）. 6.【答案】C；【解析】由题意得方程有实数根，则分两种情况，当a－6=0时，a=6,此时x=，当a－6≠0时，△=b2－4ac≥0，解得a≤ ，综合两种情况得整数的最大值是8. 二、填空题7．【答案】x=；　【解析】方程的两边同乘2（3x﹣1），得4﹣2（3x﹣1）=3，解得x=．检验：把x=代入2（3x﹣1）=1≠0．∴原方程的解为：x=． 8．【答案】且；【解析】 △＞0且m-1≠0.9．【答案】m=－4；x2=5；【解析】由题意得：   解得m=－4当m=－4时，方程为解得：x1=－1   x2=5   所以方程的另一根x2=5.10．【答案】；【解析】平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)11．【答案】－１；【解析】原方程可化为：（ａ－１）ｘ＝－２．　　  ∵分式方程有增根,　∴　ｘ=1　　　  把ｘ=1代入整式方程有ａ＝－１.12．【答案】 －１，０，３；  【解析】原方程可化为：ｘ２＋２ｘ－ｋ＝０当⊿=２２＋４ｋ＝０，即ｋ＝－１时，ｘ１＝ｘ２＝－１当⊿=２２＋４ｋ＞０，即ｋ＞－１时，方程有两个不等实数根．由题意可知：　 　 ①　当增根ｘ＝0时，代入二次方程有k＝０，方程唯一解为ｘ＝－２；②  当增根ｘ＝１时，代入二次方程有k＝３，方程唯一解为ｘ＝－３.所以ｋ＝－１，０，３.三、解答题13.【答案与解析】解：（1）方程的两边同乘（x+1）（x﹣1），得2﹣（x+1）=（x+1）（x﹣1），解得x=﹣2或1．检验：把x=1代入（x+1）（x﹣1）=0．x=1是原方程的增根，把x=﹣2代入（x+1）（x﹣1）=3≠0．∴原方程的解为：x=﹣2．（2）方程的两边同乘x2，得2（x+1）2+x（x+1）﹣6x2=0，解得x=﹣或2．检验：把x=﹣代入x2=≠0．把x=2代入x2=4≠0．∴原方程的解为：x1=﹣，x2=2．14.【答案与解析】原方程可化为：ｋｘ２－（３ｋ－２）ｘ－１＝０当ｋ＝０时，原方程有唯一解　ｘ＝当ｋ≠０时,⊿=（3k－2）2＋4k=5k2＋4（k－1）2　＞０，知方程必有两个不等实数根．此时由题意可知：一元二次方程两根，一根是分式方程的根，另一根是分式方程的增根０或１．当ｘ＝０时，不符合舍去；当ｘ＝１时，代入得ｋ＝，分式方程的解是ｘ＝－２．所以当ｋ＝０时，原方程有唯一解ｘ＝；当ｋ＝时，原方程有唯一解ｘ＝－２． 15.【答案与解析】（1）设A市投资“改水工程”年平均增长率是x，则．解之，得或（不合题意，舍去）．所以，A市投资“改水工程”年平均增长率为40%． （2）600＋600×1.4＋1176＝2616（万元）．A市三年共投资“改水工程”2616万元． 16.【答案与解析】题甲：（1）∵一元二次方程有实数根，∴， 即，解得．（2）由根与系数的关系得：， ∴，  ∵，∴，∴，即t的最小值为－4． 题乙：（1）四边形ABCD为矩形，∵AB=CD，AB∥DC， ∴△DPC ∽△QPB， ∴，∴， ∴．      （2）证明：由△DPC ∽△QPB，得， ∴，．