初中数学北京课改版九年级上册21.1 圆的有关概念课后测评
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这是一份初中数学北京课改版九年级上册21.1 圆的有关概念课后测评,共12页。
【知识梳理】
考点一、圆的有关概念及性质
1.圆的有关概念
圆、圆心、半径、等圆;
弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧;
三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角.
方法指导:等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.
2.圆的对称性
圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴,圆有无数条对称轴;
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形;
圆具有旋转不变性.
3.圆的确定
不在同一直线上的三个点确定一个圆.
方法指导:圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小.
4.垂直于弦的直径
垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
方法指导:在图中(1)直径CD,(2)CD⊥AB,(3)AM=MB,(4),(5).若上述5个条件有2个成立,则另外3个也成立.因此,垂径定理也称“五二三定理”.即知二推三.
注意:(1)(3)作条件时,应限制AB不能为直径.
5.圆心角、弧、弦之间的关系
定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.
推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量也相等.
6.圆周角
圆周角定理 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
推论1 在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.
推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.
方法指导:圆周角性质的前提是在同圆或等圆中.
考点二、与圆有关的位置关系
1.点和圆的位置关系
设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:
点P在圆外d>r;
点P在圆上d=r;
点P在圆内d<r.
方法指导:圆的确定:
①过一点的圆有无数个,如图所示.
②过两点A、B的圆有无数个,如图所示.
③经过在同一直线上的三点不能作圆.
④不在同一直线上的三点确定一个圆.如图所示.
2.直线和圆的位置关系
(1)切线的判定
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
(会过圆上一点画圆的切线)
(2)切线的性质
切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径.
(3)切线长和切线长定理
切线长 经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长.
切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
方法指导:直线是⊙O的切线,必须符合两个条件:①直线经过⊙O上的一点A;②OA⊥.
3.圆和圆的位置关系
(1)基本概念
两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义.
(2)请看下表:
方法指导:
①相切包括内切和外切,相离包括外离和内含.其中相切和相交是重点.
②同心圆是内含的特殊情况.
③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解.
④“R-r”时,要特别注意,R>r.
【专项训练】
一、选择题
1. 已知⊙与⊙的半径分别为3 cm和4 cm,若=7 cm,则⊙与⊙的位置关系是( )
A.相交 B.相离 C.内切 D.外切
2.如图,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上 ,∠BOD=110°,AC∥OD,则∠AOC的度数 ( )
A. 70°
B. 60°
C. 50°
D. 40°
3.如图所示,AB是⊙O的直径,CD为弦,CD⊥AB于点E,则下列结论中不成立的是( )
A.∠COE=∠DOE
B.CE=DE
C.OE=BE
D.
4.如图,⊙O的半径是2,AB是⊙O的弦,点P是弦AB上的动点,且1≤OP≤2,则弦AB所对的圆周角的度数是( )
A.60°
B.120°
C.60°或120°
D.30°或150°
5.如图所示,△ABC内接于圆O,∠A=50°;∠ABC=60°,BD是圆O的直径,BD交AC于点E,连接DC,则∠AEB等于( )
A.70°
B.110°
C.90°
D.120°
6.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了,其中四块碎片如图所示,为配成与原来大小一样的圆形玻璃,小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是( )
A.第①块
B.第②块
C.第③块
D.第④块
二、填空题
7.如图,MN是半径为2的⊙O的直径,点A在⊙O上,∠AMN=30°,B为弧AN的中点,P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值为 .
8.如图所示,⊙O的直径AC=8 cm,C为⊙O上一点,∠BAC=30°,则BC=________cm.
9.两圆有多种位置关系,图中(如图所示)不存在的位置关系是__________.
10.如图所示,AB与⊙O相切于点B,AO的延长线交⊙O于点C,连接BC.若∠A=36°,则∠C=______.
11.如图,直线PA过半圆的圆心O,交半圆于A,B两点,PC切半圆与点C,已知PC=3,PB=1,则该半圆的半径为 .
12.如图所示.B是线段AC上的一点,且AB:AC=2:5.分别以AB、AC为直径画圆,则小圆的面积与大圆的面积之比为________.
三、解答题
13.已知AB与⊙O相切于点C,OA=OB.OA、OB与⊙O分别交于点D、E.
(1) 如图①,若⊙O的直径为8,AB=10,求OA的长(结果保留根号);
(2)如图②,连接CD、CE,若四边形ODCE为菱形.求的值.
14. 如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,O为直角边BC上一点,以O为圆心、OC为半径的圆恰好与斜边AB相切于点D,与BC交于另一点E.
(1)求证:△AOC≌△AOD;
(2)若BE=1,BD=3,求⊙O的半径及图中阴影部分的面积S.
15.如图,已知四边形ABCD内接于圆,对角线AC与BD相交于点E,F在AC上,AB=AD,∠BFC=∠BAD=2∠DFC.
(1)若∠DFC=40°,求∠CBF的度数;
(2)求证:CD⊥DF.
16. 如图,已知∠ABC=90°,AB=BC.直线与以BC为直径的圆O相切于点C.点F是圆O上异于B、C的动点,直线BF与相交于点E,过点F作AF的垂线交直线BC与点D.
(1)如果BE=15,CE=9,求EF的长;
(2)证明:①△CDF∽△BAF;②CD=CE;
(3)探求动点F在什么位置时,相应的点D位于线段BC的延长线上,且使BC=CD,请说明你的理由.
答案与解析
一、选择题
1.【答案】D;
【解析】两圆半径之和3+4=7,等于两圆圆心距=7,根据圆与圆位置关系的判定可知两圆外切.
2.【答案】D;
【解析】由AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,知OA=OC,根据等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理,得∠AOC=180°-2∠OAC. 由AC∥OD,根据两直线平行,内错角相等的性质,得∠OAC=∠AOD.由AB是⊙O的直径,∠BOD=110°,根据平角的定义,
得∠AOD=180°-∠BOD=70°.∴∠AOC=180°-2×70°=40°.故选D.
3.【答案】C;
【解析】由垂径定理知A、B、D都正确.
4.【答案】C;
【解析】作OD⊥AB,如图,
∵点P是弦AB上的动点,且1≤OP≤2,
∴OD=1,
∴∠OAB=30°,
∴∠AOB=120°,
∴∠AEB=∠AOB=60°,
∵∠E+∠F=180°,
∴∠F=120°,
即弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°.故选C.
5.【答案】B;
【解析】∵∠A=50°,∴∠D=50°,
又∵BD是直径,∴∠BCD=90°,∴∠DBC=90°-50°=40°,∠ABD=60°-40°=20°,
∴∠BEC=50°+20°=70°,∴∠AEB=180°-70°=110°.
6.【答案】B;
【解析】因为第②块含有圆周的一部分,可以找到圆心,量出半径.其他块都不行.
二、填空题
7.【答案】2;
【解析】如图,作点B关于MN的对称点B′,连接OA、OB′、AB′,
由轴对称确定最短路线问题可知,AB′与M的交点即为所求的使PA+PB的值最小的点,
∵∠AMN=30°,
∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°,
∵B为弧AN的中点,
∴∠NOB′=×60°=30°,
∴∠AOB′=90°,
∴△AOB′是等腰直角三角形,
∵⊙O的半径为2,
∴AB′=2,
即PA+PB的最小值为为2.
8.【答案】4;
【解析】因为AC为直径,根据直径所对的圆周角为直角,得∠ABC=90°,则BC=AC·sin∠BAC=4(am).
9.【答案】相交;
【解析】认真观察、判断可发现每两圆间不存在的位置关系是:相交.
10.【答案】27°;
【解析】如图,连结OB,由AB与⊙O相切于点B,得∠ABO=90°,因为∠A=36°,所以∠AOB=54°,
所以∠C=27°.
11.【答案】4;
【解析】连接OC,则由直线PC是圆的切线,得OC⊥PC.设圆的半径为x,则在Rt△OPC中,PC=3,OC= x,OP=1+x,根据地勾股定理,得OP2=OC2+PC2,即(1+x)2= x 2+32,解得x=4.即该半圆的半径为4.
12.【答案】4:25;
三、解答题
13.【答案与解析】
(1) 如图①,连接OC,则OC=4.
∵AB与⊙O相切于点C,∴OC⊥AB.
∴在△OAB中,由OA=OB,AB=10得.
∴ 在△RtOAB中,.
(2)如图②,连接OC,则OC=OD.
∵四边形ODCE为菱形,∴OD=DC.
∴△ODC为等边三角形.∴∠AOC=60°.
∴∠A=30°.∴.
14.【答案与解析】
解:(1)∵ AB切⊙O于D,∴OD⊥AB.
在Rt△AOC和Rt△AOD中,
∴Rt△AOC≌Rt△AOD(HL).
(2)设半径为r,在Rt△ODB中,,解得r=4.
由(1)有AC=AD,∴,
解得AC=12,
∴.
15.【答案与解析】
解:(1)∵∠ADB=∠ACB,∠BAD=∠BFC,
∴∠ABD=∠FBC,
又∵AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB,
∴∠CBF=∠BCF,
∵∠BFC=2∠DFC=80°,
∴∠CBF==50°;
(2)令∠CFD=α,则∠BAD=∠BFC=2α,
∵四边形ABCD是圆的内接四边形,
∴∠BAD+∠BCD=180°,即∠BCD=180°﹣2α,
又∵AB=AD,
∴∠ACD=∠ACB,
∴∠ACD=∠ACB=90°﹣α,
∴∠CFD+∠FCD=α+(90°﹣α)=90°,
∴∠CDF=90°,即CD⊥DF.
16.【答案与解析】
解:(1)∵直线与以BC为直径的圆O相切于点C,
∴∠BCE=90°,
又∵BC为直径,∴∠BFC=∠CFE=90°.∴∠CFE=∠BCE.
∵∠FEC=∠CEB,∴△CEF∽△BEC.∴.
∵BE=15,CE=9,即:,解得:EF=.
(2)证明:①∵∠FCD+∠FBC=90°,∠ABF+∠FBC=90°,∴∠ABF=∠FCD.
同理:∠AFB=∠CFD.∴△CDF∽△BAF.
②∵△CDF∽△BAF,∴.
又∵△CEF∽△BCF,∴.∴.
又∵AB=BC,∴CE=CD.
(3)当F在⊙O的下半圆上,且时,
相应的点D位于线段BC的延长线上,且使BC=CD.
理由如下:
∵CE=CD,∴BC=CD=CE.
在Rt△BCE中,tan∠CBE=,
∴∠CBE=30°,∴所对圆心角为60°.
∴F在⊙O的下半圆上,且.
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